Расчет взаимного движения Луны, Солнца и Земли
Расчет орбиты луны
1. Между двумя телами, имеющими массы (m) и (M), возникает сила притяжения (F), которая прямо пропорциональна произведению этих масс (m и M) и обратно пропорциональна квадрату расстояния (R) между ними. Это соотношение обычно представляют в виде формулы «закона всемирного тяготения»:
где G — гравитационная постоянная, равная примерно 6,6725;10^;11 м;/(кг·с;).
(Оригинально, что «постоянная» и «примерно»)
масса Луны – 7,3477;10^22 кг
масса Солнца – 1,9891;10^30 кг
масса Земли – 5,9737;10^24 кг
среднее расстояние между Землей и Луной = 384 000 000 м
среднее расстояние между Луной и Солнцем = 149 600 000 000 м
Сила притяжения между Землей и Луной = 6,6725;10^-11 х 7,3477;10^22 х 5,9737;10^24 / 384000000^2 = 1,98619;10^20 H
Сила притяжения между Луной и Солнцем = 6,6725;10^-11х 7,3477·10^22 х 1,9891·10^30 / 149600000000^2 = 4,3742;10^20 H
Сила притяжения между Землей и Солнцем = 6,6725;10^-11х 5,9737·10^24 х 1,9891·10^30 / 149600000000^2 = 3,542*10^22 Н
( Интересно, но получается, что сила притяжения между Луной и Солнцем в 2 раза больше, чем между Землей и Луной).
2. Теперь воспользуемся формулами классической Ньютоновской механики, чтобы понять процессы орбитального движения.
Итак, чтобы одно тело вращалось по орбите вокруг другого, нужно, чтобы соблюдалось одно условие: сила притяжения должна быть равна центробежной силе.
А сама центробежная сила рассчитывается по формуле:
Fц=m*V^2/R
С Землей все четко:
Fц.з = 5,9737*10^24 * 27983^2 /149 600 000 000 = 3.542*10^22 H
Это точно соответствует силе притяжения Солнцем земли на этой орбите.
Теперь Луна:
Сначала рассчитаем скорость движения Луны по орбите вокруг Земли (ведь, как утверждают ученые, она там болтается независимо от притяжения Солнца, которое в два раза сильнее)
Итак: Радиус орбиты 384 000 000м
Длина ее 384 000 000*2*3,14159265359 = 2 412 743 158 м
Делим это на 27,3 суток по 24 часа и по 3600с в часе получаем 1022,9 м/с
Fц.л = 7.3477*10^22 * 1022,9^2 /384 000 000 = 2,0021*10^20 H
Смотрим на силу притяжения луны к Земле 1,98619*10^20 Н получаем «маленькую» нестыковку размером в несколько триллионов тонн, а точнее 0,013831*10^20 Н, или 1,38*10^14 тонн.
Всмотритесь в это число: 138 000 000 000 000 сто тридцать восемь триллионов тонн. И это даже не масса, а нестыковка (разница) сил притяжения и отталкивания в невесомости. Простим такую мелочь нашим ученым? Ну конечно. Спишем это на неточность в расчетах, и примем нечто среднее за «правду» 1,995*10^20 Н.
С виду, вроде все в порядке, никто никуда улететь не должен, разве что Луна якобы (теоретически) немного удаляется от Земли потихоньку, но процесс это долгий, на наш век хватит Луны на небе.
Однако, согласно утверждениям тех же ученых, Луна – тупой булыжник без глаз и ума. Она не видит, какое благо ее притягивает, и куда ей следует лететь. Она тупо реагирует на равнодействующую сил. И ей пофиг, откуда они берутся.
И вот тут мы сталкиваемся с первым противоречием официальной науки физики. Г-н Ньютон утверждает, что если силы на тело не действуют или их равнодействующая равна «0», то оно, т.е. тело будет следовать прямолинейно и равномерно, куда и следовало ранее. Иными словами, орбитальное криволинейное движение при всех равных он исключает.
