какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней точке сферической полости радиуса

Задача из Савченко.

Вам следует освежить в памяти закон Кулона, отклонить заряд из положения равновесия на небольшой угол и аккуратно расписать силы.

Часовой пояс: UTC + 7 часов

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

Источник

Какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней точке сферической полости радиуса

В рамках курса «Электричество и магнетизм» диэлектрик – это среда, содержащая большое число электрических диполей (молекул, обладающих нулевым зарядом и ненулевым электрическим дипольным моментом). Эти диполи лишены поступательных степеней свободы, но вращательные у них имеются. В отсутствие внешнего электрического поля диполи ориентированы случайно. При наложении внешнего поля диполи поворачиваются, приобретая преимущественную ориентацию. В результате к внешнему полю добавляется поле диполей. Определение полного поля составляет задачу электростатики в диэлектриках. При этом подразумевается поле в макроскопическом смысле, то есть усредненное по физически бесконечно малым элементам объема и, таким образом, не зависящее от микроскопических колебаний плотности заряда, связанных с молекулярным строением вещества. Другими словами, дополнительное поле рассчитывается в приближении сплошной среды.

В случае однородного диэлектрика даже выстроенные по внешнему полю диполи не приводят к появлению объемного заряда, поскольку в любом объеме число отрицательных и положительных зарядов одинаково. Нескомпенсированный заряд возможен только на границе диэлектрика, где он характеризуется поверхностной плотностью. Поэтому дополнительное поле можно свести к действию только поверхностных зарядов, что технически значительно проще, чем рассчитывать интегральное поле диполей по всему объему диэлектрика.

Заряды в диэлектрике могут формироваться как за счет молекул самого диэлектрика, так и зарядами, привнесенными со стороны (например, путем ионного внедрения). Заряды первого типа называются связанными, второго – сторонними или, что то же, свободными. Во избежание недоразумений подчеркнем, что данная терминология не имеет ничего общего с тем, подвижны заряды или нет.

Ниже приведен ряд практических примеров на решение задач электростатики в диэлектриках.

Источник

Какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней точке сферической полости радиуса

Два точечных положительных заряда: q₁ = 30 нКл и q₂ = 10 нКл находятся в вакууме на расстоянии L = 0,5 м друг от друга. Определите величину напряжённости электрического поля этих зарядов в точке А, расположенной на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии 2L от второго заряда (см. рисунок). Ответ приведите в ньютонах на кулон.

Напряжённость электрического поля складывается по принципу суперпозиции электрических полей. Напряжённость, создаваемая точечным зарядом на расстоянии равна Следовательно, напряжённость, создаваемая первым зарядом в точке А а вторым — Суммарная напряжённость, создаваемая зарядами:

что такое k в формуле?

Величина — коэффициент пропорциональности в законе Кулона. В СИ

Два точечных отрицательных заряда: q₁ = −20 нКл и q₂ = −40 нКл находятся в вакууме на расстоянии L = 1,5 м друг от друга. Определите величину напряжённости электрического поля этих зарядов в точке А, расположенной на прямой, соединяющей заряды, на одинаковом расстоянии от обоих зарядов. Ответ приведите в вольтах на метр.

Суммарная величина напряжённости находится по принципу суперпозиции электрических полей. Векторы напряжённости, создаваемые этими зарядами, направлены в противоположные стороны, поэтому суммарная величина напряжённости равна их разности. Напряжённость, создаваемая точечным зарядом на расстоянии равна Следовательно, напряжённость, создаваемая первым зарядом в точке А а вторым — Суммарная напряжённость, создаваемая зарядами:

В условии сказано привести ответ в В/м, а в графе «ответ» приведен ответ в Н/Кл

Сила, действующая на заряд со стороны электрического поля, направлена противоположно вектору Величина силы определяется формулой Сила Лоренца, действующая на заряд со стороны магнитного поля, направлена по правилу левой руки перпендикулярно плоскости чертежа «от нас». Величина силы определяется формулой

Точечный положительный заряд находится в точке A на плоскости XOY и имеет координаты (0; 0). Определите, какими должны быть координаты другого такого же заряда для того, чтобы в точке B, координаты которой равны (3; 4), вектор напряжённости электростатического поля, созданного этими двумя зарядами, был направлен параллельно оси OX. Ответ запишите без скобок в виде двух цифр, разделённых запятой (без пробела).

