равенство каких сил поддерживают равновесие солнца как раскаленного плазменного шара

Равенство каких сил поддерживают равновесие солнца как раскаленного плазменного шара

§ 20. ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ И ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ СОЛНЦА

1. Источники энергии Солнца. На протяжении миллиар­дов лет Солнце ежесекундно излучает огромную энергию. Как и вообще все физические процессы, излучение Солнца и других звезд подчиняется важнейшему закону природы — закону сохранения и превращения энергии. Следовательно, энергия Солнца не может возникнуть из ничего и суще­ствуют источники, поддерживающие непрерывное излучение Солнца.

Согласно современным представлениям, в недрах Солнца и других звезд происходят термоядерные реакции. В ходе этих реакций, сопровождающихся большим выделением энергии, одни химические элементы превращаются в другие. Вы знаете, что самый распространенный элемент на Солнце — водород. В недрах Солнца он ионизован и нахо­дится в виде ядер атомов водорода — протонов. Скорость этих протонов в условиях огромных температур настолько велика, что они сближаются, преодолевая электрические силы отталкивания. На очень близких расстояниях всту­пают в действие мощные ядерные силы и начинаются реак­ции, в ходе которых возникают ядра новых химических элементов. Внутри Солнца водород превращается в гелий.

Рассмотрим один из возможных путей такого перехода. Слияние двух протонов ( 1 H ) сопровождается образованием ядра тяжелого водорода дейтерия ( 2 D ) и испусканием двух элементарных частиц: позитрона (е + ) и нейтрино (ν). Кратко эту реакцию можно записать так:

. (30)

Если образовавшийся в результате взаимодействия протонов дейтерий сам вступит в ядерную реакцию с протоном, то возникнет ядро легкого изотопа гелия ( 3 Не) и выделится энергия в виде коротковолнового гамма-излучения (γ):

. (31)

В дальнейшем слияние двух ядер 3 Не приведет к образо­ванию ядра гелия ( 4 Не) и двух ядер водорода:

. (32)

кг м/с Дж

(с = 3•10 8 м/с — скорость света).

Один из продуктов протон-протонного цикла — ней­трино. Эти частицы способны почти без взаимодействия с веществом проникать сквозь толщу всей звезды, унося неко­торую энергию непосредственно из ее центральных областей. Огромная проникающая способность нейтрино делает их трудноуловимыми: их невозможно непосредственно зареги­стрировать обычными счетчиками элементарных частиц. Но сделать это крайне важно и интересно, так как нейтринное излучение, в отличие от всех других видов излучения, как бы позволяет «заглянуть» в недра Солнца. Нейтринные на­блюдения Солнца (они уже проводятся с помощью нейтрин­ных телескопов, установленных глубоко под Землей) позволят выяснить, насколько верна общепринятая гипотеза об источниках энергии Солнца и подобных ему звезд. Откры­тие источника энергии звезд имеет важное значение для по­нимания процессов, происходящих внутри звезд. Кроме того, оно послужило толчком к поискам путей технического использования термоядерного синтеза в земных условиях (проблема управляемых термоядерных реакций).

Равновесие Солнца обеспечивается тем, что силы тяго­тения, стремящиеся сжать газовый шар, уравновешиваются силами внутреннего газового давления. Исходя из этого, оценим давление и температуру в центре Солнца.

Принимая с целью упрощения расчетов и вычисляя g из закона всемирного тяготения при r = /2, полу­чим

. (33)

Так как давление есть то давление в центре Солнца можно оценить по формуле:

. (34)

Откуда р_ц = 1,1• 10 15 Па. Более строгие вычисления дают р_ц = 2 • 10 16 Па.

