Что значит среднее геометрическое

Когда применять среднее геометрическое: ключевые примеры

Что такое среднее геометрическое?

В статистике среднее геометрическое вычисляется путем возведения произведения ряда чисел до значения, обратного общей длине ряда. Среднее геометрическое наиболее полезно, когда числа в серии не независимы друг от друга или если числа имеют тенденцию к большим колебаниям.

Применение среднего геометрического наиболее распространено в бизнесе и финансах, где оно часто используется при работе с процентами для расчета темпов роста и доходности портфеля ценных бумаг.Он также используется в некоторых индексах финансовых и фондовых рынков, таких какгеометрический индекс линии ценностиFinancial Times.

Понимание среднего геометрического

Темпы роста

Среднее геометрическое используется в финансах для расчета средних темпов роста и называется совокупным годовым темпом роста. Рассмотрим акции, которые вырастают на 10% в первый год, падают на 20% во второй год, а затем вырастают на 30% в третий год. Среднее геометрическое значение скорости роста рассчитывается следующим образом:

В доходности портфеля

Среднее геометрическое обычно используется для расчета годовой доходности портфеля ценных бумаг. Рассмотрим портфель акций, который вырастает со 100 до 110 долларов в первый год, затем снижается до 80 долларов во второй год и поднимается до 150 долларов в третий год. Затем доходность портфеля рассчитывается как (150 долл. США / 100 долл. США) ^ (1/3) = 0,1447 или 14,47%.

В фондовых индексах

Среднее геометрическое также иногда используется при построении фондовых индексов.Многие из индексов Value Line, публикуемыхFinancial Times, используют среднее геометрическое.  В этом типе индекса все акции имеют равный вес, независимо от их рыночной капитализации или цен. Индекс рассчитывается путем взятия среднего геометрического пропорционального изменения цены каждой акции в составе индекса.

Корни в геометрии

Среднее геометрическое было впервые концептуализировано греческим философом Пифагором Самосским и тесно связано с двумя другими классическими средствами, прославившимися им: средним арифметическим и средним гармоническим.

Среднее геометрическое также используется для наборов чисел, где значения, умноженные вместе, являются экспоненциальными. Примеры этого явления включают процентные ставки, которые могут быть привязаны к любым финансовым инвестициям, или статистические ставки при росте населения.

Источник

Среднее геометрическое

Предлагаемая здесь программа, помимо расчета среднего геометрического, умеет еще и приводить исходные данные к стандартному виду, а так же упорядочивать их по возрастанию или убыванию.

Среднее геометрическое или среднее пропорциональное используется человечеством в архитектурных, землемерных и инженерных расчетах не менее 2500 лет. Об этом достоверно известно благодаря математическому трактату Евклида «Начала».
В своей второй теореме Евклид доказывает, что в прямоугольном треугольнике высота проведенная из прямого угла (рисунок) делит противоположную сторону так что:

Собственно говоря, благодаря второй теореме Евклида среднее геометрическое и получило свое название. В древнем мире математики ограничивалось только использованием корня квадратного (геометрия) и корня кубического (стереометрия).
Вообще говоря, извлечение корня с различными целыми показателями является частным случаем дробной степени. Но к такому пониманию этих алгебраических операции математики подошли только в семнадцатом веке. Неоценимый вклад в достижении обобщенного понимания степенных алгебраических операции внес Рене Декарт.

В свете современных представлений:

Среднее геометрическое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат взаимного умножения этих чисел и извлечения из произведения корня с показателем равным количеству чисел:

Таким образом, мы имеем дело исключительно с положительными вещественными числами и находим такое число, что при замене каждого из этих чисел их произведение не изменяется.

