при округлении натуральных чисел до какого либо разряда вместо всех следующих за ним цифр младших
Мерзляк 5 класс — § 32. Округление чисел. Прикидки
Вопросы к параграфу
1. Сформулируйте правило округления десятичных дробей.
Для того, чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т.д., надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставшихся цифр не изменяется; если же первая их отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу.
2. Сформулируйте правило округления натуральных чисел.
При округлении натуральных чисел до какого-либо разряда вместо всех следующих за ним цифр младших разрядов пишут нули. При этом если первая из цифр, следовавших за этим разрядом, была равной 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в данном разряде не меняется; если первая из цифр, следовавших за этим разрядом, была равной 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в данном разряде увеличивается на единицу.
Решаем устно
1. Укажите, какие из следующих дробей равны:
2. Сравните числа:
3. Назовите наибольшую десятичную дробь, меньшую 100, содержащую две цифры после запятой.
4. Назовите наименьшую десятичную дробь, большую 1 000, содержащую три цифры после запятой.
5. Укажите все натуральные значения х, при которых верно неравенство 20 Неравенство верно при х = 21, 22, 23, 24, 25, 26 и 27.
6. За кг сыра заплатили 40 р. Сколько надо заплатить за кг такого же сыра?
1) 40 : 1 • 6 = 40 • 6 = 240 (рублей) — стоит 1 кг сыра.
2) 240 : 6 • 11 = 40 • 11 = 440 (рублей) — будет стоить сыра.
Упражнения
844. Округлите:
1) до десятых:
2) до сотых:
3) до единиц:
4) до тысячных:
845. Округлите:
1) до десятых:
2) до сотых:
3) до единиц:
4) до тысячных:
846. Округлите:
1) до десятков:
2) до сотен:
3) до тысяч:
4) до миллионов:
5) до наивысшего разряда данного числа:
847. Округлите:
1) до десятков:
2) до сотен:
3) до тысяч:
4) до миллионов:
5) до наивысшего разряда данного числа:
28 099 897 ≈ 30 000 000
848. Округлите:
а) число 8 419,3576:
б) число 6 745,2891:
в) число 9 421,5307:
849. Округлите десятичные дроби, отбросив выделенные цифры, и укажите, до какого разряда выполнено округление:
850. Округлите десятичные дроби, отбросив выделенные цифры, и укажите, до какого разряда выполнено округление:
851. Запишите в метрах, предварительно округлив до сотен сантиметров:
852. Запишите в тоннах, предварительно округлив до тысяч килограммов:
853. Планета Земля движется вокруг Солнца со средней скоростью 107 228 км/ч. Округлите это число:
854. Запишите в километрах, предварительно округлив до тысяч метров:
855. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы округление было выполнено верно:
1) 4,9* = 4,9
можно подставить цифры: 0, 1, 2, 3 или 4.
2) 63,*5 = 64
можно подставить цифры: 0, 1, 2, 3 или 4.
3) 13,2*99 = 13,2
можно подставить цифры: 0, 1, 2, 3 или 4.
856. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы округление было выполнено верно:
1) 5,47*4 = 5,47
можно подставить цифры: 0, 1, 2, 3 или 4.
2) 2 3*1 = 2 400
можно подставить цифры: 0, 1, 2, 3 или 4.
857. У Вити есть 2 500 р. На свой день рождения он хочет угостить каждого из 30 своих одноклассников шоколадкой. Одна шоколадка стоит 78 р. Узнав это, Витя сразу сообразил, что денег ему хватит. Как, по вашему мнению, он смог это быстро определить?
Если округлить стоимость шоколадки до десятков рублей, то каждая шоколадка будет примерно стоить по 80 рублей.
78 рублей ≈ 80 рублей.
80 • 30 = 2 400 (рублей) — потребовалось бы на покупку, если бы шоколадки стоили по 80 рублей.
Ответ: Витя округлил стоимость шоколадки до десятков рублей и прикинул примерную цену покупки.
858. Требуется привезти 102 ящика массой 30,7 кг каждый. Водитель автомобиля, грузоподъёмность которого составляет 3 т, быстро определил, что выполнить это задание, сделав один рейс, невозможно. Как, по вашему мнению, он смог это быстро определить?