Несмотря на огромную плотность вещества, даже в цен­тре Солнца расстояния между частицами велики по сравне­нию с размерами частиц. Но в таком случае к веществу в центре Солнца применимо уравнение Менделеева — Клапей­рона:

,

где ρ — давление газа; R = 8,31 Дж/(моль•К) — универсаль­ная газовая постоянная; М, Т и ρ — соответственно моляр­ная масса, абсолютная температура и плотность газа. От­сюда

и получаем формулу для приближенного вычисления темпе­ратуры в центре Солнца:

(35)

Источник

Путешествие в глубь Солнца

Древние представляли себе Солнце небесным телом, состоящим из чистого света и огня. Поэтому-то и спорили последователи Аристотеля, обрушиваясь всеми дозволенными и недозволенными способами на тех, кто видел пятна на сверкающей сфере. С тех пор представления о Солнце претерпели множество изменений. Одни астрономы считали наше светило жидким, расплавленным, другие — твердым, но покрытым океаном клокочущего огня. Были и вовсе удивительные мнения. Вильям Гершель предположил, что солнечный шар холоден, как Земля и остальные планеты, и даже населен живыми существами. Плотный слой облаков защищает их от жгучих лучей огненного океана, окружающего это небесное тело.

Лишь после введения в практику астрономии спектрального анализа (1859—1862 годы) исследователи стали приходить к единому мнению по поводу нашего светила.

Кирхгоф считал Солнце раскаленным шаром очень высокой температуры, который окружен менее горячей газовой атмосферой. Но, чтобы окончательно ответить на вопрос о том, что такое Солнце, следовало прежде всего теоретически построить устойчивую модель. В этой области с начала нашего столетия работали многие выдающиеся математики, астрономы и физики.

Корона Солнца во время солнечного затмения

По современным воззрениям Солнце — раскаленный газовый шар. Границы Солнца указать трудно, потому что, как и у всякой звезды, внешние слои нашего светила представляются чрезвычайно разреженными. Температура поверхности Солнца сравнительно невелика, порядка 6000°C. Если бы нам удалось нырнуть в глубь клокочущей огненной материи с градусником в руках, мы обнаружили бы, что с глубиной температура и давление возрастают. В центре жара поднимается до тринадцати — пятнадцати миллионов градусов! Давление же — до 150—200 миллионов атмосфер. В таких условиях один кубический сантиметр солнечного вещества весил бы на Земле около ста граммов — больше, чем кубик из свинца или платины такого же объема. И все-таки в недрах Солнца — газ.

Высокая температура «разбивает» молекулы газа на атомы, а атомы — на заряженные частицы — ионы. (Этот процесс, как мы помним, называется ионизацией.) А газ, состоящий из заряженных частиц, обладает физическими свойствами, настолько отличающимися от обычного газа, что его принято рассматривать как особое состояние вещества, именуемое плазмой.

Каждую минуту Солнце теряет на излучение около двухсот миллионов тонн массы. Товарные поезда всей европейской части нашего континента не смогли бы свезти этот груз за раз. А ведь так продолжается миллиарды лет. Однако беспокоиться о том, что все наше светило полностью «выгорит», не приходится, поскольку общая масса Солнца примерно 2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 тонн. И за все время своего существования оно потеряло на излучение едва ли несколько сотых долей процента своего состава.

Видимую поверхность Солнца называют фотосферой. Это очень условная граница, глубже которой не проникает взор наблюдателя. Фотосфера Солнца окружена раскаленной, светящейся и весьма разреженной атмосферой. Условно ее делят на три части, между которыми тем более нет резких границ: 1. Обращающий слой. 2. Хромосфера. 3. Корона.

Если мы из межпланетной среды начнем приближаться к Солнцу, то даже не заметим момента, когда вторгнемся в пределы солнечной короны. Ослепительное серебристо-жемчужное сияние вокруг диска кажется в годы солнечной активности «растрепанным». Множество языков, с давних времен получивших названия лучей, перьев, опахал, арок и т. д., окружают диск. В годы спокойного Солнца корона сжата у полюсов и вытянута в направлении экватора.

Но представим себе, что, пронизав серебристо-жемчужную солнечную корону, оранжевое кольцо хромосферы, простирающееся на 7—8 тысяч километров, мы попадаем в область фотосферы, являющейся главным источником света Солнца. Нам осталось еще сто — триста километров знакомого пути. Глубже — полная неизвестность. Фотосфера весьма непрозрачна, потому мы и видим край Солнца очерченным так резко.

Но вот пройдена и фотосфера. Мы вступаем в мир формул, длинных математических расчетов и остроумных гипотез. Дальше нас ведет за собой теория.

Путешествие в глубь Солнца

Колоссальное давление в центре Солнца уравновешивается либо при столь же огромных температурах газовой упругостью, либо величайшей плотностью «упаковки» частиц.

