E = mc²: Самое знаменитое уравнение Эйнштейна
Это гораздо больше, чем взаимосвязь массы-энергии, это ключ к пониманию квантовой Вселенной.
В течение сотен лет существовал непреложный закон физики, который никогда не оспаривался: при любой реакции, происходящей во Вселенной, масса вещества сохранялась. Независимо от того, что с чем реагирует, масса исходных веществ и масса получившихся будет равна. Но, по законам специальной теории относительности, масса просто не может быть конечной сохраненной величиной, так как разные наблюдатели не соглашались бы с тем, что такое энергия системы. Вместо этого Эйнштейн смог получить закон, который мы используем сегодня, управляемый одним из самых простых, но самых мощных и изящных уравнений из всех существующих:
В самом известном уравнении Эйнштейна есть только три составляющих:
Это уравнение полностью меняет мир. Как выразился сам Эйнштейн:
Из специальной теории относительности следует, что масса и энергия — это одновременно разные проявления одного и того же — несколько необычная концепция для среднего ума.
Вот три самых важных по значимости вывода, которые следуют из этого простого уравнения:
Факт эквивалентности массы-энергии привел Эйнштейна к его величайшему достижению: Общей теории относительности. Представьте, что у вас есть частица материи и частица антивещества, каждая из которых имеет одинаковую массу покоя. Вы можете уничтожить их, и они будут производить фотоны определенного количества энергии, точного количества, заданного формулой E=mc². Теперь представьте, что пара частиц/античастиц движется очень быстро, как будто они падают из космоса, а затем самоуничтожаются вблизи поверхности Земли. Эти фотоны теперь будут иметь дополнительную энергию: не только E от E = mc², но и дополнительную E от количества кинетической энергии, которую они получили при падении.
Если мы хотим сохранить энергию, мы должны понять, что гравитационное красное смещение (а также синее смещение) должно быть реальным. Теория всемирного тяготения Ньютона не может объяснить этого, но в Общей теории относительности Эйнштейна кривизна пространства означает, что попадание в гравитационное поле заставляет вас получать энергию, а выход из гравитационного поля заставляет вас терять энергию. Тогда полное и общее отношение для любого движущегося объекта — это не только E=mc², но и E²=m²c⁴+ p²c² (где p — импульс.) Только обобщая вещи, включающие энергию, импульс и гравитацию, мы можем действительно описать Вселенную.
Спросите Итана №78: почему E = mc2?
Самое знаменитое уравнение Эйнштейна вычисляется более красиво, чем это можно было бы ожидать.
Из специальной теории относительности вытекает, что масса и энергия являются разными проявлениями одного и того же – концепция, среднему уму незнакомая.
— Альберт Эйнштейн
Некоторые научные концепции настолько меняют мир и настолько глубоки, что практически каждый знает о них, даже если полностью и не понимает. Почему бы не поработать над этим вместе? Каждую неделю вы отправляете ваши вопросы и предложения, и на этой неделе я выбрал вопрос Марка Лиюва, который спрашивает:
Если бы наша Вселенная не была устроена так, как сейчас, то всё могло бы быть по-другому. Давайте посмотрим, что я имею в виду.
С одной стороны, у нас имеются объекты с массой: от галактик, звёзд и планет до самых мелких молекул, атомов и фундаментальных частиц. Хотя они и крохотные, у каждой из компонент того, что известно нам под именем материи, имеется фундаментальное свойство массы, что означает, что даже если исключить его движение, даже если замедлить его до полной остановки, он всё равно будет оказывать влияние на все остальные объекты Вселенной.
Конкретно, он оказывает гравитационное притяжение на всё остальное во Вселенной, неважно, на каком расстоянии находится удалённый объект. Он притягивает всё к себе, испытывает притяжение ко всему остальному, а также обладает энергией, присущей самому его существованию.
Последнее утверждение контринтуитивно, поскольку об энергии, по крайней мере, в физике, говорят, как о возможности что-либо сделать – о возможности совершать работу. А что можно сделать, если ты просто сидишь на месте?
Перед тем, как ответить, давайте посмотрим на другую сторону монеты – вещи без массы.