Вектор напряженности поля в точке В, созданного положительным зарядом. находящимся в точке А, направлен от него. Результирующий вектор напряженности поля по условию направлен горизонтально. Тогда делаем вывод, что вектор напряженности поля в точке В, созданного зарядом, находящимся в точке С, должен быть направлен от него вниз. Кроме того модули векторов напряженности и должны быть равны. Тогда заряды равноудалены от точки В. Отсюда находим, что второй заряд находится в точке С с координатами (0;8).

Точечный положительный заряд находится в точке A на плоскости XOY и имеет координаты (0; 0). Определите, какими должны быть координаты другого такого же заряда для того, чтобы в точке B, координаты которой равны (3; 4), вектор напряжённости электростатического поля, созданного этими двумя зарядами, был направлен параллельно оси OY. Ответ запишите без скобок в виде двух цифр, разделённых запятой (без пробела).

Второй заряд находится в точке С.

Между двумя точечными заряженными телами сила электрического взаимодействия равна 12 мН. Если заряд одного тела увеличить в 3 раза, а заряд другого тела уменьшить в 4 раза и расстояние между телами уменьшить в 2 раза, то какова будет сила взаимодействия между телами? (Ответ дайте в мН.)

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Таким образом, увеличение заряда одного из тел в 3 раза, уменьшение заряда второго тела в 4 раза и уменьшение расстояния между телами в 2 раза приведет к увеличению силы взаимодействия в раза. Она станет равной

Между двумя точечными заряженными телами сила электрического взаимодействия равна 24 мН. Если заряд одного тела увеличить в 2 раза, а заряд другого тела уменьшить в 3 раза и расстояние между телами увеличить в 2 раза, то какова будет сила взаимодействия между телами? (Ответ дайте в мН.)

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Таким образом, увеличение заряда одного из тел в 2 раза, уменьшение заряда второго тела в 3 раза и увеличение расстояния между телами в 2 раза приведет к изменению силы взаимодействия в раза. Она станет равной

Между двумя точечными заряженными телами сила электрического взаимодействия равна 20 мН. Если заряд одного тела увеличить в 4 раза, а заряд другого тела уменьшить в 5 раз и расстояние между телами уменьшить в 2 раза, то какова будет сила взаимодействия между телами? (Ответ дайте в мН.)

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Таким образом, увеличение заряда одного из тел в 4 раза, уменьшение заряда второго тела в 5 раз и уменьшение расстояния между телами в 2 раза приведет к увеличению силы взаимодействия в раза. Она станет равной

Между двумя точечными заряженными телами сила электрического взаимодействия равна 12 мН. Если заряд одного тела увеличить в 2 раза, а заряд другого тела уменьшить в 3 раза и расстояние между телами уменьшить в 2 раза, то какова будет сила взаимодействия между телами? (Ответ дайте в мН.)

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Таким образом, увеличение заряда одного из тел в 2 раза, уменьшение заряда второго тела в 3 раза и уменьшение расстояния между телами в 2 раза приведет к увеличению силы взаимодействия в раза. Она станет равной

Внутри незаряженного металлического шара радиусом r₁ = 40 см имеются две сферические полости радиусами расположенные таким образом, что их поверхности почти соприкасаются в центре шара. В центре одной полости поместили заряд нКл, а затем в центре другой — заряд нКл (см. рисунок). Найдите модуль и направление вектора напряжённости электростатического поля в точке находящейся на расстоянии = 1 м от центра шара на перпендикуляре к отрезку, соединяющему центры полостей.

В электростатике считается, что электрическое поле внутри металла отсутствует, так как иначе свободные заряды внутри металла двигались бы. Поэтому при помещении заряда в первую полость на её стенках индуцируется заряд и по принципу суперпозиции суммарное поле этих двух зарядов в металле шара равно нулю. По закону сохранения электрического заряда и в силу электронейтральности шара избыточный заряд равен Он вытесняется на поверхность шара и равномерно распределяется по ней, так как заряды внутри металла не создают поля и не влияют на распределение зарядов на поверхности шара.

После помещения заряда во вторую полость всё происходит аналогичным образом, и на поверхность шара вытесняется дополнительно заряд так что теперь на поверхности шара равномерно распределяется суммарный заряд

Поле равномерно заряженного шара вне его совпадает с полем точечного заряда, помещённого в центр шара, поэтому, согласно закону Кулона, поле в точке находящейся на расстоянии от центра шара, по модулю равно В/м и направлено вдоль радиуса от центра шара к точке

Здесь — электрическая постоянная.

Ответ: В/м, вектор направлен от центра шара к точке

Источник

Какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней точке сферической полости радиуса

На уединённой неподвижной проводящей сфере радиусом R находится положительный заряд Q. Сфера находится в вакууме. Напряжённость электростатического поля сферы в точке A равна 36 В/м. Все расстояния указаны на рисунке. Выберите все верные утверждения, описывающих данную ситуацию.