Однако плотность «упаковки» в центрах «нормальных» звезд сравнительно невелика. Помните: кубический сантиметр солнечного вещества из центральной части светила весил всего граммов сто. Значит, упругость газа, необходимая для обеспечения равновесия звезды, должна создаваться высокой температурой. Поддерживать равновесие газового шара помогает и лучистое давление, которое также противодействует гравитационному сжатию. Однако, по сравнению с газовым давлением, его роль в звездах с массой, примерно равной солнечной, невелика.

Вы, наверное, заметили очень большую разницу температур в центре Солнца и на его поверхности. Как же распределяется эта температура внутри звезды? Как она переносится из центра к поверхности? Этот вопрос очень важен для того, чтобы представить себе внутреннее строение Солнца, а следовательно, и внутреннее строение других звезд.

В современной физике известны три способа переноса тепла: теплопроводность, конвекция и лучистый перенос.

По собственному опыту мы знаем, что теплопроводность газа очень невелика. (Потому-то пушистый шерстяной свитер гораздо теплее толстой и плотной брезентовой куртки.) Значит, первый способ переноса тепла, если и не отпадает полностью, то играет не основную роль. Конвекция означает, что более горячие слои перемешиваются с менее горячими. При помощи конвекции охлаждаем мы чай, помешивая его ложечкой в стакане. Теплый воздух, нагретый у отопительной батареи, становится легче холодного и поднимается вверх, уступая свое место слоям, которые еще не успели нагреться. В газовом, вернее плазменном, шаре Солнца перемешивание масс вещества происходит довольно интенсивно, напоминая кипение чайника на плите. Так что конвекция — вполне реальный и имеющий большое значение способ переноса тепла из недр Солнца к поверхности.

Третьим видом переноса тепла является излучение. Представьте себе, что вы в поле холодным днем разложили костер. Ветер относит пламя в сторону. Теплый воздух летит прочь, а лицу все равно жарко. От света жарко, от яркого огня, от углей раскаленных. Это лучи света несут энергию, попадают на кожу лица, рук и заставляют быстрее колебаться молекулы. Вот что такое лучистый перенос. Напомним, что именно благодаря ему мы пользуемся теплом нашего светила и вообще живем на Земле. Внутри звезды лучистая энергия рассеивается свободными электронами или поглощается атомами и тотчас же переизлучается ими дальше. Так, со ступеньки на ступеньку, тепло из внутренних областей раскаленного плазменного шара поднимается на его поверхность и рассеивается в окружающую среду.

Источник

Солнце

Урок 60. Физика 11 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Солнце»

Пришло время поговорить о центральном объекте Солнечной системы — о Солнце, которое занимает исключительное положение в нашей с вами жизни. Солнце — это типичный представитель звёзд, представляющий собой гигантский раскалённый плазменный шар, линейный радиус которого в 109 раз превышает таковой нашей планеты.

Используя третий обобщённый закон Кеплера можно показать, что масса Солнца примерно равна 2 ∙ 10 30 килограммам, что примерно в 333 000 раз больше массы Земли, и составляет почти 99,87 % суммарной массы всех тел Солнечной системы.

Второй не менее важной характеристикой Солнца является его светимость или полное количество энергии, излучаемое Солнцем по всем направлениям за единицу времени. Она определяется как произведение величины солнечной постоянной и площади сферы радиусом в одну астрономическую единицу:

Подставив в уравнение значения входящих в него величин и проведя необходимые вычисления, получаем, что светимость нашей звезды составляет примерно 3,8 ∙ 10 26 Вт.

Активное изучение Солнца и его влияние на нашу планету началось в начале XIX века. А важнейшую информацию о физических процессах, происходящих на Солнце, дало изучение его спектра поглощения. Ещё в 1814 году немецкий физик Йозеф Фраунгофер обнаружил в непрерывном солнечном спектре 576 тёмных линий — линий поглощения. Эти линии впоследствии были названы фраунгоферовыми линиями солнечного спектра. Сейчас же в солнечном спектре зарегистрировано более 30 тысяч фраунгоферовых линий, принадлежащих 72 химическим элементам. Их анализ показал, что преобладающим элементом на Солнце является водород, на долю которого приходится примерно 73,5 % солнечной массы. Ещё почти 25 % массы Солнца приходится на гелий.

