какой метод оптимальности управления является необходимым условием

ОПТИМА́ЛЬНОЕ УПРАВЛЕ́НИЕ

Том 24. Москва, 2014, стр. 276

Скопировать библиографическую ссылку:

ОПТИМА́ЛЬНОЕ УПРАВЛЕ́НИЕ, 1) в ав­то­ма­ти­за­ции – управ­ле­ние, ко­то­рое обес­пе­чи­ва­ет дос­ти­же­ние це­ли при сле­дую­щих ус­ло­ви­ях: по­лу­че­ние экс­тре­маль­но­го зна­че­ния за­дан­но­го кри­те­рия (по­ка­за­те­ля) ка­че­ст­ва управ­ле­ния и со­блю­де­ние ог­ра­ни­че­ний на управ­ляю­щие воз­дей­ст­вия и вы­ход­ные ве­ли­чи­ны (фа­зо­вые ко­ор­ди­на­ты). О. у. ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся для ре­ше­ния при­клад­ных тех­ни­че­ских (напр., кос­мич. на­ви­га­ция, ре­гу­ли­ро­ва­ние тех­но­ло­гич. про­цес­сов), эко­но­ми­че­ских (фор­ми­ро­ва­ние оп­ти­маль­но­го пла­на раз­ви­тия пред­при­ятия и др.), транс­порт­ных (напр., вы­бор наи­бо­лее эко­но­мич­ных мар­шру­тов пе­ре­воз­ки гру­зов) и др. за­дач. При по­ста­нов­ке за­да­чи О. у. не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать ряд осо­бен­но­стей. О. у. при­ме­ня­ет­ся при управ­ле­нии ди­на­мич. про­цес­са­ми в объ­ек­те, а имен­но про­цес­са­ми пе­ре­во­да зна­че­ний за­дан­ных фа­зо­вых ко­ор­ди­нат объ­ек­та из не­ко­то­ро­го на­чаль­но­го в за­дан­ное ко­неч­ное со­стоя­ние. О. у. мо­жет быть реа­ли­зо­ва­но толь­ко при за­да­нии од­но­го кри­те­рия ка­че­ст­ва. Это, как пра­ви­ло, ха­рак­те­ри­сти­ка тра­ек­то­рии из­ме­не­ния фа­зо­вых ко­ор­ди­нат (за­дан­ная функ­цио­на­лом), за­ви­ся­щая от па­ра­мет­ров управ­ляю­щих воз­дей­ст­вий. За­да­ча О. у. за­клю­ча­ет­ся в на­хож­де­нии сре­ди мно­же­ст­ва воз­мож­ных тра­ек­то­рий дви­же­ния фа­зо­вых ко­ор­ди­нат (со­от­вет­ст­вую­щих до­сти­же­нию це­ли управ­ле­ния) та­кой тра­ек­то­рии (экс­тре­ма­ли), на ко­то­рой кри­те­рий ка­че­ст­ва при­ни­ма­ет экс­тре­маль­ное (ми­ним. или макс.) зна­че­ние. По­ка­за­те­ля­ми ка­че­ст­ва функ­цио­ни­ро­ва­ния объ­ек­тов управ­ле­ния мо­гут быть, напр., сред­нее или макс. от­кло­не­ние па­ра­мет­ров тех­нич. сис­те­мы от за­дан­ных зна­че­ний, объ­ём вы­хо­да го­то­вой про­дук­ции, за­тра­ты ма­те­риа­лов, энер­гии и др. ре­сур­сов на еди­ни­цу го­то­вой про­дук­ции. Кро­ме то­го, при по­ста­нов­ке за­да­чи О. у. долж­ны быть ука­за­ны ог­ра­ни­че­ния на из­ме­не­ния управ­ляю­щих воз­дей­ст­вий и фа­зо­вых ко­ор­ди­нат. Раз­ли­ча­ют без­ус­лов­ные и ус­лов­ные ог­ра­ниче­ния. К без­ус­лов­ным от­но­сят ог­ра­ни­че­ния та­ких ко­ор­ди­нат, ко­то­рые не мо­гут быть на­ру­ше­ны в си­лу кон­ст­рук­тив­ных и/или фи­зич. осо­бен­но­стей объ­ек­та управ­ле­ния. Ча­ще все­го к ним от­но­сят ог­ра­ни­че­ния на управ­ляю­щие воз­дей­ст­вия. Напр., для элек­тро­при­во­да это на­пря­же­ние элек­тро­се­ти, для са­мо­лё­тов – уг­лы по­во­ро­та ру­ле­вых уст­ройств. К ус­лов­ным ог­ра­ни­че­ни­ям от­но­сят ог­ра­ни­че­ния, ко­то­рые мо­гут, но не долж­ны быть по к.-л. ус­ло­ви­ям на­ру­шены при управ­ле­нии объ­ек­том. Напр., при­ме­няя элек­тро­при­вод для пе­ре­ме­ще­ния ка­би­ны лиф­та, не­об­хо­ди­мо ог­ра­ни­чи­вать ус­ко­ре­ние раз­го­на и тор­мо­же­ния ка­би­ны с учё­том фи­зио­ло­гич. воз­мож­но­стей пас­са­жи­ров. О. у. так­же тре­бу­ет зна­ния ма­те­ма­тич. мо­де­ли объ­ек­та, т. е. ма­те­ма­тич. за­ви­си­мо­стей, свя­зы­ваю­щих управ­ляю­щие воз­дей­ст­вия, вы­ход­ные и ог­ра­ни­чи­вае­мые ко­ор­ди­на­ты.

Источник

Оптимальное управление

Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечёткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные. [3]

Содержание

Задача оптимального управления

Сформулируем задачу оптимального управления:

здесь — вектор состояния — управление, — начальный и конечный моменты времени.

Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления для времени , которые минимизируют функционал.

Вариационное исчисление

Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:

Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть — в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге [5]

Принцип максимума Понтрягина

Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно .

В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):

(6)

В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением . Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: . Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:

Где применяется

Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.

История

За разработку теории оптимального управления Л.С. Понтрягину и его сотрудникам В.Г. Болтянскому, Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко в 1962 г была присуждена Ленинская премия.

Метод динамического программирования

Источник