Расчет среднего геометрического

Введите исходные данные

Что-то пошло не так. Прямое восхождение не может быть больше 24 часов, минуты и секунды больше 60, а склонение по абсолютной величине не должно быть больше 90°

Среднее геометрическое, a_{ср. геом}

Для наглядной демонстрации правила о средних

выводим так же результат расчета среднего арифметического:

Среднее арифметическое [1] , a_{ср. арифм}

Design by Sergey Ov for abc2home.ru

ВНИМАНИЕ! При перезагрузке страницы введенная информация не сохраняется, если Вы не сгенерировали код для записи результатов работы в командной строке:

Сохранить расчет среднего геометрического в истории браузера

Адресную строку с кодом из Ваших данных Вы можете переслать на любое устройство и воспроизвести на нем результаты расчетов

После того как будут введены хотя бы два исходных числа, цвет квадратной кнопки на поле ввода данных должен поменяться с оранжевого на зеленый, и автоматически начнется расчет среднего геометрического и сопутствующих параметров, если это не произошло, то кликните по зеленому полю кнопки.

Страницы по теме «Расчет средних значений»

Свойства среднего геометрического

1. Среднее геометрическое значение множества заданных неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого множества.

2. Кроме того среднее геометрическое подчиняется неравенству о средних для множества положительных вещественных чисел

то есть для любого множества положительных чисел среднее геометрическое никогда не бывает больше среднего арифметического [1] :

Прикладное значение среднего геометрического

P.S. На этой странице используется Бета версия программы расчета среднего геометрического, об обнаруженных недочетах, а так же возможных пожеланиях просьба сообщить на форум сайта (окно для входа на форум находится в нижней части страницы).

1. Среднее арифметическое значение (чаще используется термин, просто, «среднее арифметическое» или «среднее») множества заданных чисел определяется как число равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество:

2. Среднее степенное значение s_d порядка (степени) d от множества заданных чисел a ₁ + a ₂ + …+ a _n определяется формулой:

Источник

Среднее геометрическое чисел

В данной публикации мы рассмотрим, с помощью какой формулы можно найти среднее геометрическое чисел, а также разберем примеры задач для ее демонстрации на практике.

Расчет среднего геометрического

Чтобы вычислить среднее геометрическое двух или более чисел, требуется их перемножить, а затем из полученного результата извлечь корень, степень которого равняется их количеству.

Частные случаи формулы:

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Количество чисел	Формула
2	» data-order=»«>
3	» data-order=»«>
4	» data-order=»«>

Пример задачи

Задание 1
Найдем среднее геометрическое чисел 3, 6 и 12.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой для трех чисел:

Задание 2
Среднее геометрическое четырех чисел равняется 4, а также известны три из них – 2, 2 и 4. Найдем четвертое.

Помещаем число 4 под знак корня, сохранив равенство (для этого возводим его в четвертую степень, т.е. ):

Источник

Среднее геометрическое часто используется для набора чисел, значения которых предназначены для перемножения или являются экспоненциальными по своей природе, например набор цифр роста: значения человеческого населения или процентные ставки финансовых вложений с течением времени.

СОДЕРЖАНИЕ

Расчет

Итерационные средства

Среднее геометрическое также является средним арифметически-гармоническим в том смысле, что если определены две последовательности ( ) и ( ): а п <\ textstyle a_ > час п <\ textstyle h_ >

В этом легко убедиться из того факта, что последовательности сходятся к общему пределу (что можно показать с помощью теоремы Больцано – Вейерштрасса ) и того факта, что среднее геометрическое сохраняется:

Замена арифметического и гармонического среднего парой обобщенных средних противоположных конечных показателей дает тот же результат.

Связь с логарифмами

Среднее геометрическое также может быть выражено как экспонента среднего арифметического логарифмов. Используя логарифмические тождества для преобразования формулы, умножения можно выразить как сумму, а степень как умножение:

тогда как среднее арифметическое является минимизатором

Таким образом, среднее геометрическое представляет собой сводку выборок, показатель степени которых лучше всего соответствует показателям степени образцов (в смысле наименьших квадратов).