Идея о гидростатическом равновесии позволила составить уравнения, по которым рассчитывают модели внутреннего строения «спокойного» Солнца, а также других звёзд.

Итак, модель спокойного Солнца даёт основания предполагать, что в его центре находится ядро, радиус которого может достигать 150—175 тыс. километров.

Над ядром располагается зона лучистого переноса. В ней происходит перенос энергии от ядра к более высоким слоям Солнца посредством поглощения и излучения фотонов высоких энергий. При этом слои не меняются своими местами, а энергия, излучённая нижним слоем, поглощается верхним и затем переизлучается им.

В последней трети радиуса Солнца находится конвективная зона, в которой передача энергии осуществляется посредством перемешивания, то есть конвекции.

Конвективная зона простирается практически до самой видимой поверхности Солнца — атмосферы.

Солнечная атмосфера состоит из нескольких слоёв: фотосферы, хромосферы и короны.

Фотосфера — это самый нижний слой солнечной атмосферы, толщиной не более трёхсот (300) километров. Именно этот нижний слой атмосферы, видимый нами как желтовато-яркий (реже белый) диск, зрительно воспринимается нами как Солнце.

Фотосфера даёт основную часть излучения Солнца. При этом считается, что наша звезда излучает энергию, как абсолютно чёрное тело. Тогда температура фотосферы Солнца может быть рассчитана по закону Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения абсолютно чёрного тела прямо пропорциональна четвёртой степени температуры:

В записанной формуле σ — это постоянная Стефана — Больцмана (σ = 5,67 ∙ 10 –8 Вт/(м 2 ∙ К 4 )).

Подставим это уравнение в формулу для определения светимости Солнца.

А из полученного равенства выразим температуру фотосферы

Подставив в полученную формулу численные значения входящих в неё величин и проведя все необходимые вычисления, получим, что температура фотосферы примерно равна 5745 К.

Температуру солнечной фотосферы можно определить и используя закон смещения Вина: длина волны, на которую приходится максимум излучения нагретого тела, обратно пропорциональна температуре этого тела:

Зная длину волны, на которую приходится максимум излучения Солнца, нетрудно определить температуру фотосферы. В большинстве случаев мы с вами будем считать, что температура фотосферы Солнца равна 6000 К.

При близком рассмотрении фотосферы можно заметить, что её поверхность состоит как бы из отдельных рисовых зёрен — гранул. Это огромные пузыри плазмы, диаметр которых может достигать 1000 километров. Время существования одной такой гранулы достаточно мало: в среднем 5—10 минут. Затем на её месте появляется новая гранула, которая будет отличаться от прежней по форме и размерам. Процесс постоянного возникновения и исчезновения гранул в фотосфере называется грануляцией.

Наиболее приметными и самыми известными объектами фотосферы Солнца являются солнечные пятна, диаметр которых может достигать 200 000 километров. Солнечные пятна — это области «холодного» газа. Их температура примерно на 2000—2500 К меньше, чем температура окружающей фотосферы. Поэтому на общем фоне поверхности Солнца они выглядят темнее (хотя, на самом деле, их реальный цвет красноватый).

Наблюдение за солнечными пятнами в начале XVII века показали, что их положение на Солнце постоянно меняется. Так было установлено, что наша звезда вращается вокруг своей оси в направлении движения планет.

Возникновение тёмных пятен на Солнце учёные связывают с колебаниями его магнитного поля. Так, в обычных условиях его индукция лишь в 2 раза превышает индукцию магнитного поля Земли. Но иногда в небольшой области возникают концентрированные магнитные поля, индукция которых может достигать 0,5 Тл. Такие мощные поля не дают горячей плазме подняться к поверхности. В результате чего вместо светлых гранул образуется тёмное пятно.

Вместе с тем вблизи пятен, где магнитное поле слабее, конвектвные движения усиливаются. И тогда в этих местах появляются хорошо заметные яркие образования — факелы. Факелы имеют сложную волокнистую структуру, а их температура на несколько сотен градусов превышает температуру фотосферы.

