какой метод введения понятия используется при изучении уравнений в 5 6 классах
О решении уравнений в 5–6-х классах
Разделы: Математика
маленький пример”: 6:2=3 6=3*2
Таким образом, оставляя одно действие, заключая все остальное в “форточку”, ребенок придет к простейшему уравнению. Прием “форточка” вызывает интерес детей, привлекает их внимание, надолго запоминается. Кроме того, его использую как пропедевтику способа замены переменных.
Уже в шестом классе начинаю вводить способ решения уравнений, сводящихся к линейным, основанный на переносе слагаемых. Дети умеют раскрывать скобки, приводить подобные. Но при этом обязательно показываю, что, например, уравнение
Далее предлагаю проекты уроков в 6 классе, на котором ввожу способ решения уравнений с переносом слагаемых. На уроках используются презентации, выполненные в программе PowerPoint. Более эффективно использовать интерактивную доску.
Тема урока: Решение уравнений
Оборудование: интерактивная доска, сканер, учебник “Математика-6”, И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.
| Этап урока | Цель этапа урока | Содержание | Методический комментарий |
| 1. Проверка домашней работы | Закрепление навыка самопроверки, умения находить свои и чужие ошибки, объяснять их причину; |
Актуализация знаний по теме урока.
2. Решите уравнение:
Какие рассуждения вы проводили при решении первого уравнения из домашней работы? Второго уравнения?
1) Попробуйте провести аналогичные рассуждения для решения уравнения
Как надо изменить уравнение, чтобы можно было применить имеющиеся знания по решению уравнений?
4) Ребята! Как бы вы поступили при решении уравнения
5) А такого уравнения
6) Хорошо, а теперь давайте попробуем составить алгоритм решения уравнений, похожих на уравнение 7(2+у)-3у=5у-6.
1) Учитель создает проблемную ситуацию.
Учащиеся делают вывод о том, что известные им приемы не работают.
2) Дети говорят о том, что было бы хорошо, если бы все переменные были в одной стороне уравнения.
3) Далее учитель показывает, как перенести слагаемые из одной части уравнения в другую.
4) Перенесли бы слагаемые 14 и 5у, затем привели подобные и нашли значение переменной.
5) Сначала бы раскрыли скобки, затем выполнили перенос слагаемых, приведение подобных и нашли значение переменной.
6) Формулируют последовательность действий и вклеивают в свои справочники алгоритм решения уравнения, в котором есть скобки и переменная может находиться в разных частях уравнения.
е)-3(5а-1)+4а = 2а+7(5-3а)
Самопроверка по образцу, который дает учитель.
Синим цветом выделены уравнения повышенной для этого урока сложности, их выполняют те ученики, которые быстрее других справляются с работой.
Как вы думаете, это всегда будет так?
Давайте наше предположение проверим.
Предлагаю в группах обсудить решение следующих уравнений:
1 группа – решите уравнение 3х-12=0;
2 группа – решите уравнение
3 группа – решите уравнение
Сколько корней получилось у ваших уравнений?
Вывод: Уравнение вида ax = b может иметь один корень, может не иметь корней, может иметь бесконечно много корней.
Учащиеся работают в группах.
Учитель оказывает помощь группам при необходимости.
Организует обсуждение полученных результатов, помогает сделать выводы.
Таблица с выводами (заранее распечатанная) вклеивается в справочник
Тема урока: Решение уравнений.
Оборудование: интерактивная доска, компьютерный класс, учебник “Математика-6”, И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.
| Этап урока | Цель этапа урока | Содержание | Методический комментарий |
| 1. Проверка домашней работы | Закрепление навыка самопроверки, умения находить свои и чужие ошибки, объяснять их причину; |
Актуализация знаний по теме урока.
в) 17+3(15-с)=(4-с)-2(с-5).
Учитель оказывает помощь слабоуспевающим ученикам.
3) Решение уравнений (проектор переводится в режим “пауза”), один ребенок работает на компьютере, а затем работа проверяется детьми.
9 человек проходят тестирование на компьютерах, остальные самостоятельно работают на местах.
О методике работы репетитора по математике с темой «решение уравнений» в 5-6 классах
З накомство ребенка с уравнениями начинается почти с самого начала изучения математики, задолго до ЕГЭ и, как правило, задолго до обращения к репетитору. Еще в младшей школе решаются простейшие алгебраические уравнения, которые служат фундаментом для построения алгоритмов решения уравнений в 11 классе. Каких только разновидностей уравнений не встретишь в школе: алгебраические, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические. Голова идет кругом. При этом, почти к каждому разделу учебника математики прикрепляются уравнения определенного вида с различной комбинацией изученных действий, функций и разным уровнем сложности. Репетитору по математике важно помнить о том, что методы обучения решению уравнений на разных этапах освоения предмета имеют много общего, так как по сути перед учеником ставится одна и та же задача — подбор числа или чисел, удовлетворяющих данному равенству.