Сравнение со средним арифметическим

Средняя скорость роста

Применение к нормированным значениям

Это делает среднее геометрическое единственно правильным средним при усреднении нормализованных результатов; то есть результаты, которые представлены как отношения к контрольным значениям. Это имеет место при представлении производительности компьютера по сравнению с эталонным компьютером или при вычислении единого среднего индекса из нескольких разнородных источников (например, ожидаемая продолжительность жизни, годы образования и младенческая смертность). В этом сценарии использование среднего арифметического или гармонического приведет к изменению ранжирования результатов в зависимости от того, что используется в качестве эталона. Например, возьмем следующее сравнение времени выполнения компьютерных программ:

Средние арифметические и геометрические «согласны», что компьютер C самый быстрый. Однако, представляя соответствующим образом нормализованные значения и используя среднее арифметическое, мы можем показать, что любой из двух других компьютеров является самым быстрым. Нормализация по результату A дает A как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому:

в то время как нормализация по результату B дает B как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:

и нормализация на результат C дает C как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:

Во всех случаях рейтинг, определяемый средним геометрическим, остается таким же, как и рейтинг, полученный с ненормализованными значениями.

Однако это рассуждение было поставлено под сомнение. Давать стабильные результаты не всегда равносильно получению правильных результатов. Как правило, более строго назначать веса каждой из программ, вычислять средневзвешенное время выполнения (используя среднее арифметическое), а затем нормализовать этот результат на одном из компьютеров. В трех приведенных выше таблицах просто присваивается разный вес каждой из программ, объясняя несовместимые результаты средних арифметических и гармонических (первая таблица дает одинаковый вес обеим программам, вторая дает вес 1/1000 второй программе, а третий дает вес 1/100 второй программе и 1/10 первой). По возможности следует избегать использования среднего геометрического для агрегирования показателей производительности, потому что умножение времени выполнения не имеет физического смысла, в отличие от сложения времени, как в среднем арифметическом. Показатели, обратно пропорциональные времени (ускорение, IPC ), следует усреднять с использованием гармонического среднего.

Среднее геометрическое непрерывной функции

Приложения

Пропорциональный рост

Среднее геометрическое более подходит, чем среднее арифметическое, для описания пропорционального роста, как экспоненциального роста (постоянный пропорциональный рост), так и переменного роста; в бизнесе среднее геометрическое значение темпов роста известно как совокупный годовой темп роста (CAGR). Среднее геометрическое значение роста за периоды дает эквивалентную постоянную скорость роста, которая дает такую ​​же конечную сумму.

Предположим, апельсиновое дерево дает 100 апельсинов в год, а затем 180, 210 и 300 в последующие годы, поэтому рост составит 80%, 16,6666% и 42,8571% за каждый год соответственно. Используя среднее арифметическое, вычисляется (линейный) средний рост 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, эта сумма затем делится на 3). Однако, если мы начнем со 100 апельсинов и позволим им расти на 46,5079% каждый год, в результате получится 314 апельсинов, а не 300, поэтому линейное среднее значение превышает годовой рост.

Вместо этого мы можем использовать среднее геометрическое. Рост с 80% соответствует умножению с 1.80, поэтому мы возьмем среднее геометрическое 1,80, 1.166666 и 1.428571, то есть ; таким образом, «средний» рост в год составляет 44,2249%. Если мы начнем со 100 апельсинов и позволим их количеству расти на 44,2249% каждый год, в результате получится 300 апельсинов. 1,80 × 1,166666 × 1,428571 3 ≈ 1,442249 <\ displaystyle <\ sqrt [<3>] <1,80 \ times 1.166666 \ times 1.428571>> \ приблизительно 1.442249>

Финансовый

Среднее геометрическое время от времени использовалось для расчета финансовых показателей (усреднение проводится по компонентам индекса). Например, в прошлом индекс FT 30 использовал среднее геометрическое. Он также используется в недавно введенном показателе инфляции RPIJ в Соединенном Королевстве и в Европейском Союзе.

