Комплексные числа
1. Понятие мнимой единицы
Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: i 2 = – 1.
Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.
Из этого равенства находим 
Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел.
2. Степени мнимой единицы
Рассмотрим степени мнимой единицы:
Если выписать все значения степеней числа i, то мы получим такую последовательность: i, – 1, – i, 1, i, – 1, – i, 1 и т. д. Легко видеть, что значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4.
Таким образом, если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i; если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно – 1; наконец, если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно – i. Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.
Соответственно получим i 28 = 1; i 33 = i; i 135 = – i.
3. Определение комплексного числа
Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.
Определение 1. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.
Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.
Пример 2. Найти x и y из равенства:
Решение. а) Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y = 15, 5x = – 7. Отсюда 
б) Из условия равенства комплексных чисел следует 
Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, имеем 5x = 25, т. е. x = 5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – y = 6, откуда y = – 1. Итак, получаем ответ: x = 5, y = – 1.
8–13. Найдите значения x и y из равенств:
4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
14–21. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
14. (3 + 5i) + (7 – 2i).
15. (6 + 2i) + (5 + 3i).
16. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
17. (5 – 4i) + (6 + 2i).
18. (3 – 2i) + (5 + i).
19. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
20. (– 5 + 2i) + (5 + 2i).
21. (– 3 – 5i) + (7 – 2i).
22–29. Произведите умножение комплексных чисел:
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
Пример 4. Выполнить действия:
а) (2 + 3i) 2 = 4 + 2 Ч 2 Ч 3i + 9i 2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i) 2 = 9 – 2 Ч 3 Ч 5i + 25i 2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i) 3 = 125 + 3 Ч 25 Ч 3i + 3 Ч 5 Ч 9i 2 + 27i 3 ;
так как i 2 = – 1, а i 3 = – i, то получим (5 + 3i) 3 = 125 + 225i – 135 – – 27i = – 10 + 198i.
30–37. Выполните действия:
Рассмотрим теперь применение формулы
Пример 5. Выполнить действия:
а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 5 2 – (3i) 2 = 25 – 9i 2 = 25 + 9 = 34;
б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 2 2 – (5i) 2 = 4 + 25 = 29;
в) (1 + i)(1 – i) = 1 2 – i 2 = 1 + 1 = 2.
38–43. Выполните действия:
Обратим внимание на то, что при использовании формулы (*) всегда получается частный случай комплексного числа – действительное число, а комплексные числа, которые мы умножаем, являются сопряженными.
Определение 2. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Мы видим, что произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.
Пример 6. Выполнить деление:
Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:
44–55. Выполните деление:
56–60. Выполните действия:
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.
Пример 7. Решите уравнение:
Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6)2 – 4 Ч 1 Ч 13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам
б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b 2 – 4ac =12 2 – 4 Ч 9 Ч 29 = 144 – 1044 = – 900,
Находим корни уравнения:
Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
62–65. Решите уравнения:
62. x 2 – 4x + 13 = 0.
63. x 2 + 3x + 4 = 0.
64. 2,5x 2 + x + 1 = 0.
65. 4x 2 – 20x + 26 = 0.5. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b) (рис. 1). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.
Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).
Решение. Заданные числа изображены на рис. 2.
6. Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом Z(a; b) (рис. 3).
Обозначив модуль комплексного числа буквой r. (1)
Из соотношений
и
Если в запись комплексного числа z вместо a и b подставить эти значения, то получим
Таким образом, мы получили новую форму записи комплексного числа:
которая называется тригонометрической формой комплексного числа.
Сформулируем правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической.
1. Находят модуль комплексного числа r, для чего используют формулу
2. Для нахождения j сначала определяют геометрически, в какой четверти находится точка z.
4. Записывают комплексное число z в тригонометрической форме.
Пример 9. Записать в тригонометрической форме комплексное число z = 1 + i.
1) Так как a = 1, b = 1, то
3) Составим соотношения
Этим соотношениям соответствует в I четверти угол
4) Так как
то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид
Пример 10. Записать число
Решение. 1) Здесь
Следовательно,
4) Запишем заданное число в тригонометрической форме:
и 
2) Изобразим число z геометрически (рис. 4). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая в I четверти, и вектор z.
в тригонометрической форме.
2) Изобразим число z геометрически (рис. 5). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая во II четверти, и вектор z.
Пример 11. Записать в тригонометрической форме чисто мнимое число z = – 3i. 
Решение. 1) Запишем данное число в виде z = 0 – 3i. Значит, a = 0, b = – 3, откуда
2) Точка, соответствующая геометрически числу z = – 3i, лежит на мнимой оси (рис. 6).
3) Аргумент этого числа равен
так как угол отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.
4) Запишем данное число в тригонометрической форме:
66–71. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:
7. Показательная форма комплексного числа
которое называется формулой Эйлера.
Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.
Итак, существуют три формы записи комплексного числа:
z = a + bi – алгебраическая форма;
z = r (cos j + i sin j ) – тригонометрическая форма;
z = re ij – показательная форма.
,
Пример 12. Записать число 
в показательной форме.
Решение. Здесь 
Следовательно, показательная форма числа имеет вид
Введение в комлексные числа
Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.
А школьники могут что-то новое узнать 😉
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.
Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как
Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство
x называется действительной частью, y — мнимой.
Это алгебраическая форма записи комплексного числа.
Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:
С введением, пожалуй, все.
Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.
У нас есть два таких комплексных числа:
Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:
Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число
Умножение выполняется вот так:
Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:
Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:
Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.
UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь 😉
Числа. Возведение комплексных чисел в степень.
Рассмотрим на примере:
Возведем в квадрат комплексное число: 
.
Этот пример можно решить 2-мя способами, 1-й способ: перепишем степень как произведение множителей: 
и перемножим числа по правилу умножения многочленов.
2-й способ: применение формулы сокращенного умножения 
:
Для комплексного числа очень просто вывести формулу сокращенного умножения:
.
Такую же формулу просто вывести для квадрата разности и для куба суммы и куба разности.
Если комплексное число необходимо возвести в пятую, десятую либо сотую степень, то здесь нужно воспользоваться тригонометрической формой комплексного числа и формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме 
, то при его возведении в натуральную степень n верна формула:
Для начала необходимо представить это число в тригонометрической форме:
Тогда, по формуле Муавра:
Не нужно считать на калькуляторе 
, а угол в основном числе случае лучше упростить, т.е. необходимо избавиться от лишних оборотов. Один оборот равен 
радиан либо 360 градусов.
Вычислим сколько оборотов в аргументе 
. Что бы было удобнее, сделаем дробь правильной:
,
Теперь видим, что можно избавиться от одного оборота: 
. Видим, что 
и 
– это один и тот же угол.
Т.о., итоговый результат записываем так:
Для более стандартного вида, запись можно представить так:
(то есть избавиться от еще одного оборота и получить значение аргумента в стандартном виде).
Еще можно представить в таком виде:
Если мнимую единицу возводить в четную степень, то методика решения такая:
Если мнимую единицу возводить в нечетную степень, то убираем одно i и получаем четную степень:
Если есть минус (либо всякий действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
I в квадрате комплексные числа чему равно
VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и 
называются комплексно сопряженными.
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора 
, изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
Используя формулу Эйлера
комплексное число 
можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол 
( k =0;–1;1;–2;2…).
Пример 7.1. Записать комплексные числа 
в тригонометрической и показательной формах.
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби 
на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.