С другой стороны, существуют вещи, не имеющие массы – например, свет. У этих частиц есть определённая энергия, и это легко понять, наблюдая их взаимодействие с другими вещами – при поглощении свет передаёт им свою энергию. Свет с достаточной энергией может разогревать материю, добавлять кинетическую энергию (и скорость), вышибать электроны на верхние энергетические уровни или вообще ионизировать, в зависимости от энергии.
Более того, количество энергии, содержащейся в безмассовой частице, определяется только её частотой и длиной волны, произведение которых всегда равняется скорости движения частицы: скорости света. Значит, у более длинных волн частоты меньше, и энергия меньше, а у коротких – частоты и энергия выше. Массивную частицу можно замедлить, а попытки отобрать энергию у безмассовой приведут лишь к удлинению её волны, а не к изменению скорости.
Изначально коробочка не двигается, но поскольку фотоны обладают энергией (и импульсом), когда фотон сталкивается с зеркалом с одной стороны коробки и отскакивает, коробка начнёт движение в том направлении, в котором изначально двигался фотон. Когда фотон достигнет другой стороны, он отразится от зеркала с другой стороны, изменяя импульс коробки обратно до нуля. И он продолжит отражаться таким образом, в то время как коробка половину времени будет двигаться в одну сторону, а другую половину – оставаться неподвижной.
В среднем коробка будет двигаться и, следовательно, так как у неё есть масса, будет иметь определённую кинетическую энергию, благодаря энергии фотона. Но важно также помнить про импульс, количество движения объекта. Импульс фотонов связан с их энергией и длиной волны очень просто: чем короче волна и выше энергия, тем выше импульс.
Подумаем о том, что это значит, и для этого проведём ещё один эксперимент. Представьте, что происходит, когда изначально двигается только сам фотон. У него будет определённое количество энергии и импульс. Оба свойства должны сохраняться, поэтому в начальный момент энергия фотона определена его длиной волны, а у коробки есть только энергия покоя – какая бы она ни была – и фотон обладает всем импульсом системы, а у коробки импульс нулевой.
Затем фотон сталкивается с коробкой и временно поглощается. Импульс и энергия должны сохраняться – это основные законы сохранения Вселенной. Если фотон поглощён, то существует только один способ сохранить импульс – коробка должна двигаться с определённой скоростью в том же направлении, в котором двигался фотон.
Проблема? Нет, это довольно просто решить. Энергия системы коробка/фотон равна массе покоя коробки плюс кинетической энергии коробки плюс энергии фотона. Когда коробка поглощает фотон, большая часть его энергии переходит в увеличение массы коробки. Когда коробка поглотила фотон, её масса меняется (увеличивается) по сравнению с той, что была до столкновения.
СОДЕРЖАНИЕ
Описание
Масса в специальной теории относительности
Релятивистская масса
Сохранение массы и энергии
Безмассовые частицы
Композитные системы
Отношение к гравитации
Эффективность
Расширение для систем в движении
В отличие от энергии системы в инерциальной системе отсчета, релятивистская энергия ( ) системы зависит как от массы покоя ( ), так и от общего количества движения системы. Распространение уравнения Эйнштейна на эти системы дается формулой: E р е л <\ displaystyle E _ <\ rm 
м 0 <\ displaystyle m_ <0>>
Низкоскоростное расширение
Для скоростей, намного меньших скорости света, члены высшего порядка в этом выражении становятся все меньше и меньше, потому что v / c маленький. Для низких скоростей можно игнорировать все условия, кроме первых двух:
Приложения
Приложение к ядерной физике
Практические примеры
E / м = c 2 = ( 299 792 458 м / с ) 2 = 89 875 517 873 681 764 Дж / кг (≈ 9,0 × 10 16 джоулей на килограмм).
Таким образом, энергетический эквивалент одного килограмма массы равен
или энергия, выделяемая при сгорании:
Всякий раз, когда к системе добавляется энергия, она набирает массу, как показано при изменении уравнения:
История
Хотя Эйнштейн был первым, кто правильно вывел формулу эквивалентности массы и энергии, он не был первым, кто связал энергию с массой, хотя почти все предыдущие авторы считали, что энергия, вносящая вклад в массу, исходит только от электромагнитных полей. После открытия формула Эйнштейна первоначально была записана во многих различных обозначениях, а ее интерпретация и обоснование получили дальнейшее развитие в несколько этапов.
