Уравнения с параметром
Разделы: Математика
Справочный материал
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Если 1 – а 
0, т.е. а 1, то х = 
Пример 4.
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а 1, а -1, то х = 
(единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
если а = 5, то х =
=
= 
;Дидактический материал
3. а = 
+ 
4. 
+ 3(х+1)
5. 
= 
– 
6. 
= 
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
х = – 
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
a = 
a = 
х = 
х = – 
= – 
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
6
Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 
0
4а(а – 4) 0
а(а – 4)) 0
Ответ: а 
0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
Показательные уравнения с параметром
Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х 2 – хlog3а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 32 – 4 > 0, или |log3а| > 2.
Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а 9.
Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
а – положительное число.
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
х = у
| Если а = 0, то – | 2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4 |
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.
Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).
Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х
Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство
2 – а > 1 – а (3)
Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.
Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 2
а0 =
При каком значении параметра уравнения и имеют хотя бы один общий корень
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все такие значения параметра 
при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения при каждом из которых уравнение
на промежутке 
имеет больше двух корней.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения при каждом из которых уравнение 
имеет более двух корней.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно три различных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
При каких 
уравнение 
имеет ровно три корня?
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения при которых уравнение 
на промежутке 
имеет ровно два корня.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
на промежутке 
имеет более двух корней.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения а при каждом из которых уравнение
на промежутке 
имеет более двух корней.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения 
не меньше 9.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [-1; 1].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня на промежутке [-1; 1).
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 3 корня.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно 2 различных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно 2 различных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число x из отрезка [3;5] является решением уравнения 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на [0; 1].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет единственное решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно одно решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите значения параметра a, при которых система уравнений
имеет ровно одно решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции
содержит отрезок [0; 1].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно одно решение на промежутке 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет единственное решение на промежутке 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение
имеет ровно четыре корня.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет семь или восемь решений.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [0; 3].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите значения a, при каждом из которых среди корней уравнения 
будет ровно три положительных.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых линии 
и 
ограничивают многоугольник, площадь которого не менее 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при котором система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