Пример – Луна, она летела себе, летела, начала ее притягивать Земля, она скривилась, но повернула. Если притяжения хватило, то осталась лететь вокруг или упала.
Теперь, если летела по кругу и центробежная сила сравнялась с притяжением, то по Ньютону ей положено далее проследовать прямо, т.е. с удалением от Земли. В этом случае центробежная сила ослабевает, а притяжение продолжает действовать и поворачивать ее опять к Земле. Но небольшое отдаление-то уже есть, и притяжение тоже ослабло хоть и немного. А скорость осталась прежней. Вот и выходит, что орбита должна отдалиться, и так далее по спирали. Тут по привычке нашей науки должны были придумать некий «универсальный орбитальный коэффициент», который позволил бы силе притяжения быть немного больше центробежной силы, но ровно на столько, чтобы спутник не улетал от базы.
Но это – лишь отступление от темы для упражнения мозгов.
3. Вернемся к комплексному подходу.
Летят два булыжника по орбите вокруг Солнца и еще притягиваются друг к другу. Т.к. скорость Луны по Солнечной орбите почти 30км/с, а по земной 1км/с, то траектория ее – просто волнистая линия вдоль Солнечной орбиты, никакого вращения «вокруг» Земли на самом деле нет.
Мало того, орбитальное движение в пустом пространстве, согласно науке должно происходить тогда, когда равнодействующая всех сил, действующих на спутник, направлена все время к центру орбиты.
Мы можем в каждый момент времени узнать равнодействующую сил? А почему нет?
Она складывается из двух притяжений (Солнца и Земли) и центробежной силы (притяжение к центру галактики пока опустим, как то успешно делают ученые). Имеем две составляющие, которые и будем использовать в дальнейшем.
Для простоты возьмем точку, когда Луна имеет ту же скорость, что и Земля и находится впереди нее. Ведь нам же сказали, что орбиты соосны и сонаправлены, а мы типа поверили.
В этом случае притяжение Солнца действует по радиусу орбиты Луны вокруг Солнца, а притяжение Земли – под 90 градусов к нему по касательной к орбите Луны вокруг Солнца.
К сожалению, на этом ресурсе с картинками проблема, поэтому иллюстрацию привести не могу.
Новое расстояние до Земли 376978-8857=368121км
Средняя скорость приближения к Земле 347м/с
Путь 12500км.
Ср. скорость к Солнцу 12м/с
Путь 430км.
Итог четвертых 10 часов:
По горизонтали 12500км
По вертикали 430км
Дальше подробные вычисления уже никому не интересны, приведу только примерные результаты:
Итог пятых 10 часов:
По горизонтали 16200км
По вертикали 570км
Итог шестых 10 часов:
По горизонтали 20700км
По вертикали 720км
Итог седьмых 10 часов:
По горизонтали 25000км
По вертикали 900км
Итог восьмых 10 часов:
По горизонтали 31000км
По вертикали 1050км
Итог девятых 10 часов:
По горизонтали 37500км
По вертикали 1400км
Итог десятых 10 часов:
По горизонтали 43000км
По вертикали 1900км
Итог 11-х 10 часов
По горизонтали 50500км
По вертикали 2500км
Итог 12-х 10 часов
По горизонтали 65000км
По вертикали 3000км
Итого суммарный путь:
По горизонтали (к Земле) – 317 379км из 384 000км
По вертикали (к Солнцу) – 12940км
Поворот вектора земной гравитации можно не учитывать в связи с его малой размерностью (менее процента), косинус такого угла на протяжении 10 дней будет стремиться к «1», а в последующие промежутки немного «повернет» его в направлении планеты, сначала снизив скорость движения Луны по направлению к Солнцу, а затем совсем его прекратив, и направив наш спутник прямиком к Земле.
И, наконец, на тринадцатый промежуток времени в 10 часов, наш любимый спутник должен протаранить под острым углом поверхность планеты, уничтожив на ней почти все живое. Это примерно 5 с половиной дней.