Во время полного солнечного затмения вокруг диска Луны бывает видна тонкая полоска красновато-фиолетового или розового цвета. Это хромосфера Солнца. Её толщина составляет порядка 10 000 километров. А температура вещества в ней увеличивается с высотой от от 4000 К до 20 000 К. Несмотря на такую высокую температуру, яркость хромосферы невелика из-за малой плотности вещества в ней.

Основным элементом структуры хромосферы Солнца являются спикулы. Они представляют собой достаточно тонкие, в масштабах Солнца, столбики светящейся плазмы.

Самая разреженная и самая горячая оболочка атмосферы Солнца — это солнечная корона. Её толщина составляет несколько радиусов Солнца. А температура плазмы в ней достигает 2 000 000 К.

Корона в основном состоит из протуберанцев и солнечных извержений. Протуберанцы наблюдаются на самом краю солнечного диска. Они похожи на гигантские арки, которые опираются на хромосферу Солнца. Как правило, в большинстве протуберанцев вещество движется медленно, а время их существования может достигать нескольких месяцев. Но иногда потоки вещества в них начинают довольно быстро двигаться. Говорят, что протуберанец стал активным.

Активный протуберанец может жить от нескольких десятков минут до нескольких суток. Затем он либо исчезает, либо превращается в эруптивный протуберанец. Они по внешнему виду напоминают гигантские фонтаны, которые в некоторых случаях «бьют» на высоту до 2 000 000 километров.

Облака плазмы, обусловленные солнечными вспышками и корональными выбросами, достигают Земли примерно через двое-трое суток. Они приводят к возникновению геомагнитных бурь на Земле, которые определённым образом влияют на технику и биологические объекты (в том числе и человека).

Число пятен и протуберанцев, частота и мощность вспышек на Солнце меняются с определённой, хотя и не очень строгой периодичностью. Эти периодические изменения солнечной активности называют солнечной цикличностью.

Наиболее известным и лучше всего изученным является солнечный цикл Швабе, длительностью около 11 лет. И цикл Хейла, равный двум циклам Швабе. За время этого цикла магнитное поле Солнца возвращается в своё исходное состояние.

Из внешней части солнечной короны истекает солнечный ветер. Он представляет собой непрерывный расширяющийся поток разрежённой плазмы, радиально исходящий от Солнца вдоль линий напряжённости магнитного поля и заполняющий собой межпланетное пространство.

И напоследок. Знаете ли вы, что Солнце светит почти белым светом?

Но из-за рассеяния и поглощения коротковолновой части спектра атмосферой Земли прямой свет Солнца у поверхности нашей планеты приобретает желтоватый оттенок.

Источник

Звездное равновесие

Звезды — это едва ли не самый распространенный тип объектов в нашей Вселенной. Только в нашей Галактике по разным оценкам их насчитывается от 100 до 400 млрд. Звезды дают большую часть видимого излучения во Вселенной. Энергия звезд может быть губительной, а может, как мы знаем на примере Земли, поддерживать жизнь на близлежащих планетах. Понимание того, как «работают» звезды, — одна из самых важных проблем астрофизики вот уже больше столетия.

Звезды бывают совершенно разные: от сверхплотных нейтронных звезд и белых карликов до красных гигантов и голубых сверхгигантов. Однако сегодня мы ограничимся рассмотрением самого распространенного класса — звезд главной последовательности. Давайте сначала определимся с названием: почему именно главная последовательность?

В начале XX века астрономы Эйнар Герцшпрунг и Генри Рассел независимо друг от друга предложили способ классификации огромного разнообразия звезд с помощью построения довольно простой диаграммы, для которой берутся всего лишь два параметра от каждой звезды: ее цвет (он связан со спектральным классом), и светимость (энергия, которую эта звезда излучает в единицу времени). Каждая звезда — это просто точка на такой диаграмме (рис. 1), которую называют диаграммой Герцшпрунга-Рассела (или просто диаграммой цвет-светимость).