События до Эйнштейна
В 1905 году, независимо от Эйнштейна, французский эрудит Гюстав Ле Бон предположил, что атомы могут выделять большое количество скрытой энергии, исходя из всеобъемлющей качественной философии физики.
Электромагнитная масса
Тем самым Пуанкаре попытался спасти теорему о центре масс в теории Лоренца, хотя его трактовка привела к радиационным парадоксам.
Австрийский физик Фридрих Хазенёрль показал в 1904 году, что излучение электромагнитного резонатора вносит свой вклад в «кажущуюся массу».
к массе полости. Он утверждал, что это также подразумевает зависимость массы от температуры.
Эйнштейн: эквивалентность массы и энергии
Соотношение масса – скорость
При разработке специальной теории относительности Эйнштейн обнаружил, что кинетическая энергия движущегося тела равна
Он включил второй член справа, чтобы гарантировать, что для малых скоростей энергия будет такой же, как в классической механике, таким образом удовлетворяя принципу соответствия :
Без этого второго члена был бы дополнительный вклад в энергию, когда частица не двигалась.
Взгляд Эйнштейна на массу
Вывод Эйнштейна 1905 года
Уже в своей статье по теории относительности «К электродинамике движущихся тел» Эйнштейн вывел правильное выражение для кинетической энергии частиц:
Пренебрежение эффектами выше третьего порядка по v / c после разложения правой части в ряд Тейлора получаем:
Релятивистская теорема о центре масс 1906 года
Дальнейшее развитие
Эйнштейн снова вернулся к этой теме после Второй мировой войны, и на этот раз он написал E = mc 2 в названии своей статьи, предназначенной для объяснения по аналогии для широкого читателя.
Альтернативная версия
Импульс объекта в движущейся системе отсчета после излучения уменьшается до этой величины:
Уравнение Эйнштейна записано
Спросите Итана: по какой фундаментальной причине E = mc²?
Альберт Эйнштейн в 1920 году. Хотя он и совершил множество прорывов в физике, от специальной и общей теорий относительности до фотоэлектрического эффекта и статистической механики, многие задачи он решить не сумел. Самым его знаменитым уравнением остаётся E = mc².
Спросите любого человека, даже не разбирающегося в науке, о достижениях Эйнштейна, и вам приведут в пример самое его знаменитое уравнение: E = mc². Проще говоря, оно означает, что энергия равняется массе, перемноженной с квадратом скорости света. И это очень многое говорит о нашей Вселенной. Единственное уравнение говорит о том, сколько энергии содержится в массивной частице в состоянии покоя, и сколько энергии требуется для создания частиц и античастиц. Оно говорит нам о том, сколько энергии высвобождается в ядерных реакциях, и сколько энергии порождает аннигиляция материи с антиматерией.
Но почему? Почему энергия равняется массе, перемноженной с квадратом скорости света? Почему не как-то иначе? Об этом спрашивает наш читатель:
Уравнение Эйнштейна потрясающе элегантное. Но реальна ли его простота, или же только кажется? Выводится ли оно напрямую из эквивалентности энергии любой массы и квадрата скорости света (а это вообще кажется удивительным совпадением)? Или оно существует только потому, что его члены определены удобным способом?
Отличный вопрос. Давайте исследуем самое знаменитое уравнение Эйнштейна, и посмотрим, почему оно не могло быть другим.
Подготовка к испытаниям ракеты с ядерным двигателем, 1967. Она работает на преобразовании массы в энергию, в основе которого лежит знаменитое уравнение E = mc².
Для начала нужно кое-что понять касательно энергии. Её очень сложно определить, особенно далёкому от физики человеку. Навскидку мы можем придумать несколько примеров.
Фотоэлектрический эффект описывает ионизацию электронов фотонами в зависимости от длин волн отдельных фотонов, а не от интенсивности света, суммарной энергии или какого-либо ещё свойства. Если у кванта света достаточно энергии, он может взаимодействовать с электроном, ионизировав его, выбив его из материала, что даст сигнал, который можно обнаружить. Такие фотоны переносят энергию и выполняют работу над ударяемыми ими электронами.