Вот такой астрономический триллер получается.
(На самом же деле, вызванное земным притяжением торможение Луны просто позволит Земле догнать свой спутник при движении по орбите вокруг Солнца).
Видя, что спутник устремился к Земле, я намеренно чуть добавлял скорости на пути к Солнцу и убавлял на пути к Земле, увы, это нас не спасло. И на Земную орбиту его не вывело.
При расчете с помощью математических таблиц столкновение произошло менее, чем за 5 суток.
Приведу примерный рисунок такого взаимного движения Земли и Луны:
Ничего общего с «научной» орбитой не получилось. Первая проблема мне видится как раз в наличии нескольких сил, действующих на спутник Земли. Причем их взаимная величина не позволяет отринуть их влияние как несущественное. Второй и основной является выбор системы координат и параметров движения в ней. Дело в том, что как только мы добавляем в движение Луны и Земли Солнце, то траектории и скорости их движения рассматриваются уже относительно Солнца, и моменты инерции автоматически становятся другими.
Так, при рассмотрении отвлеченного движения по орбите одно тела вокруг другого, направление его движения меняется равномерно и однонаправленно под действием баланса силы притяжения и реактивной центробежной силы, чьи линии действия всегда направлены в центр орбиты. Отсюда, момент инерции спутника всегда направлен по касательной к орбите.
При рассмотрении же тройки тел, как у нас, движение Луны направлено по касательной к солнечной орбите, и относительно Земли всегда в одном и том же направлении, сонаправленном с движением самой Земли, что не позволяет взаимное движение этих тел считать классическим орбитальным, и полностью исключает центробежную силу лунной орбиты относительно Земли., т.к. рассчитывается, исходя из орбиты солнечной, имея другую скорость как по модулю, так и по направлению.
Если мы с такой же тщательностью подойдем к движению всей солнечной системы относительно центра галактики, то эта самая солнечная система «развалится» у нас на глазах.
Какой же из всего этого можно сделать вывод?
Учитывая, что закономерности действия в этом мире центробежной силы мы можем легко проверить и измерить, что сделано многократно, в ней вроде проблемы нет.
Значит, проблема кроется либо в липовой космогонии, которую нам нарисовали в учебниках, либо в так называемой «гравитации», чье действие уразуметь и проверить толком не можем, пока не переместимся на другие тела во вселенной и не перепроверим все там в сравнении.
Есть еще вариант, что обе проблемы актуальны одновременно.
Да, честно говоря, если повнимательнее посмотреть на центробежную силу, то с ней тоже не все ладно. Ведь, по-сути, никакой центробежной силы нет. Есть инерциальное сопротивление изменению направления движения, которое зависит от скорости движения тела, его инертности, чьей мерой вроде как должна являться масса, и скорости изменения направления движения, что у нас представлено почему-то в виде радиуса кривизны траектории. Материальная природа любит стабильность, а не изменения, которым сопротивляется.
(Тут мы наталкиваемся еще на один вопрос: почему масса, а не инертность? И почему мы ее не можем измерить впрямую, а только через силу притяжения на поверхности Земли, которую в свою очередь уже называем весом тела? Так можно раскрутить почти всю физику, а за ней и остальные «науки».)
Я также задался вопросом: а какие параметры системы должны быть, чтобы было возможно взаимное движение тел такой системы, хотя бы приблизительно напоминающее нашу теорию?
Честно говоря, я не нашел пока таких параметров системы. Если начинаешь ее уменьшать, то форма траекторий приближается к «научной», если уменьшить Солнце и Луну в 10раз по диаметру и в10 раз приблизить к Земле, а массу самой Земли уменьшить до 2*10^24кг.
Но тогда время процессов уменьшается очень сильно и увеличивается скорость Луны по «орбите» вокруг Земли раза в полтора. Луна обегает вокруг Земли за 1,5суток, а вместе они вокруг Солнца они пробегают меньше, чем за полдня.