1) Потенциал электростатического поля в точке A выше, чем в точке F:

2) Потенциал электростатического поля в точках B и D одинаков:

3) Потенциал электростатического поля в точках A и B одинаков:

4) Напряжённость электростатического поля в точке C E_C = 9 В/м.

5) Напряжённость электростатического поля в точке B E_B = 0.

Для точечного заряда и поля снаружи заряженной сферы верны формулы: где Q — величина точечного заряда или заряда сферы, r — расстояние до точечного заряда или центра сферы. Потенциал на границе сферы равен потенциалу любой точки внутри сферы. Напряжённость поля внутри сферы равна нулю.

Рассмотрим предложенные утверждения.

1) Расстояние от точки A до центра сферы больше, чем расстояние от центра сферы до точки F, следовательно, потенциал в точке F больше потенциала в точке A. Утверждение 1 неверно.

2) Как известно из сказанного выше, потенциал внутри сферы равен потенциалу на границе сферы. Утверждение 2 верно.

3) Потенциал в точке B равен потенциалу на поверхности сферы, расстояние от точки A, до центра сферы больше радиуса сферы, следовательно, потенциал в точке A меньше потенциала в точке B. Утверждение 3 неверно.

4) Заметим, что точки A и C находятся на одинаковом расстоянии от центра сферы, следовательно, напряжённости поля в этих точках равны и равны 36 В/м. Утверждение 4 неверно.

5) Как известно из сказанного выше, напряжённость поля внутри сферы равна нулю. Утверждение 5 верно.

Источник

Практическое занятие № 1

Тема. Решение задач по теме «Электростатика. Электрическое поле в вакууме».

— рассмотреть электрическое поле неподвижных зарядов;

— ввести основные характеристики электростатического поля: напряженность и потенциал; выяснить физический смысл этих величин;

— показать на нескольких примерах методы решения задач на расчет основных характеристик электрического поля.

В ходе проведения занятия необходимо рассмотреть ряд качественных задач и далее решить несколько расчетных задач по мере возрастания их сложности.

При решении задач о взаимодействии зарядов необходимо сделать рисунок, указав на нем все силы, действующие на заряд.

Если заряд неподвижен, записать условия равновесия.

Если заряд движется, записать уравнение движения.

При решении задач о работе сил электрического поля над зарядами следует записать уравнения, учитывающие сохранение и превращение энергии при взаимодействии заряженных тел. Следует отметить, что решение задач по электростатике требует знания не только законов электрического поля, но и законов механики.

2. Почему проводники, используемые в электростатических экспериментах, делают полыми?

4. Имеется полая проводящая незаряженная сфера, внутрь которой помещен положительно заряженный шарик.

а) Укажите, где будут существовать электрические поля.

б) Будут ли появляться заряды на сфере?

в) Будет ли меняться поле внутри и вне сферы, если перемещать шарик; если шарик оставить неподвижным, а снаружи к сфере поднести заряженное тело?

5. Если зарядить проводник А, то на проводнике В возникают индуцированные заряды, а если зарядить проводник В, то на проводнике А индуцированные заряды не возникают. В каком случае это наблюдается?

6. Чему равна напряженность поля в центре равномерно заряженного проволочного кольца, имеющего форму окружности? В центре равномерно заряженной сферической поверхности?

7. В каком случае при сближении двух одноименно заряженных тел сила отталкивания между ними уменьшается до нуля?

8. Изменится ли напряженность электрического поля между двумя разноименно заряженными плоскостями, если расстояние между ними увеличить в 2 раза?

9. Две пересекающиеся плоскости равномерно заряжены отрицательным зарядом. В некоторой точке между плоскостями помещен радиоактивный источник. Начертите примерный вид траекторий движения положительно и отрицательно заряженных частиц, испускаемых источником. Что это за кривые?

10. Как можно изменить потенциал проводника, не касаясь его и не изменяя его заряда?

11. Сравните работы по перемещению заряда в электростатическом поле положительного точечного заряда из точки А в В и из А в С (рис. 1) и обоснуйте ответ.

12. Если металлическим шарам, имеющим разные диаметры, сообщить равные отрицательные заряды, то потечет ли ток в проводе, которым соединяют шары после их заряжения?

13. Имеется два проводника, один из них имеет заряд меньше, но потенциал выше, чем у другого. Как будут перемещаться электрические заряды при соприкосновении проводников?