Рис. 1. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела. По горизонтальной оси откладывается цвет звезды, который можно однозначно отождествить с температурой ее поверхности и с ее спектральным классом. По вертикальной оси откладывается энергия излучения в единицу времени, светимость Солнца принята за 1. Звезды в левом верхнем углу излучают в 10 4 –10 5 раз больше энергии чем Солнце, и имеют температуру 30 000–40 000 К вблизи поверхности (заметим, что часто говорят об этой температуре, как о температуре непосредственно поверхности звезды, но строго говоря это не совсем температура поверхности, а температура некоторого слоя, близкого к поверхности звезды)

На этой диаграмме выделяется полоса, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол, на которую попадает большая часть звезд. Эту полосу и называют «главной последовательностью». Солнце, в частности, лежит на главной последовательности — это звезда спектрального класса G с температурой поверхности примерно 6000 K. В главной последовательности есть как очень массивные большие звезды (их не следует путать с красными гигантами) с температурой поверхности в десятки тысяч градусов и светимостью в десятки и сотни тысяч раз больше солнечной, так и красные карликовые звезды с температурой поверхности всего 3000 К и в 1000 раз слабее Солнца по светимости (а их не следует путать с белыми карликами).

Как оказалось, основной отличительной чертой и, собственно, определением звезд главной последовательности является то, что в их недрах преобладает термоядерное горение водорода, благодаря которому эти звезды находятся в равновесии. Пока водорода достаточно, чтобы поддерживать ход реакции, звезда живет на главной последовательности. Абсолютно все звезды так или иначе проводят по крайней мере некоторое время в этой группе: массивные гиганты проводят всего несколько миллионов лет, звезды типа Солнца — примерно десять миллиардов лет, а красные карлики типов К и М могут находится там несколько триллионов лет.

Помимо главной последовательности есть и другие группы звезд, которые можно заметить на диаграмме Герцшпрунга-Рассела: белые карлики, красные гиганты, сверхгиганты, звезды типа T Тельца и т. д. Если главную последовательность можно назвать основным жизненным циклом звезд, то вышеперечисленные стадии (или группы) — это стадии смерти и рождения звезд. Так, звезда типа Солнца, израсходовав запас водорода в ядре рано или поздно начнет сжигать водород над ядром, что вызовет сильное расширение и, соответственно, остывание оболочки (стадия красного гиганта). Тогда Солнце постепенно сместится с главной последовательности в группу красных гигантов.

В этой задаче мы рассмотрим самую базовую физику звезд главной последовательности, а именно — их термодинамику, и попробуем разобраться, как устроено стабильное равновесие, в котором звезды могут находиться на протяжении миллиардов лет.

Пригодится важное правило, которое можно применить к любой самогравитирующей системе: система стабильно существует и не разваливается только тогда, когда ее полная энергия меньше нуля. Как только энергия становится больше нуля — система рискует распасться и разлететься на части, так как гравитация более не может удерживать ее. Про то, откуда это правило берется, подробно поговорим позже. Но в простейшем случае легко убедиться, что оно работает. Если, например, взять облако газа с ненулевой температурой в вакууме, то нетрудно догадаться, что при отсутствии тяготения (то есть с «выключенной» отрицательной составляющей энергии) молекулы просто разлетятся в разные стороны. Однако если «разрешить» частицам притягиваться друг к другу, то при условии, что скорости не слишком большие, гравитация может удержать газ в равновесии.

Задача

Можно считать, что энергия звезды состоит из двух частей — тепловой Е_т и гравитационной Е_г: Е = Е_г + Е_т. Если звезда достаточно горячая (как это бывает с очень массивными звездами), то к этому выражению нужно добавить энергию излучения Е_и, но о ней — чуть позже.

Гравитационная энергия задается формулой Е_г = −GM 2 /R, где G — гравитационная постоянная, M — масса звезды, R — ее радиус.

1) Помня про баланс сил давления и тяготения, выразите через Е_г и объем звезды среднее давление газа в ней. Обратите внимание, что полученный ответ не будет зависеть от природы давления. Найдите среднее давление в «идеальном» Солнце, состоящем только из водорода и имеющем массу M_sun = 2×10 33 г и радиус R_sun = 7×10 10 см.

2) Зная закон идеального одноатомного газа PV = NkT (P — давление, V — объем, N — количество атомов, k — постоянная Больцмана, T — температура), и учитывая, что тепловая энергия звезды — это просто энергия газа Е_т = 3NkT/2, выразите полную энергию звезды через ее гравитационную энергию. Должна получиться отрицательная величина, то есть звезды, в которых давление обеспечивается идеальным одноатомным газом, стабильны. Найдите температуру «идеального» Солнца.