При этом не будет соблюдаться условие посуточного повторения картины звездного неба вместе с Солнцем и луной на его фоне, как не вращай Землю.
В связи с чем данный вариант был мною отринут.
Моделирование динамических систем: Как движется Луна?
Светлой памяти моего учителя — первого декана физико-математического факультета Новочеркасского политехнического института, заведующего кафедрой «Теоретическая механика» Кабелькова Александра Николаевича
Введение
Август, лето подходит к концу. Народ яростно рванул на моря, да оно и неудивительно — самый сезон. А на Хабре, тем временем, буйным цветом распускается и пахнет лженаука. Если говорить о теме данного выпуска «Моделирования. », то в нем мы совместим приятное с полезным — продолжим обещанный цикл и совсем чуть-чуть поборемся с этой самой лженаукой за пытливые умы современной молодежи.
А вопрос ведь действительной не праздный — со школьных лет мы привыкли считать, что наш ближайший спутник в космическом пространстве — Луна движется вокруг Земли с периодом 29,5 суток, особенно не вдаваясь в сопутствующие подробности. На самом же деле наша соседка своеобразный и в какой-то степени уникальный астрономический объект, с движением которого вокруг Земли не всё так просто, как, возможно хотелось бы некоторым моим коллегам из ближайшего зарубежья.
Итак, оставив полемику в стороне, попытаемся с разных сторон, в меру своей компетенции, рассмотреть эту безусловно красивую, интересную и очень показательную задачу.
1. Закон всемирного тяготения и какие выводы мы можем из него сделать
где m1, m2 — массы, соответственно Луны и Земли; G = 6,67e-11 м 3 /(кг * с 2 ) — гравитационная постоянная; r1,2 — расстояние между центрами Луны и Земли. Если принимать во внимание только эту силу, то, решив задачу о движении Луны как спутника Земли и научившись рассчитывать положение Луны на небе на фоне звезд, мы довольно скоро убедимся, путем прямых измерений экваториальных координат Луны, что в нашей консерватории не всё так гладко как хотелось бы. И дело здесь не в законе всемирного тяготения (а на ранних этапах развития небесной механики такие мысли высказывались весьма нередко), а в неучтенном возмущении движения Луны со стороны других тел. Каких? Смотрим на небо и наш взгляд сразу упирается в здоровенный, массой аж 1,99e30 килограмм плазменный шар прямо у нас под носом — Солнце. Луна притягивается к Солнцу? Ещё как, с силой, равной по модулю
где m3 — масса Солнца; r1,3 — расстояние от Луны до Солнца. Сравним эту силу с предыдущей
Возьмем положение тел, в котором притяжение Луны к Солнцу будет минимальным: все три тела на одной прямой и Земля располагается между Луной и Солнцем. В этом случае наша формула примет вид:
где 
, м — среднее расстояние от Земли до Луны; 
, м — среднее расстояние от Земли до Солнца. Подставим в эту формулу реальные параметры
Вот это номер! Получается Луна притягивается к Солнцу силой, более чем в два раза превышающей силу её притяжения к Земле.
Подобное возмущение уже нельзя не учитывать и оно определенно повлияет на конечную траекторию движения Луны. Пойдем дальше, принимая во внимание допущение о том, что орбита Земли круговая с радиусом a, найдем геометрическое место точек вокруг Земли, где сила притяжения любого объекта к Земле равна силе его притяжения к Солнцу. Это будет сфера, с радиусом
смещенная вдоль прямой, соединяющей Землю и Солнце в сторону противоположенную направлению на Солнце на расстояние
где 
— отношение массы Земли к массе Солнца. Подставив численные значения параметров получим фактические размеры данной области: R = 259300 километров, и l = 450 километров. Эта сфера носит название сферы тяготения Земли относительно Солнца.
Известная нам орбита Луны лежит вне этой области. То есть в любой точке траектории Луна испытывает со стороны Солнца существенно большее притяжение, чем со стороны Земли.