Основы работы с уравнениями закладываются задолго до 11 класса и объясняются на простых математических объектах, пока предмет еще не разделен на алгебру и геометрию. Именно в этом возрасте ребенку отводится время на формирование представление о том, как изучаемый объект устроен и как он используется в реальных ситуациях. Исключение этого важного этапа математической подготовки в большинстве случаев оказывается в последствии невосполнимым. Даже опытный репетитор по математике, работая с учеником старших классов, не сможет в полной мере компенсировать недостаток внимания к уравнениям в младших. Можно только дать представление о методах решения или натаскать на заучивание определенных алгоритмов.
Наверное любой репетитор по математике, успевший плотно поработать с учениками 5-6 классов хотя бы пару лет, слышал жалобы от родителей, связанные со снижением успеваемости при переходе в 6 класс. Проблемы начинают возникать даже, казалось бы, с такой простой темой, как уравнения. К удивлению родителей она вдруг неожиданно переходит в категорию трудных. «Мой ребенок всегда хорошо решал уравнения и вдруг перестал их понимать», — часто жалуются родители репетитору математики. «Что нам делать? Я не могу ему донести то, что понимаю сама, а в школе преподаватель толком ничего не объясняет, а только требует», — обычная картина из практики репетитора: родители в панике. Однако, попытка найти спасение нанимая ребенку преподаваеля, не всегда приводит к желаемому результату. Почему?
Репетитор по математике в работе со слабым шестиклассником часто повторяет методологию учебников и опирается на определенные навыки работы с числами и действиями, которые должны быть у школьника сформированны к этому моменту. Но это относится только к способному ребенку. Реальность репетиторской работы такова, что эти навыки дети часто или не получают вовсе или не могут применить их работе с аналогичными, но более сложными конструкциями. И дело не только в том, что этому мало кто учит. Причина кроется еще и в возрастных особенностях работы памяти ребенка и его мышления, в способности рассмотреть простой объект внутри сложного. В большинстве случаев, с которыми репетитору приходится сталкиваться, ученику рано переходить к использованию алгоритмов в более сложных математических объектах.
Во-первых, понимание этих аналогий часто еще не успевает сформираться. Во-вторых, механизмы позволяющие переносить эти операции на более сложные объекты могут быть не отработаны на достаточном количестве заданий. В третьих, сами операции и правила, по которым они выполняются, часто забываются.
Глубоким заблуждением многих методистов, репетиторов по математике и школьных преподавателей является мнение о том, что правила нахождения компонентов алгебраических действий помогают ребенку принять решение о том том, сложить ли ему данные числа, или отнять, найти ли разность a-b или b-a. Вспомните себя, помогало ли вам на уроках математике такое правило: чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность? Приходится вспоминать названия участников действия, затем текст правила (каждое для своего случая). Пока будет вспоминать текст, — успеет забыть где у него в уравнении стоит уменьшаемое, а где вычитаемое. Начтет вспоминать названия — забудет правило. А еще нужно правильно записать и произвести вычисления. Куда тут до правильного ответа? Укротить бы термины.
Как действует ученик в простом случае и почему он промахивается с подбором действий в более сложных? Дело в том, что к моменту, когда ему необходимо решить уравнение 8-x=3 он, как правило, получает хорошую практику вычислений (если преподаватель по математике дал классу эту практику) и просто узнает знакомую картинку, в которой пропущено одно число. Он может и без правил догадаться, какое число ему поставить вместо икса. И если требуется записать действие для его нахождения, он переберет все возможные варианты с числами 8 и 3 (благо они перед глазами) и выпишет подходящее. Никакими правилами нахождения вычитаемого он в большинстве случаев не пользуется. Это слишком сложно для него.
С некоторым напряжением ученику даются уравнения, нагруженные несколькими действиями, например 
. Если числа в таких уравнених не очень большие, то в голове пятиклассника реализуется тот же самый алгоритм подбора неизвестного компонента 2x-8 в делении. Этот алгоритм, обычно, опережает подбор действия, с помощью которого получается ответ. Сложности возникают только с тем, что ребенку приходится находить не икс, а некотороый промежуточный результат. Практика моей работы репетитором по математике показывает, что с этим видом непонимния часто удается справиться сравнительно легко. Главная помощь репетитора здесь заключается в своевременном повторении понятия «корень уравнения» и «проверка корня». При этом репетитор должен уделить внимание практическому ходу этой проверки и выделить в ней определенные этапы:
1) Берем наугад число для проверки
2) Выполняем его умножение на 2, затем потом вычитаем 8 и получаем некоторый промежуточный результат
3) делим 42 на него и должно получиться 7.