3) Рассмотрим простой случай, когда давление излучения Р_и равно в точности давлению газа NkT/V. Найдите характерную массу звезды (в массах Солнца), находящуюся в равновесии в таких условиях. Ответ не должен зависеть от радиуса или температуры.

Подсказка 1

В пункте 1) воспользуйтесь тем, что «сила газа» — это давление газа, умноженное на площадь. Сила давления должна балансироваться гравитационной силой, которую можно оценить по порядку величины из известных нам размерных параметров.

Подсказка 2

В пункте 3) из равенства давления газа и излучения найдите температуру, выразив ее через плотность. Воспользовавшись пунктом 1), подставьте температуру и избавьтесь от радиуса, зная, что \( M=\rho V \).

Решение

Заметьте, что здесь мы не делали никакого предположения о том, какова природа этого давления: оно может быть как давлением газа, так и давлением фотонов. Полученная формула верна в любом случае.

Подставив числа для Солнца, получим, что среднее давление равно P = 10 14 Па, или 10 9 в единицах атмосферного давления. Это значение очень приблизительное, так как на самом деле давление в центре Солнца на много порядков больше давления вблизи поверхности.

2) Теперь будем считать, что давление звезды — это давление идеального одноатомного газа. Тепловая энергия в таком случае будет равна E_т = 3NkT/2, где N — полное число частиц газа (ядер водорода). С другой стороны, уравнение состояния идеального газа дает соотношение PV = NkT, а из пункта 1) получается, что PV = −E_г/3. Из этих равенство следует, что E_т = −E_г/2, и поэтому полная энергия получается равной половине гравитационной:

Это — вириальная теорема. В общем случае она утверждает, что у связной системы в равновесии полная энергия равна половине потенциальной. Так как гравитационная энергия отрицательна, то и полная энергия также отрицательна, и мы получаем, что система абсолютно стабильна.

Для солнечных параметров из условия можно получить среднюю температуру 8×10 6 K. Это значение иногда еще называют вириальной температурой. Опять же, значение довольно неточное, так как температура Солнца варьируется от десятка миллионов Кельвин вблизи центра до всего нескольких тысяч у поверхности.

3) У достаточно массивных и, соответственно, горячих звезд помимо давления газа приходится учитывать давление излучения (фотонов). Так как энергия излучения положительна, то излучение является дестабилизирующим фактором. Чтобы понять, при каких массах звезд это имеет значение, рассмотрим случай, когда давление излучения по порядку величины равно давлению газа.

Через n = N/V обозначим среднюю концентрацию частиц, которая также может быть записана в виде ρ/m_H, где ρ — средняя плотность звезды, а m_H — масса ядра водорода (то есть протона). Тогда равенство давлений газа и излучения запишется в виде

Отсюда найдем температуру:

Из пункта 1) мы помним, что P = −E_г/(3V). В нашем случае общее давление P состоит из давления излучения и давления газа, которые равны, поэтому мы можем взять просто P = 2aT 4 /3. Тогда имеем

Учитывая, что ρ = M/V, избавимся от радиуса в выражении выше и получим

Подставим температуру T и заметим, что плотность сокращается, а остается лишь масса. В итоге получаем, что M

Для сравнения, у Солнца давление излучения в среднем порядка 10 7 (в атмосферах), то есть на два порядка меньше давления газа.

Послесловие

Таким образом, мы получили (и это соответствует действительности), что у звезд с достаточно большой массой условие равновесия (то есть отрицательность полной энергии) нарушено, и такие звезды ведут себя крайне нестабильно. Есть несколько классов таких звезд, например, яркие голубые переменные (luminous blue variable — LBV). У таких звезд наблюдаются драматические изменения светимости и даже взрывы в течение жизни.

Рис. 2. Эта Киля — яркая точка на стыке двух долей туманности Гомункул. Изображение с сайта ru.wikipedia.org

В этой задаче мы также поняли, что у стабильных звезд главной последовательности полная энергия отрицательна и в равновесии равна половине гравитационной (потенциальной) энергии. Такое вириальное соотношение, как мы увидели, верно для всех звезд главной последовательности, кроме достаточно массивных звезд (массой больше нескольких десятков масс Солнца), у которых становится важным вклад излучения в давление.