2. Спутник или планета? Гравитационная сфера действия
Эта информация, часто порождает споры, о том, что Луна не спутник Земли, а самостоятельная планета Солнечной системы, орбита которой возмущена притяжением близкой Земли.
Оценим возмущение, вносимое Солнцем в траекторию Луны относительно Земли, а так же возмущение, вносимое Землей в траекторию Луны относительно Солнца, воспользовавшись критерием, предложенным П. Лапласом. Рассмотрим три тела: Солнце (S), Землю (E) и Луну (M).
Примем допущение, что орбиты Земли относительно Солнца и Луны относительно Земли являются круговыми.
С другой стороны, в соответствии с теоремой Кориолиса, абсолютное ускорение Луны
где 
— переносное ускорение, равное ускорению Земли относительно Солнца; 
— ускорение Луны относительно Земли. Ускорения Кориолиса здесь не будет — выбранная нами система координат движется поступательно. Отсюда получаем ускорение Луны относительно Земли
Часть этого ускорения, равная 
обусловлена притяжением Луны к Земле и характеризует её невозмущенное геоцентрическое движение. Оставшаяся часть
ускорение Луны, вызванное возмущением со стороны Солнца.
Если рассматривать движение Луны в гелиоцентрической инерциальной системе отсчета, то всё намного проще, ускорение 
характеризует невозмущенное гелиоцентрическое движение Луны, а ускорение 
— возмущение этого движения со стороны Земли.
При существующих в текущую эпоху параметрах орбит Земли и Луны, в каждой точке траектории Луны справедливо неравенство
что можно проверить и непосредственным вычислением, но я сошлюсь на источник, дабы излишне не загромождать статью.
Что означает неравенство (1)? Да то, что в относительном выражении эффект от возмущения Луны Солнцем (причем очень существенно) меньше эффекта от притяжения Луны к Земле. И наоборот, возмущение Землей геолиоцентрической траектории Луны оказывает решающее влияние на характер её движения. Влияние земной гравитации в данном случае более существенно, а значит Луна «принадлежит» Земле по праву и является её спутником.
Интересным является другое — превратив неравенство (1) в уравнение можно найти геометрическое место точек, где эффекты возмущения Луны (да и любого другого тела) Землей и Солнцем одинаковы. К сожалению это у же не так просто, как в случае со сферой тяготения. Расчеты показывают, что данная поверхность описывается уравнением сумасшедшего порядка, но близка к эллипсоиду вращения. Всё что мы может сделать без лишних заморочек, это оценить общие габариты этой поверхности относительно центра Земли. Решая численно уравнение
относительно расстояния от центра Земли до искомой поверхности на достаточном количестве точек, получаем сечение искомой поверхности плоскостью эклиптики
Для наглядности здесь показаны и геоцентрическая орбита Луны и, найденная нами выше сфера тяготения Земли относительно Солнца. Из рисунка видно, что сфера влияния, или сфера гравитационного действия Земли относительно Солнца есть поверхность вращения относительно оси X, сплющенная вдоль прямой, соединяющей Землю и Солнце (вдоль оси затмений). Орбита Луны находится глубоко внутри этой воображаемой поверхности.
Для практических расчетов данную поверхность удобно аппроксимировать сферой с центром в центра Земли и радиусом равным
где m — масса меньшего небесного тела; M — масса большего тела, в поле тяготения которого движется меньшее тело; a — расстояние между центрами тел. В нашем случае
Вот этот недоделанный миллион километров и есть тот теоретический предел, за который власть старушки Земли не распространяется — её влияние на траектории астрономических объектов настолько мало, что им можно пренебречь. А значит, запустить Луну по круговой орбите на расстоянии 38,4 млн. километров от Земли (как делают некоторые лингвисты) не получится, это физически невозможно.