14. Может ли существовать в пустоте электростатическое поле, вектор напряженности которого во всем объеме имеет одинаковое направление, а перпендикулярно к этому направлению изменяет свою величину по линейному закону (рис. 2)?

Примеры решения расчетных задач

Задача 1. По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен заряд q. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в произвольной точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном к плоскости кольца, в центре кольца.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции для электрических полей. Разобьем мысленно кольцо на участки, линейные размеры которых много меньше расстояния от этого участка до точки А, в которой рассчитываются потенциал и напряженность электрического поля.

Потенциал в точке А, созданный заряженным кольцом, согласно принципу суперпозиции для электрических полей, будет равен

Напряженность поля, созданного зарядом участка с номером i, будет равна

где — радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно участка с номером i. Выберем еще один участок, лежащий на другом конце диаметра кольца, проведенного через участок с номером i. Вектор напряженности поля, созданного этим участком, будет таким же по модулю, но другим по направлению. При этом оба вектора составляют один и тот же угол с осью Х, совпадающей с осью кольца. Если спроецировать эти векторы на оси Х и Y, то результирующая проекция на ось Х будет равна нулю. Эти рассуждения справедливы для любых двух участков, лежащих на противоположных концах диаметра. Значит, результирующий вектор напряженности в точке А будет направлен вдоль оси Y. Модуль вектора можно найти, если сложить проекции на ось Y векторов напряженности, созданных всеми участками кольца.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда модуль вектора напряженности в точке, отстоящей на расстояние l от центра кольца, будет равен

Если точка А находится очень далеко от кольца, то есть l >> R, выражение для напряженности поля будет иметь следующий вид:

то есть напряженность поля будет равна напряженности поля точечного заряда.

Если l = 0, то Е = 0, напряженность поля в центре равномерно заряженного кольца равна нулю.

Ответ:

Решение:

Чтобы пролететь сквозь кольцо, достаточно достичь его центра со скоростью, равной скорости кольца. Воспользуемся законом сохранения импульса для системы «заряд-кольцо». В начальном состоянии кольцо неподвижно, в конечном состоянии кольцо и заряд движутся как одно целое со скоростью , следовательно,

Силы, действующие на систему «заряд-кольцо», являются потенциальными, поэтому должен выполняться закон сохранения энергии. В начальный момент расстояние между зарядом и кольцом, согласно условию задачи, очень большое, поэтому потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю. Когда заряд находится в центре кольца, потенциальная энергия взаимодействия будет равна

где — потенциал в центре кольца, равный (см. задачу 1).

Тогда закон сохранения энергии запишется так:

Решая совместно (1) и (2), получим

Ответ:

Задача 3. На расстоянии R от центра незаряженного металлического шара находится точечный заряд q. Определите потенциал шара.

Решение:

Металлический шар является проводником. Шар находится в электрическом поле заряда q. Под действием этого поля заряды перераспределяются по проводнику так, чтобы потенциал всех точек шара был одинаков. Поэтому для решения задачи достаточно найти потенциал одной точки шара.

Проще всего найти потенциал поля в центре шара. Он равен сумме потенциалов, созданных в этой точке зарядом q и зарядами, индуцированными на поверхности шара. Поверхность шара можно разбить на элементарные участки, линейные размеры которых много меньше радиуса шара. Тогда потенциал в центре шара определится выражением

где — потенциал, созданный одним элементарным участком:

Ответ:

Задача 4. В середине плоского конденсатора, заряженного до напряжения U, находится маленький металлический шарик радиуса r. Какой заряд появится на шарике, если его соединить проводником с одной из пластин? Перераспределением заряда вдоль пластин конденсатора под воздействием шарика пренебречь.

Решение:

Потенциалы пластин конденсатора равны по величине и противоположны по знаку (рис. 4), то есть

При соединении шарика с одной из пластин заряды будут перемещаться на шарик до тех пор, пока потенциалы пластины и шарика станут одинаковыми. Потенциал шарика , где — заряд, переместившийся на шарик. Следовательно,

Отсюда

Ответ:

Задача 5. Заряженный шарик подвешен на нерастяжимой изолирующей нити длины l. Масса шарика равна m, его заряд равен q. На одной высоте с точкой подвеса О на расстоянии 2l от нее закреплен заряд — q. Найдите минимальную скорость v₀, которую должен иметь шарик в нижней точке, чтобы, двигаясь по окружности, он достиг верхней точки. Размерами шарика пренебречь.