Стоит обратить внимание также и на другое соотношение. В пункте 2) мы видели, что внутренняя энергия газа (кстати, она же — кинетическая энергия ядер водорода), E_т, равна половине потенциальной энергии со знаком минус: E_т = −E_г/2.

Потенциальная энергия E_г = −GM 2 /R, то есть если звезду слегка сжать, потенциальная энергия, а значит, и полная энергия, уменьшается. С другой стороны, согласно формуле из предыдущего абзаца, энергия газа, а, соответственно, и температура, возрастает. То есть, когда звезда теряет энергию, ее температура увеличивается, что говорит об отрицательной теплоемкости звезды.

С этой точки зрения, именно отрицательная теплоемкость обеспечивает такую высокую стабильность: звезда сжимается, температура увеличивается, увеличивается давление, соответственно звезда расширяется обратно, и наоборот.

Этот факт, кстати, очень важен не только для стабильности звезд на главной последовательности, но и в процессе рождения звезд. Протозвезда, которая претерпевает гравитационное сжатие на протяжении миллионов лет, эффективно теряет свою энергию. Из-за отрицательной теплоемкости в результате температура протозвезды растет до тех пор, пока не достигает значения, когда в самых ее недрах «зажигается» водород. Именно этот момент и считается условным моментом рождения звезды и «входом» на главную последовательность.

В завершение, немного отойдя от темы, давайте обсудим, почему у связных систем полная энергия должна быть отрицательной. Представьте систему из двух объектов массами m₁ и m₂, которые вращаются друг вокруг друга в открытом космосе (естественно, по эллиптическим орбитам).

Величины, которые сохраняются при таком движении, — это момент импульса и полная энергия (а также полный импульс, так как нет внешних сил). Запишем полную энергию и момент импульса такой системы. Так как она сохраняется, мы можем записать ее в любой удобный нам момент вращения — она будет абсолютно такой же во все остальные моменты. Давайте для простоты возьмем момент, когда обе звезды находятся в своих «периастрах», то есть в ближайших точках друг к другу (P₁ и P₂ на рисунке 3). Пусть в этот момент скорости звезд будут равны v₁ и v₂ (в этот момент скорости будут направлены в противоположных направлениях — вверх и вниз на нашем рисунке — и перпендикулярно соединяющей звезды линии).

Тогда полный момент импульса запишется так: L = m₁v₁r₁ + m₂v₂r₂, где r₁ и r₂ — это расстояния от точек P₁ и P₂ до центра масс системы C. Мы также знаем, что импульс полной системы сохраняется и можно положить его равным нулю (в системе центра масс). Тогда m₁v₁ = m₂v₂. И для момента импульса имеем L = m₁v₁r, где r = r₁ + r₂ — расстояние между двумя звездами.

Теперь запишем полную энергию системы

– это сумма потенциальной и кинетической энергии. Обратите внимание, что потенциальная энергия отрицательна. Учитывая, что m₁v₁ = m₂v₂ и пользуясь выражением для L, энергию можно представить в виде

то есть как функцию от расстояния.

В общем случае, если рассматривать произвольное положение звезд, то к этому выражению нужно добавить кинетическую энергию из-за движения вдоль линии, соединяющей центр масс и точку на орбите (движение по нормали). В случае точек P₁ и P₂ эти скорости равны нулю.

Тогда имеем для произвольных точек выражение для энергии

меньше нуля, то орбиты замкнуты, и звезды вращаются по эллипсам с максимальным и минимальным отдалением соответственно r_max и r_min (в точке минимума потенциала — по окружностям с расстоянием r_circle друг от друга). Если значение E_эфф становится нулем, то замкнутой орбиты нет, и объекты улетают на бесконечность по параболическим орбитам. Если энергия больше нуля, то получаются открытые гиперболические орбиты.

Оказывается, что такие рассуждения можно распространить на любую самогравитирующую систему: система стабильно существует и не разлетается только когда, когда ее полная энергия меньше нуля, а как только она становится больше, то система рискует распасться или разлететься на части, так как гравитация более не может удерживать ее.

Источник