У работы есть своё физическое определение: это сила, прикладываемая в направлении, совпадающем с направлением движения предмета, умноженная на расстояние его перемещения. Поднятие штанги на определённую высоту требует провести работу против силы гравитации, и увеличивает гравитационную потенциальную энергию. Отпустив штангу, мы преобразуем её гравитационную потенциальную энергию в кинетическую. Ударяющая пол штанга преобразует кинетическую энергию в комбинацию из тепловой, механической и звуковой энергии. Энергия в этих процессах не создаётся и не уничтожается, а преобразуется из одной формы в другую.
Большинство людей размышляют о формуле E = mc² в терминах анализа размерностей. Они говорят: так, энергия измеряется в Джоулях, а Джоуль – это килограмм на метр в квадрате на секунду в квадрате. Поэтому, чтобы превратить массу в энергию, нужно умножить это на метр в квадрате, делённый на секунду в квадрате. При этом у нас есть фундаментальная константа с размерностью метр/секунда. Эти рассуждения разумны, но не достаточны.
Ведь вы можете измерять любую скорость в метрах в секунду, а не только скорость света. Кроме того, природе никто не запрещает выдать пропорциональную константу – какой-нибудь множитель типа ½, ¾, 2π, и т.п., чтобы сделать уравнение верным. Чтобы понять, почему уравнение должно выглядеть, как E = mc², и почему других вариантов быть не может, нам надо представить физическую ситуацию, в которой можно будет различить разные интерпретации. Такой теоретический инструмент известен, как «мысленный эксперимент» (или gedankenexperiment, как сказал бы Эйнштейн), и стал одной из великих идей, появившихся в голове Эйнштейна и укоренившихся в научном мейнстриме.
Мы можем представить, что у частицы есть энергия, присущая её массе покоя, и энергия её движения – кинетическая. Можно представить, что частица начала свой путь, находясь высоко в гравитационном поле, то есть с большим запасом потенциальной энергии, но изначально не двигалась. Если мы её уроним, потенциальная энергия превратится в кинетическую, а энергия массы покоя останется той же. Перед самым ударом о землю никакой потенциальной энергии у неё не останется – только кинетическая и энергия массы покоя, какие бы они ни были.
У обозначенной оранжевым частицы, покоящейся над поверхностью земли, не будет кинетической энергии, но будет большой запас потенциальной. Если её отправить в свободное падение, она приобретёт кинетическую энергию, в которую превратится потенциальная.
Теперь добавим ещё одну идею: что у всех частиц есть двойники-античастицы, и что когда они сталкиваются друг с другом, то аннигилируют, выделяя чистую энергию.
Да, E = mc² описывает взаимоотношение массы и энергии, включая количество энергии, необходимое для создания из ничего пар частица-античастица, и то, сколько энергии вы получите, когда такая пара аннигилирует. Но мы пока этого не знаем, мы хотим это доказать!
Давайте представим, что у нас не одна частица находится высоко в гравитационном поле, а сразу и частица, и античастица, и они готовы упасть. Рассмотрим два разных сценария развития, и изучим их последствия.
Появление пар частица-античастица (слева) из чистой энергии – реакция полностью обратимая (справа), они могут аннигилировать, превратившись в энергию. Но для многих систем частиц обратимость не гарантирована.
Сценарий 1: частица и античастица падают, и аннигилируют прямо перед ударом о землю. Ситуация похожа на описанную ранее, просто мы её удвоили. И частица, и античастица начинали с некоего количества энергии массы покоя. Мы не знаем, сколько её было, просто знаем, что у частицы и античастицы они одинаковые, поскольку массы частиц идентичны массам соответствующих античастиц.
Теперь они обе падают, превращая потенциальную гравитационную энергию в кинетическую, в дополнение к их энергии массы покоя. Как и в предыдущем случае, перед ударом о землю вся их энергия заключена в двух видах – энергии массы покоя и кинетической. Только теперь перед самым столкновением они аннигилируют, превращаясь в два фотона, общая энергия которых должна равняться сумме энергий массы покоя и кинетических энергий обеих частиц.
Однако для фотона, массы не имеющего, энергия описывается одним только импульсом, помноженным на скорость света: E = pc. Какой бы ни была энергия обеих частиц перед столкновением с землёй, энергия этих фотонов должна в сумме давать сумму энергий частиц.
