Гидростатика. Сила Архимеда
На погружённое в жидкость или газ тело действует выталкивающая сила, и равная весу среды, объём которой равен объёму тела.
Выталкивающая сила (сила Архимеда) равна
\[F_A=\rho_\text <ж>g V_\text<пчт>\] где \(\displaystyle V_\text<пчт>\) — объём погружённой части тела, \(\displaystyle \rho_\text<ж>\) — плотность жидкости.
\[mg=\rho g V,\] \[F_A=\rho_0 g V\]
Имеются три возможности дальнейшего движения тела.
Два жестко связанные друг с другом одинаковых бруска, имеющие толщину \(h=5\) см, плавают в воде так, что уровень воды приходится на границу между ними (см. рисунок). Насколько изменится глубина погружения, если на два бруска положить ещё пять таких же? (Ответ дайте в сантиметрах.) 
Подвешенный на нити алюминиевый кубик целиком погружен в воду и не касается дна сосуда. Плотность алюминия равна \(\displaystyle \rho_\text< ал>=2700 \text< кг>/\text<м>^3. \) Какова длина ребра куба, если выталкивающая сила равна \(\displaystyle F_\text<Арх>=33,75\text< Н>?\) (Ответ дайте в сантиметрах.)
Сделаем рисунок с указанием сил, действующих в системе. Можем записать II закон Ньютона в векторной форме: \[\vec T+\vec F_\text<Арх>+m\vec g=m\vec a,\] так как цилиндр покоится, то ускорение равно нулю, в проекции на ось, направленную вертикально вниз, 2 закон Ньютона можно записать следующим образом: \[T- F_\text<Арх>+mg=0, \quad(1)\] массу цилиндра можно рассчитать, исходя из формулы \(\displaystyle \rho=\frac
Запишем условие равновесия кубика на поверхности эфира: \[F_\text< Арх>=mg, \quad(1)\] где \(F_\text< Арх>\) – выталкивающая сила, действующая на брусок, \(\displaystyle m\) – масса кубика, которую можно рассчитать, исходя из формулы \(\displaystyle \rho_\text<др>=\frac
В условии сказано, что жидкости хорошо перемешиваются. Из этого следует, что при смешивании получается новая жидкость, плотность которой является средним арифметическим изначальных, так как взятые объемы одинаковы. \[\rho_\text<нов>=\dfrac<\rho_1+\rho_2><2>\] Так как кубик плавает на поверхности, то можно записать: \[mg=F_\text<Арх>,\] сила тяжести, действующая на тело не изменяется, значит, выталкивающая сила тоже остается постоянной. Сначала сила Архимеда равна: \[F_\text<Арх1>=\rho_1 g V_\text<пчт1>,\] где \(\displaystyle V_\text<пчт1>=a^2x\) – объем погруженной части куба до смешивания. После смешения жидкостей в сосуде: \[F_\text<Арх2>=\rho_\text <нов>g V_\text<пчт2>=\dfrac<\rho_1+\rho_2><2>g V_\text<пчт2>,\] где \(\displaystyle V_\text<пчт2>=a^2y\) – объем погруженной части куба до смешивания, \(\displaystyle y\) – длина погруженной части стороны куба после смешивания жидкостей. Можем приравнять получившиеся выражения, получим \[\rho_1 g a^2x=\dfrac<\rho_1+\rho_2> <2>g a^2y\] \[\rho_1x=\dfrac<\rho_1+\rho_2><2>y,\] выразим отсюда y: \[y=\frac<2\rho_1 x><\rho_1+\rho_2>,\] подставим в получившееся выражение численные значения: \[y=\frac<2\cdot1500\text< кг>/\text<м>^3 \cdot1,3\text< м>><1500\text< кг>/\text<м>^3+1100\text< кг>/\text<м>^3>=1,5\text< м>\]
Однородный шарик, изготовленный из материала плотностью \(\displaystyle \rho=2000\) кг/м \(^3\) погружен в воду. Чему равен радиус шара, если выталкивающая сила равна
\(\displaystyle F_\text<Арх>=100\) Н? (Ответ дайте в сантиметрах и округлите до целых.)
Выталкивающая сила равна по определению \[F_\text<Арх>=\rho_\text <в>gV_\text<пчт>,\] где \(\displaystyle \rho_\text<в>\) – плотность воды, \(\displaystyle V_\text<пчт>\) – объем погруженной части тела. Так как шар полностью опущен в воду, то \[V_\text<пчт>=\frac43\pi R^3,\] где \(\displaystyle R\) – радиус шара, получим: \[F_\text<Арх>=\rho_\text <в>g\frac43\pi R^3,\ (1)\] выразим из формулы R: \[R=\sqrt[3]<\frac<3F_\text<Арх>><4\rho_\text<в>g\pi>>\] Подставив значения в формулу, получим: \[R=\sqrt[3]<\frac<3 \cdot100\text< Н>> <4 \cdot1000 \text< кг>/\text<м>^3\cdot10\text< м>/