1) 30,7 кг ≈ 31 кг — примерный вес ящиков.
2) 102 ящика ≈ 100 ящиков — примерное количество ящиков.
3) 31 • 100 = 3 100 (кг) — примерная масса груза.
4) 3 100 кг > 3 000 кг = 3 тонны — значит погрузить все ящики за один рейс невозможно.
Ответ: Водитель выполнил прикидку веса и количества ящиков и определил, что даже меньшее количество ящиков будет весить больше, чем допустимая грузоподъёмность.
Упражнения для повторения
859. Кролик живёт до 12 лет, что составляет: 1) продолжительности жизни овцы; 2) продолжительности жизни козы; 3) продолжительности жизни фазана. Найдите продолжительность жизни овцы, козы и фазана.
1) 12 : 6 • 7 = 2 • 7 = 14 (лет) — продолжительность жизни овцы.
2) 12 : 2 • 3 = 6 • 3 = 18 (лет) — продолжительность жизни козы.
1) 12 : 3 • 5 = 4 • 5 = 20 (лет) — продолжительность жизни фазана.
Ответ: продолжительность жизни овцы 14 лет, козы — 18 лет, а фазана — 20 лет.
860. 1) При преобразовании неправильной дроби в смешанное число получили неполное частное 19 и остаток 5. Найдите значение a.
a = 19 • 7 + 5 = 133 + 5 = 138
2) При преобразовании неправильной дроби в смешанное число получили неполное частное 20 и остаток 10. Найдите значение m.
m = 20 • 12 + 10 = 240 + 10 = 250
861. Масса торта составляет кг и ещё его массы. Какова масса торта?
В условии задачи сказано, что весь торт можно разделить на 2 куска:
1) 1 кг = 1 000 г : 5 • 4 = 200 г • 4 = 800 г — масса жёлтого куска торта.
Мы знаем, что масса всего (целого) торта равна 1 (одной целой). Можем узнать, какую часть торта составляет кг (жёлтый кусок).
2) (часть) — доля жёлтого куска торта.
3) 800 г : 1 • 5 = 800 • 5 = 4 000 г = 4 кг — масса целого торта.
Ответ: масса торта равна 4 кг.
Задача от мудрой совы
862. Вася рассказал друзьям, что позавчера ему ещё было 10 лет, а в следующем году ему исполнится 13. Как такое может быть?
Такое возможно только в том случае, если Вася отмечает свой день рождения 31 декабря, а разговор с друзьями состоялся 1 января.
409. Заполните пропуски.
1) Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т.д., надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если про этом первая из отбрасываемых цифр равна 0,1,2,3 или 4, то последняя из оставшихся цифр не изменяется; если же первая из отбрасываемых цифр равна 5.6,7,8,9, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу.
2) При округлении натуральных чисел до какого-либо разряда вместо всех следующих за ним цифр младших разрядов пишут нули. При этом если первая из цифр, следовавших за этим разрядом, была равной 0,1,2,3,4, то цифра в данном разряде не изменяется; если же первая из цифр, следовавших за этим разрядом, была равной 5.6.7,8,9, то цифра в данном разряде увеличивается на единицу.
410. 1) Округлите число до десятых:
5.92 ̴ 5,9 ; 4,381 ̴ 4,4 ; 0,4894 ̴ 0,5; 5,617 ̴ 5.6
2) Округлите число до сотых:
12,605 ̴ 12,61; 6,726 ̴ 6,73; 0,3246 ̴ 0,32; 82,2018 ̴ 82,20
3) Округлите число до целых:
19,26 ̴ 19; 24,58 ̴ 25; 2,098 ̴ 2; 8,37 ̴ 8
4) Округлите число до тысячных:
0,6371 ̴ 0,637; 3,4093 ̴ 3,409; 5,55556 ̴ 5,556; 1,47072 ̴ 1,477.
411. Впишите в пустую клетку такую цифру, чтобы запись была верной.