Эта сфера, для сравнения, показана на рисунке синей пунктирной линией. При оценочных расчетах принято считать, что тело, находящееся внутри данной сферы будет испытывать тяготение исключительно со стороны Земли. Если тело находится снаружи данной сферы — считаем что тело движется в поле тяготения Солнца. В практической космонавтике известен метод сопряжения конических сечений, позволяющий приближенно рассчитать траекторию космического аппарата, используя решение задачи двух тел. При этом всё пространство, которое преодолевает аппарат разбивается на подобные сферы влияния.
Например, теперь понятно, для того чтобы иметь теоретическую возможность совершить маневры для выхода на окололунную орбиту, космический аппарат должен попасть внутрь сферы действия Луны относительно Земли. Её радиус легко рассчитать по формуле (3) и он равен 66 тысяч километров.
Таким образом, Луна справедливо может считаться спутником Земли. Однако, ввиду существенно влияния гравитационного поля Солнца она движется не в центральном гравитационном поле, а значит её траектория не является коническим сечением.
3. Задача трех тел в классической постановке
Итак, рассмотрим модельную задачу в общей постановке, известную в небесной механике как задача трех тел. Рассмотрим три тела произвольной массы, расположенных произвольным образом в пространстве и движущихся исключительно под действием сил взаимного гравитационного притяжения
Тела считаем материальными точками. Положение тел будем отсчитывать в произвольном базисе, с которым связана инерциальная система отсчета Oxyz. Положение каждого из тел задается радиус-вектором соответственно 
, 
и 
. На каждое тело действует сила гравитационного притяжения со стороны двух других тел, причем в соответствии с третьей аксиомой динамики точки (3-й закон Ньютона)
Запишем дифференциальные уравнения движения каждой точки в векторной форме
В соответствии с законом всемирного тяготения, силы взаимодействия направлены вдоль векторов
Вдоль каждого из этих векторов выпустим соответствующий орт
тогда каждая из гравитационных сил рассчитывается по формуле
С учетом всего этого система уравнений движения принимает вид
Введем обозначение, принятое в небесной механике
— гравитационный параметр притягивающего центра. Тогда уравнения движения примут окончательный векторный вид
4. Нормирование уравнений к безразмерным переменным
Довольно популярным приемом при математическом моделировании является приведение дифференциальных уравнений и прочих соотношений, описывающих процесс, к безразмерным фазовым координатам и безразмерному времени. Нормируются так же и другие параметры. Это позволяет рассматривать, хоть и с применением численного моделирования, но в достаточно общем виде целый класс типовых задач. Вопрос о том, насколько это оправдано в каждой решаемой задаче оставляю открытым, но соглашусь, что в данном случае такой подход вполне справедлив.
Итак, введем некое абстрактное небесное тело с гравитационным параметром 
, такое, что период обращения спутника по эллиптической орбите с большой полуосью 
вокруг него равен 
. Все эти величины, в силу законов механики, связаны соотношением
Введем замену параметров. Для положения точек нашей системы
где 
— безразмерный радиус-вектор i-й точки;
для гравитационных параметров тел
где 
— безразмерный гравитационный параметр i-й точки;
для времени
где 
— безразмерное время.
Теперь пересчитаем ускорения точек системы через эти безразмерные параметры. Применим прямое двукратное дифференцирование по времени. Для скоростей
При подстановке полученных соотношений в уравнения движения всё элегантно схлопывается в красивые уравнения:
Данная система уравнений до сих пор считается не интегрируемой в аналитических функциях. Почему считается а не является? Потому что успехи теории функции комплексного переменного привели к тому, что общее решение задачи трех тел таки появилось в 1912 году — Карлом Зундманом был найден алгоритм отыскания коэффициентов для бесконечных рядов относительно комплексного параметра, теоретически являющихся общим решением задачи трех тел. Но… для применения рядов Зундмана в практических расчетах с требуемой для них точностью требует получения такого числа членов этих рядов, что эта задача во много превосходит возможности вычислительных машин даже на сегодняшний день.