Это приводит к занижению динамики индекса по сравнению с использованием среднего арифметического.

Приложения в социальных науках

Хотя среднее геометрическое используется относительно редко при вычислении социальной статистики, начиная с 2010 года Индекс человеческого развития Организации Объединенных Наций действительно перешел на этот способ расчета на том основании, что он лучше отражает незаменимый характер собираемых и сравниваемых статистических данных:

Среднее геометрическое снижает уровень взаимозаменяемости между [сравниваемыми] измерениями и в то же время гарантирует, что снижение предполагаемой продолжительности жизни при рождении на 1 процент оказывает такое же влияние на ИЧР, как снижение уровня образования или дохода на 1 процент. Таким образом, в качестве основы для сравнения достижений этот метод также более уважительно относится к внутренним различиям по измерениям, чем к простому среднему.

Равномерно распределенный доход, эквивалентный благосостоянию, связанный с индексом Аткинсона с параметром неприятия неравенства, равным 1,0, является просто геометрическим средним доходом. Для значений, отличных от единицы, эквивалентное значение представляет собой норму Lp, деленную на количество элементов, где p равно единице минус параметр неприятия неравенства.

Геометрия

Соотношения сторон

Среднее геометрическое использовалось при выборе компромиссного соотношения сторон в фильмах и видео: учитывая два соотношения сторон, их среднее геометрическое обеспечивает компромисс между ними, искажая или обрезая оба в некотором смысле одинаково. Конкретно, два прямоугольника равной площади (с одинаковым центром и параллельными сторонами) с разными соотношениями сторон пересекаются в прямоугольнике, соотношение сторон которого является средним геометрическим, а их корпус (наименьший прямоугольник, который содержит оба из них) также имеет соотношение сторон их среднее геометрическое.

Спектральная плоскостность

Антибликовые покрытия

Субтрактивное смешение цветов

Источник

Среднее геометрическое

Что такое Среднее геометрическое?

Среднее геометрическое – это среднее значение набора продуктов, расчет которого обычно используется среднее арифметическое работает с самими значениями.

Ключевые моменты

Формула для среднего геометрического

Понимание среднего геометрического

Например, вычисление среднего геометрического можно легко понять с помощью простых чисел, таких как 2 и 8. Если вы умножите 2 и 8, а затем извлечете квадратный корень (степень ½, поскольку имеется только 2 числа), ответ будет 4. Однако когда чисел много, их труднее вычислить, если не использовать калькулятор или компьютерную программу.

Краткая справка

Чем длиннее временной горизонт, тем более критичным становится сложное сложение и тем более подходящим является использование среднего геометрического.

Основное преимущество использования среднего геометрического состоит в том, что не нужно знать фактические инвестированные суммы; расчет полностью сосредоточен на самих цифрах возврата и представляет собой сравнение «яблок с яблоками» при рассмотрении двух вариантов инвестирования за более чем один период времени. Среднее геометрическое всегда будет немного меньше среднего арифметического, которое является простым средним.

Как рассчитать среднее геометрическое

Чтобы рассчитать сложные проценты с использованием среднего геометрического дохода от инвестиций, инвестору необходимо сначала рассчитать проценты в первом году, которые составляют 10 000 долларов, умноженные на 10%, или 1000 долларов. На второй год новая основная сумма составляет 11000 долларов, а 10% от 11000 долларов составляют 1100 долларов. Новая основная сумма теперь составляет 11000 долларов плюс 1100 долларов, или 12100 долларов.

На третий год новая основная сумма составляет 12 100 долларов, а 10% от 12 100 долларов составляют 1210 долларов. По прошествии 25 лет 10 000 долларов США превращаются в 108 347,06 долларов США, что на 98 347,05 долларов США больше первоначальных инвестиций. Более короткий путь состоит в том, чтобы умножить текущую основную сумму долга на единицу плюс процентную ставку, а затем поднять коэффициент до числа сложенных лет. Расчет: 10 000 долларов США

Источник