412. 1) округлите число до сотен:
2) Округлите число до тысяч:
1326=1000; 68912=69000; 5555=6000; 96804=97000
3) Округлите число до наивысшего разряда данного числа:
763=800; 341=3000; 28446=30000; 8730028=900000; 6139800=6000000; 462650768=500000000.
413. Найдите все цифры, которые нужно поставить вместо звёздочки, чтобы округление было выполнено верно.
414. 1) Запишите в метрах, предварительно округлив до сотен сантиметров:
356 см=400 см = 4 м; 4392 см = 4400 см=44м
4254 см=4300 см = 43 м; 20046 см = 20000 см = 200 м.
2) Запишите в сантиметрах, предварительно округлив до десятков миллиметров:
785 мм = 790 мм = 79 см; 67314 мм = 67310 мм= 673 см
62 мм= 60 мм = 6 см 4936 мм = 4940 мм = 494 см.
3) Запишите в килограммах, предварительно округлив до тысячи граммов:
6482 г = 6000 г = 6 кг 1298 г=1000г = 1 кг
735 г = 1000 г = 1 кг 48538 г = 49000 г = 49 кг.
415. Некоторое число округлили до сотен и получили 32 600. Укажите наименьшее и наибольшее числа, при округлении которых до сотен будет получено данное число.
Округление чисел
теория по математике 📈 числа и вычисления
Это значит заменить его близким по значению числом. Все числа, полученные при округлении, называют приближенным значением числа. Для записи вместо знака равно (=) используют знак приближенно равно (≈).
Округление целых чисел
В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д. Если, например, двузначное число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единицы. Если трехзначное число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков. И так далее.
Правила округления целых чисел
При округлении целых чисел до какого-либо разряда вместо всех следующих за ним цифр младших разрядов пишут нули. При этом, если первая цифра, которая следует за этим разрядом равна 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в данном разряде не изменяется. Если же первая цифра, которая следует за этим разрядом, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в данном разряде увеличивается на 1.
Пример №1. 452≈450. Выполнено округление числа 452 до десятков (для наглядности цифру 5 выделили). Так как после десятков в наименьшем разряде единиц стоит число 2, то 5 не увеличили. Вместо 2 поставили нуль.
Пример №2. 9874≈9900 Выполнено округление до сотен. После сотен первое число в наименьшем разряде – 7, поэтому 8 увеличили на 1, а цифры 7 и 4 заменили соответственно нулями.
Пример №3. 9874≈10 000 Выполнено округление до тысяч. Также видно, что после тысяч стоит число 8, поэтому 9 увеличиваем на 1 и получаем 10 тысяч. Остальные цифры заменили нулями в соответствии с правилом округления.
Округление десятичных дробей
При округлении десятичной дроби до какого-либо разряда вместо всех следующих за ним цифр младших разрядов пишут нули, если это целая часть, и отбрасывают числа, если это дробная часть. При этом, если первая цифра, которая следует за разрядом равна 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в данном разряде не изменяется. Если же первая цифра, которая следует за этим разрядом, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в данном разряде увеличивается на 1.
Пример №4. 0,14≈0,1 Дробь округлили до десятых, так как число сотых равно 4, то 1 не увеличивали. Цифру 4 отбросили.
Пример №5. 3,85742≈3,86 Дробь округлили до сотых, так как число тысячных равно 7, то число 5 увеличиваем на 1 в соответствии с правилом округления. Цифры 742 отбрасывают.
Пример №6. 2,00123≈2,00 Дробь округлили до сотых. Так как число тысячных равно 1, то 0 не увеличивают, при этом он остается на своем месте в записи дроби, так как он показывает – до какого разряда округлили десятичную дробь.
Пример №7. 16,82≈17 Дробь округлили до единиц целой части. Так как после 6 единиц стоит число 8, то 6 увеличивают на 1. Цифры 8 и 2 отбрасывают.
Правильное округление чисел
Приближенные значения
В обычной жизни мы часто встречаем два вида чисел: точные и приближенные. И если точные до сих пор были понятны, то с приближенными предстоит познакомиться в 5 классе.