Поэтому численное интегрирование — единственный способ анализа решения уравнения (5)
5. Расчет начальных условий: добываем исходные данные
Как я уже писал ранее, прежде чем начинать численное интегрирование, следует озаботится расчетом начальных условий для решаемой задачи. В рассматриваемой задаче поиск начальных условий превращается в самостоятельную подзадачу, так как система (5) дает нам девять скалярных уравнений второго порядка, что при переходе к нормальной форме Коши повышает порядок системы ещё в 2 раза. То есть нам необходимо рассчитать целых 18 параметров — начальные положения и компоненты начальной скорости всех точек системы. Где мы возьмем данные о положении интересующих нас небесных тел? Мы живем в мире, где человек ходил по Луне — естественно человечество должно обладать информацией, как эта самая Луна движется и где она находится.
То есть, скажете вы, ты, чувак, предлагаешь нам взять с полок толстые астрономические справочники, сдуть с них пыль… Не угадали! Я предлагаю сходить за этими данными к тем, кто собственно ходил по Луне, к NASA, а именно в Лабораторию реактивного движения, Пасадена, штат Калифорния. Вот сюда — JPL Horizonts web interface.
Здесь, потратив немного времени на изучение интерфейса, мы добудем все необходимые нам данные. Выберем дату, например, да нам всё равно, но пусть это будет 27 июля 2018 года UT 20:21. Как раз в этот момент наблюдалась полная фаза лунного затмения. Программа выдаст нам огромную портянку
Бр-р-р, что это? Без паники, для того, кто хорошо учил в школе астрономию, механику и математику тут боятся нечего. Итак, самое главное конечное искомые координаты и компоненты скорости Луны.
Да-да-да, они декартовы! Если внимательно прочесть всю портянку, то мы узнаем, что начало этой системы координат совпадает с центром Земли. Плоскость XY лежит в плоскости земной орбиты (плоскости эклиптики) на эпоху J2000. Ось X направлена вдоль линии пересечения плоскости экватора Земли и эклиптики в точку весеннего равноденствия. Ось Z смотрит в направлении северного полюса Земли перпендикулярно плоскости эклиптики. Ну а ось Y дополняет всё это счастье до правой тройки векторов. По-умолчанию единицы измерения координат: астрономические единицы (умнички из NASA приводят и величину автрономической единицы в километрах). Единицы измерения скорости: астрономические единицы в день, день принимается равным 86400 секундам. Полный фарш!
Аналогичную информацию мы можем получить и для Земли
Здесь в качестве начала координат выбран барицентр (центр масс) Солнечной системы. Интересующие нас данные
Для Луны нам понадобятся координаты и скорость относительно барицентра Солнечной системы, мы можем их посчитать, а можем попросит NASA дать нам такие данные
Чудесно! Теперь необходимо слегка обработать полученные данные напильником.
6. 38 попугаев и одно попугайское крылышко
Для начала определимся с масштабом, ведь наши уравнения движения (5) записаны в безразмерной форме. Данные, предоставленные NASA сами подсказывают нам, что за масштаб координат стоит взять одну астрономическую единицу. Соответственно в качестве эталонного тела, к которому мы будем нормировать массы других тел мы возьмем Солнце, а в качестве масштаба времени — период обращения Земли вокруг Солнца.
Все это конечно очень хорошо, но мы не задали начальные условия для Солнца. «Зачем?» — спросил бы меня какой-нибудь лингвист. А я бы ответил, что Солнце отнюдь не неподвижно, а тоже вращается по своей орбите вокруг центра масс Солнечной системы. В этом можно убедится, взглянув на данные NASA для Солнца
Взглянув на параметр RG мы увидим, что Солнце вращается вокруг барицентра Солнечной системы, и на 27.07.2018 центр звезды находится от него на расстоянии в миллион километров. Радиус Солнца, для справки — 696 тысяч километров. То есть барицентр Солнечной системы лежит в полумиллионе километров от поверхности светила. Почему? Да потому что все остальные тела, взаимодействующие с Солнцем так же сообщают ему ускорение, главным образом, конечно тяжеленький Юпитер. Соответственно у Солнца тоже есть своя орбита.