При такой форме ребенок в 95 % случаев сам скажет репетитору математики, что нужно разделить 6. В этот момент грамотный репетитор обязательно укажет ученику на то, что подобранное число 6 должно получиться в результате вычитания. Останется понять как при вчитани числа 8 получить 6. Репетитору должен поставить новую цель: что вставить вместо икса, чтобы после умножения на 2 и вычитания восьми эта шестерка получилась. Тогда надо решить уравнение, в котором слева уже стоит не , а 
. Этот момент отдельно выделяется и репетитору обязательно нужно на нем остановиться отдельно. Решая такими путями уравнения ребенок запоминиает поведение чисел. Те взаимосвязи, которые предлагабются ему для заучивания запоминаются в естественном порядке, а именно в процессе деятельности.
Существуют простые, но важные правила работы с методикой:
1) Репетитор по математике должен исключить из текстов своих пояснений стандартные математические термины и шаблонные фразы («значение выражения», «переменная», «делитель», «значение переменной, при которой. »)
2) При подборе уравнения следует не дупустить проникновение в него повторяющихся действий и даже повторяющихся чисел (как начальной в записи самого уравнения, так и во всех дальнейших формах). Иначе ребенок запутается, о каком делении репетитор по математики говорит в конкретный момент и о каком числе 6 идет речь, если она используется дважды.
3) Каждая пара чисел в уравнении на каждом этапе решения должна быть удобной для подбора третьего числа.
В конце 5-го и в начале 6-ого класса понятие числа расширяется. Появляются уравнения с дробями (десятичными и обыкновенными) и вместе с ними приходят главные проблемы. Как теперь решить такое?
Подбор числа и действия затрудняется, так как операции с дробями делаются в несколько этапов. Если раньше ребенок мог распознать, что число а не делится на число b, то теперь уже можно делить друг на друга почти все числа. Сложнее узнать знакомое сочетание и подбирать для него соответствующее арифметическое действие. При достаточном количестве решенного ранее, способные дети дети запоминают алгоритмы и по аналогии применяют их в новой систуации. А что делать отстающим? У многих из них информация о правилах еще успела прочно отложиться в его долговременной памяти. Репетитор по математике истытывает в работе с такими детьми огромные трудности, а ведь решение проблемы лежит на поверхности.
Репетитору необходимо продлить время привычной деятельности ученика при решении уравнений. То есть подбирать действия прежним способом. Для этого преподавателю достаточно обязать (или разрешить) рядом с решаемым уравнением составить любой простенький пример на это же действие, но с натуральными числами. Допустим, надо решить уравнение:
Репетитор просит ученика определить последнее действие в левой части уравнения, составить с его участием любой простенький пример из программы 2-го класса и записать его где-нибудь рядом. 
В особых случаях можно рекомендовать использовать нижнюю строчку под самим уравнением. Ребенок смотрит, какой учасник последнего действия в исходном уравнении неизвестен, находит его аналог в придуманном примере и по нему подбирает арифметическое действие с соседними числами (благо они перед глазами). Затем просто переносит его на свое уравнение. И так с каждым исключением последнего действия. Полное оформление может выглядеть следующим образом:
Для совсем слабых детей репетитор может заготовить отдельные карточки с уже подобранными примерами на все действия и класть их перед учеником в нужный момент.
Статья из цикла «методики для репетиторов».
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва, Строгино.
Изучение темы » линия уравнений» в курсе математики 5-11 классов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Изучение темы «Линия уравнений» в курсе математики 5-11 класс
УМК: Математика, 5 класс; 6 класс. Авт. С.М. Никольский, М.К. Потапов,
Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.
Алгебра, 7 класс, 8 класс, 9 класс. Авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков,
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс, 11 класс. Авт. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.
Образовательные : обобщить и систематизировать изученный материал, проверить усвоение обучающимися изученного материала и формировать умение применять его; повторить понятия уравнения и корня уравнения; повторить решение простых уравнений; закрепить навыки решения уравнений, содержащих более одного арифметического действия; закрепить навыки решения задач с помощью уравнений.
Развивающие: развивать познавательную активность, логическое мышление, творческие способности обучающихся, навыки самоконтроля и взаимоконтроля, развивать творческие способности обучающихся; развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы; развивать коммуникативные навыки; развивать умение сотрудничать при решении учебных задач.
Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, воспитывать культуру умственного труда; воспитывать культуру коллективной работы;
воспитывать упорство в достижении цели.
В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. Появляются уравнения с модулем.
определяем вид уравнения по последнему действию;
определить, что неизвестно и найти неизвестное по соответствующему правилу;
в случае необходимости, повторить шаги 1 – 2;
найти корень уравнения;
В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. После упрощения выражений вида 5х+7х
5 класс: задания132; 183; 870.