У квадрата четыре стороны — число 4 невозможно оспорить, оно точное. У каждого окна есть своя ширина, и его параметры однозначно точные. А вот арбуз весит примерно 5 кг, и никакие весы не покажут абсолютно точный вес. И градусник показывает температуру с небольшой погрешностью. Поэтому вместо точных значений величин, иногда можно использовать приближенные значения.
Весы показывают, что арбуз весит 5,160 кг. Можно сказать, что арбуз весит примерно 5 кг. Это приближенное значение с недостатком.
Часы показывают время: два часа дня и пятьдесят пять минут. В разговоре про время можно сказать: «почти три» или «время около трех». Это значение времени с избытком.
Если длина платья 1м 30 см, то 1 м — это приближенное значение длины с недостатком, а 1,5 м — это приближенное значение длины с избытком.
Приближенное значение — число, которое получилось после округления.
Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.
Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.
Округлить число значит сократить его значение до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.
Округление натуральных чисел
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и так далее.
Особенности натуральных чисел:
Округление натурального числа — это замена его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.
Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.
Правила округления чисел:
Давайте рассмотрим, как округлить число 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.
После подчеркнутой цифры стоит 8, значит к цифре разряда тысяч (в данном случае 7) прибавим 1. На месте цифр, отделенных вертикальной чертой, ставим нули.
Теперь округлим 756 485 до сотен:
Округлим число 123 до десятков: 123 ≈ 120.
Округлим число 3581 до сотен: 3581 ≈ 3580.
Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу — в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в соседнем старшем разряде увеличивается на 1.
Иногда уместно записать округленный результат с сокращениями «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард). Вот так:
Округление десятичных дробей
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:
Разряды целой части:
Разряды дробной части:
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа. У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие.
Рассмотрим десятичную дробь 7396,1248. Здесь целая часть — 7396, а дробная — 1248. При этом у каждой из них есть свои разряды, которые важно не перепутать:
Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.
То натуральное число, к которому дробь ближе, называют округленным значением числа.
Цифра, которая записана в данном разряде:
Как округлить до целых. Заменить десятичную дробь ближайшим к ней целым числом. Ближайшим будет наименьшее расстояние. При этом если расстояние до приближенного значения числа с недостатком и расстояние до приближенного значения числа с избытком равны, то округляют в большую сторону.
Как округлить до десятых. Оставить одну цифру после запятой. Изи!
Как округлить до сотых. Оставить две цифры после запятой.
Все цифры, которые стоят справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули стоят в дробной части числа, то их можно не писать.
Пример 1.
256,43 ≈ 256,4 — округление до десятых;
4,578 ≈ 4,58 — округление до сотых;
17,935 ≈ 18 — округление до целых.
Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в предыдущем разряде увеличивается на 1.
Пример 2.
79,7 ≈ 80 — округление до десятков;
0,099 ≈ 0,10 — округление до сотых.
Математическое округление и его правила быстро запомнится, если не лениться решать примеры и задачки из учебников 5 класса. А после можно пользоваться онлайн калькулятором, чтобы выиграть время и решать быстрее всех.
Статья «Больше, меньше или равно» может оказаться для тебя полезной!
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Округление чисел
Числа округляют, когда полная точность не нужна или невозможна.
Округлить число до определенной цифры (знака), значит заменить его близким по значению числом с нулями на конце.
Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т.д. Названия цифр в разрядах натурального числа можно вспомнить в теме натуральные числа.
В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д.
Если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единицы.
Если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.
Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа.
Записывают результат округления после специального знака « ≈ ». Этот знак читается как «приближённо равно».
При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления.
Поясним на примере. Округлим 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.
Теперь округлим 756 485 до сотен.
Округлим 364 до десятков.
Число 360 — приближённое значение с недостатком, а число 370 — приближённое значение с избытком.
В нашем случае, округлив 364 до десятков, мы получили, 360 — приближённое значение с недостатком.
Округлённые результаты часто записывают без нулей, добавляя сокращения «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард).
Округление также применяется для прикидочной проверки ответа в вычислениях.
Пусть нам нужно посчитать:
До точного вычисления сделаем прикидку ответа, округлив множители до наивысшего разряда.
794 · 52 ≈ 800 · 50 ≈ 40 000
Аналогично можно выполнять прикидку округлением и при делении чисел.