Решение:

В верхней точке на шарик действует сила тяжести и сила Кулона (упругая сила со стороны нити отсутствует, так как нить нерастяжима (рис. 5)). Уравнение движения шарика запишется следующим образом

Спроецируем это уравнение на вертикальную ось X. Шарик движется по окружности радиуса l, поэтому вдоль оси X будет направлено нормальное ускорение шарика, значит

где

Из геометрических соображений

После подстановки r 2 и в (3) получим

Чтобы шарик достиг верхней точки, необходимо, чтобы

Из совместного решения (4) и (6) с учетом (5) следует:

Ответ:

Задача 6. Одна из обкладок плоского конденсатора площадью S подвешена на пружине, а другая обкладка закреплена неподвижно (рис. 6). Расстояние между пластинами в начальный момент времени равно d₀. Конденсатор на короткое время подключили к батарее, и он зарядился до напряжения U. Какой должна быть жесткость пружины , чтобы не происходило касания пластин в результате их взаимного притяжения после зарядки? Смещением пластин конденсатора за время зарядки можно пренебречь.

Решение:

Верхняя заряженная пластина находится в однородном электрическом поле нижней пластины, и на нее будет действовать постоянная сила , направленная вниз (рис. 7), здесь — напряженность электрического поля, созданного нижней пластиной. Со стороны пружины на пластину будет действовать упругая сила, зависящая от смещения пластины и равная по величине

Под действием приложенных сил верхняя пластина будет совершать гармонические колебания около некоторого положения равновесия. Положение равновесия можно определить из условия равенства нулю равнодействующей всех сил, действующих на пластину.

Амплитуда колебаний будет равна расстоянию l между положением равновесия пластины и ее первоначальным положением. Пластины не будут соприкасаться при условии, что

Сила упругости, действующая на пластину в положении равновесия, будет равна

где — растяжение пружины при незаряженном конденсаторе. Его можно определить из условия равновесия верхней пластины при отсутствии электрического поля:

Подставив (8) и (9) в (7), получим

Таким образом, пластины не будут соприкасаться, если

Ответ:

Задача 7. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью , имеется сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние, характеризуемое вектором (рис. 8). Найдите напряженность поля внутри полости.

Решение:

Ответ: см.

4. В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R = 2 см. Объемная плотность зарядов постоянна и равна Найдите напряженность поля E₁ и E₂ в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r₁ = 1см, r₂ = 3 см от оси цилиндра.

Ответ:

Ответ: График представлен на рис. 16.

Ответ:

7. N одинаковых капелек ртути заряжены одноименно до одного и того же потенциала ₀. Каков будет потенциал большой капли, получившейся в результате слияния этих капелек? (Капли считать шарообразными).

Ответ:

Ответ:

Ответ:

10. Два шарика с зарядами q₁ = 6,66 нКл и q₂ = 13,33 нКл находятся на расстоянии r₁ = 40 см друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r₂ = 25 см?

Ответ:

11. Два одинаковых шарика, имеющих одинаковые одноименные заряды, соединены пружиной жесткостью . Длина пружины l₀. Шарики колеблются так, что расстояние между ними меняется от l₁ до l₂. Найдите заряды шариков.

Ответ:

Ответ:

13. Равномерно заряженный стержень АВ в точке О создает электрическое поле напряженностью E₀, потенциал которого равен ₀. Какими станут напряженность и потенциал в точке О, если в плоскости АОВ поместить еще один такой же и также заряженный стержень A’B’, причем AO = BO = A’O = B’O при А’В’ AB?

Ответ:

14. Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 3 мкФ соединен с источником постоянного напряжения U = 20 В (рис. 18). Какую механическую работу надо совершить, чтобы расстояние между обкладками увеличить в n = 3 раза? Рассмотрите случаи: 1) перед раздвиганием обкладок конденсатор отсоединяют от источника, то есть ключ К разомкнут; 2) ключ К все время замкнут.

Ответ:

Рекомендуемая литература

Источник

Вам также может понравиться

Урок мудрости: почему грязного и вода не очистит, чистый в огне не сгорит

Привет, друзья! Сегодня мы с вами поговорим о замечательной

Поговорка ‘Кто не работает, тот и не ест’: Зачем нужно учиться и трудиться

Привет, дорогие дети! Сегодня я хочу рассказать вам

Загадочная поговорка: Имеющий дойную корову всегда будет иметь сметану

Дорогие дети, сегодня мы поговорим о загадочной поговорке «

Поговорим о поговорке: почему давшему быка на убой не дали для поджарки и легкого

Привет, дорогие дети! Сегодня мы поговорим о забавной