Если пара частица-античастица аннигилирует в чистую энергию (два фотона), имея в запасе много гравитационной потенциальной энергии, то в энергию фотона перейдёт только масса покоя (оранжевый). Если уронить эти частицы вниз, чтобы они аннигилировали непосредственно перед ударом, у них будет больше энергии, что приведёт к появлению более синих фотонов.
Сценарий 2: частица и античастица аннигилируют в чистую энергию, а потом падают вниз до земли в виде фотонов с нулевой массой покоя. Тогда вся их энергия массы покоя превратится в энергию фотонов.
Получается, что в данном случае общая энергия этих фотонов, у каждого из которых есть энергия E = pc, должна быть равной сумме энергий масс покоя частицы и античастицы.
Теперь представим, что эти фотоны добрались до поверхности планеты, и после этого мы измеряем их энергию. По закону сохранения, их энергия должна равняться энергии фотонов из первого сценария. Значит, фотон должен набирать энергию, падая в гравитационном поле. Это явление известно, как гравитационный синий сдвиг. Кроме того, из этого следует идея о том, что масса покоя частицы должна равняться E = mc².
Когда квант излучения покидает гравитационное поле, его частота должна испытать красный сдвиг, чтобы энергия сохранилась. При падении частота должна сдвинуться в синий диапазон. Это имеет смысл, только если гравитация связана не только с массой, но и с энергией. Гравитационное красное смещение – одно из ключевых предсказаний Общей теории относительности Эйнштейна. Но его только недавно проверили в окружении с такими сильными полями, как центр нашей Галактики.
Есть только одно определение энергии, подходящее ко всем частицам, и имеющим, и не имеющим массу, и удовлетворяющее сценариям 1 и 2, которые должны выдать одинаковые результаты. E = √(m 2 c 4 + p 2 c 2 ). Посмотрим, что с ним будет в разных ситуациях.
Вверху: фотон движется внутри коробки. В середине: коробка поглотила фотон. Внизу: фотон переиспущен в противоположном направлении. Из такого эксперимента, принимая законы сохранения энергии и импульса, можно вывести знаменитое E = mc².
Конечно, так выводить E = mc² не стоит, но это мой любимый способ иллюстрации этой задачи. Могу порекомендовать ещё три способа иллюстрации, а также описание того, как это сделал сам Эйнштейн. Второй моей любимой иллюстрацией вывода этой формулы будет рассмотрение фотона, движущегося в неподвижной коробке с зеркалом на одной из стенок.
Когда фотон сталкивается с зеркалом, он на некоторое время поглощается, в результате чего коробка должна приобрести немного энергии, и начать двигаться в том же направлении, что и фотон – это единственный способ сохранить энергию и импульс.
После переиспускания фотон движется в противоположном направлении, поэтому коробке (потерявшей немного массы после переиспускания фотона) нужно двигаться вперёд ещё быстрее.
И хотя тут много неизвестных, в такой ситуации можно написать множество уравнений, которым необходимо совпадать. Общая энергия всех частей системы и общий момент должны быть эквивалентными. Если решить эти уравнения, получится только одно определение энергии массы покоя: E = mc².
Эйнштейн выводит Специальную теорию относительности перед зрителями, 1934 год. Если потребовать сохранения энергии и применить теорию относительности к подходящим системам, необходимо, чтобы E = mc².
Можно представить себе совсем не такую вселенную, в которой мы живём. Возможно, там не сохраняется энергия – и тогда формула E = mc² может не быть универсальным выражением массы покоя. Возможно, мы могли бы нарушить закон сохранения импульса – тогда наше определение общей энергии, E = √(m 2 c 4 + p 2 c 2 ), не было бы верным. А если бы там не действовала Общая теория относительности, или импульс и энергия фотона не были бы связаны соотношением E = pc, тогда E = mc² не была бы универсальной формулой для массивных частиц.
Но в нашей Вселенной энергия сохраняется, и работает Общая теория относительности. Поэтому нужно просто подобрать подходящие условия эксперимента. И даже не проводя его на самом деле, можно прийти только к одному непротиворечивому значению для энергии массы покоя частицы. Можно представить себе вселенную, в которой взаимоотношение массы и энергии были бы другими, но она была бы совсем непохожей на нашу. И это не просто удобное определение – это единственный способ сохранить энергию и импульс с имеющимися у нас законами физики.