6 класс: задания 626; 628; 629.
1) Решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной, системы двух уравнений
с двумя переменными;
2) понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и изучения разнообразных реальных
ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом;
3) применять графические представления для исследования уравнений, исследования и решения
систем уравнений с двумя переменными;
4) владеть специальными приёмами решения уравнений и систем уравнений; уверенно применять
аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, прак
5) применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содер
жащих буквенные коэффициенты.
В 7 классе вводится понятие линейного уравнения с одной переменной: Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а и b – числа называется линейным уравнением с одной переменной. Линейное уравнение имеет единственный корень х=b/a.
В 7 классе продолжается решение задач методом составления уравнения. Кроме того учащиеся знакомятся с понятием «уравнение с двумя переменными», рассматривают три способа решения систем: графический, сложения, подстановки.
В 8 классе изучения уравнений представляет собой одну из важнейших задач курса. В связи с изучением рациональных дробей рассматриваются уравнения содержащие переменную в знаменателе.
В 9 классе получают дальнейшее развитие понятия «уравнения в двумя переменными» и «системы уравнений с двумя переменными». Их решение осуществляется графическим способом и способом подстановки. В курсе алгебры неполной средней школы рассматривается простейшие уравнения с одной переменной, содержащим переменную под знаком модуля.
При изучении темы «Многочлены» учащиеся используют разложение на множители для решения уравнений вида: ах 2 + b х = 0.
В 7-м классе рассматривается еще одно важное понятие «уравнение с двумя переменными» и вводится понятие «система линейных уравнений»
В 8-м классе изучаются квадратные уравнения и уравнения, содержащие переменную в знаменателе.
Учащиеся должны владеть различными способами решения полного квадратного уравнения:
Способ выделения полного квадрата.
Через дискриминант по формуле корней.
По теореме, обратной теореме Виета.
Кроме того, учащиеся должны уметь решать неполные квадратные уравнения.
В 9-м классе решаются дробно-рациональные, биквадратные уравнения. Рассматриваются графические способы решения уравнений с одной переменной, как один из примеров приближенного решения уравнений.
Графический способ решения уравнений состоит в следующем: «Дано уравнение f(x) = g(x). Строим в одной системе координат графики у = f(x) и у= == g(x). Отыскиваем абсциссы точек пересечения».
Возможность применения графического способа решения весьма ограничена, так как ограничен запас графиков функций, которые ученики могут строить, и степень точности нахождения корней. Кроме того, приходится подбирать такие графики, чтобы точки пересечения были в пределах рисунка.
Однако графический способ имеет и определенные преимущества: позволяет рассматривать решения таких уравнений, которые учащиеся на данном этапе не могут решить аналитическим способом. Даже если корни являются числами большими по модулю, то с помощью схематических рисунков удается установить число корней, их знаки, вычленить те отрезки числовой оси, где эти корни могут находиться. Эти исследования полезны для подготовки к изучению функций.
Использование графического способа полезно и в устной работе с учащимися.
Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического способа решения сюжетных задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, широко применяемым в приложениях математики.
Выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:
осмысление текста задачи и анализ ее содержания;
осуществление поиска решения и составления плана решения;
реализация плана решения;
анализ найденного решения, поиск других способов решения.
7 класс: задания 126; 130; 132; 137; 144; 146; 148; 155; 661; 891; 949; 1061; 1069; 1083.
8 класс: задания 535; 539; 545; 578; 581; 600; 602; 618; 628.
9 класс: задания 267; 276; 278; 290; 399; 429; 431; 440; 459; 460; 464; 465; 466.
Образовательная цель: способствовать формированию у обучающихся предметных компетенций:
выделить общие методы решения уравнений на примере решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений;
определить насколько хорошо обучающиеся умеют применять их при решении иррациональных, показательных, логарифмических уравнений;
способствовать дальнейшему закреплению навыка обучающихся в решении уравнений, использования различных языков математики (словесного, символического, графического).
Развивающая цель: способствовать развитию у обучающихся метапредметных компетенций:
коммуникативных – формирование мыслительной, речевой деятельности, навыка сотрудничества;
регулятивных – умение управлять собственной деятельностью.
Воспитательная цель: способствовать формированию у обучающихся личностных компетенций:
смыслообразование – умение субъективного целеполагания;
Решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений, а также их систем. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств и систем. Решение системы уравнений с двумя неизвестными. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.
— Что называют решением уравнения?
— Что значит – решить уравнение?
— Что называют областью допустимых значений переменной (ОДЗ)?
— Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям?
— Какие действия при преобразовании уравнений можно назвать «опасными» и почему?