Мы конечно можем выбрать эти данные в качестве начальных условий, но нет — мы же решаем модельную задачу трех тел, и Юпитер и прочие персонажи в неё не входят. Так что в ущерб реализму, зная положение и скорости Земли и Луны мы пересчитаем начальные условия для Солнца, так, чтобы центр масс системы Солнце — Земля — Луна находился в начале координат. Для центра масс нашей механической системы справедливо уравнение
Поместим центр масс в начало координат, то есть зададимся 
, тогда
Перейдем к безразмерным координатам и параметрам, выбрав 
Дифференцируя (6) по времени и переходя к безразмерному времени получаем и соотношение для скоростей
где 
Теперь напишем программу, которая сформирует начальные условия в выбранных нами «попугаях». На чем будем писать? Конечно же на Питоне! Ведь, как известно, это самый лучший язык для математического моделирования.
Однако, если уйти от сарказма, то мы действительно попробуем для этой цели питон, а почему нет? Я обязательно приведу ссылку на весь код в моем профиле Github.
7. Интегрирование уравнений движения и анализ результатов
Тогда введя вектор состояния системы
сводим (7) и (5) к одному векторному уравнению
Для интегрирования (8) с имеющимися начальными условиями напишем немного, совсем немного кода
Посмотрим что у нас получилось. Получилась пространственная траектория Луны на первые 29 суток от выбранной нами начальной точки
а так же её проекция в плоскость эклиптики.
«Эй, дядя, что ты нам впариваешь?! Это же окружность!».
Во-первых, таки не окружность — заметно смещение проекции траектории от начала координат вправо и вниз. Во-вторых — ничего не замечаете? Не, ну правда?
Обещаю подготовить обоснование того (на основе анализа погрешностей счета и данных NASA), что полученное смещение траектории не есть следствие ошибок интегрирования. Пока предлагаю читателю поверить мне на слово — это смещение есть следствие солнечного возмущения лунной траектории. Крутанем-ка еще один оборот
Во как! Причем обратите внимание на то, что исходя из начальных данных задачи Солнце находится как раз в той стороне, куда смещается траектория Луны на каждом обороте. Да это наглое Солнце ворует у нас наш любимый спутник! Ох уж это Солнце!
Можно сделать вывод, что солнечная гравитация влияет на орбиту Луны достаточно существенно — старушка не ходит по небу дважды одним и тем же путём. Картинка за полгода движения позволяет (по крайней мере качественно) убедится в этом (картинка кликабельна)
Интересно? Ещё бы. Астрономия вообще наука занятная.
Постскриптум
В вузе, где я учился и работал без малого семь лет — Новочеркасском политехе — ежегодно проводилась зональная олимпиада студентов по теоретической механике вузов Северного Кавказа. Трижды мы принимали и Всероссийскую олимпиаду. На открытии, наш главный «олимпиец», профессор Кондратенко А.И., всегда говорил: «Академик Крылов называл механику поэзией точных наук».
Я люблю механику. Всё то хорошее, чего я добился в своей жизни и карьере произошло благодаря этой науке и моим замечательным учителям. Я уважаю механику.
Поэтому, я никогда не позволю издеваться над этой наукой и нагло эксплуатировать её в своих целях никому, будь он хоть трижды доктор наук и четырежды лингвист, и разработал хоть миллион учебных программ. Я искренне считаю, что написание статей на популярном публичном ресурсе должно предусматривать их тщательную вычитку, нормальное оформление (формулы LaTeX — это не блажь разработчиков ресурса!) и отсутствие ошибок, приводящих к результатам нарушающим законы природы. Последнее вообще «маст хэв».
Я часто говорю своим студентам: «компьютер освобождает ваши руки, но это не значит, что при этом нужно отключать и мозг».
Ценить и уважать механику я призываю и вас, мои уважаемые читатели. Охотно отвечу на любые вопросы, а исходный текст примера решения задачи трех тел на языке Python, как и обещал, выкладываю в своем профиле Github.
