Что значит стационарные точки функции
Определения:
Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.
Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.
Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.
На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:
В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:
Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.
Точка xо является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(xо):
Упрощенная формулировка : если в точке xо производная меняет знак с плюса на минус, то xо является точкой максимума.
Точка хо является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(xо):
Упрощенная формулировка : если в точке xо производная меняет знак с минуса на плюс, то xо является точкой минимума.
Критические и стационарные точки функции:
Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками.
Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.
Необходимое условие экстремума:
Если xо – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).
Достаточное условие экстремума:
Пусть xо – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак плюс на минус, то xо – точка максимума:
Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак минус на плюс, то xо – точка минимума:
Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.
На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].
Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:
2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).
3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4) Сделать выводы о монотонности функции и ее точках экстремума.
Построение графиков функций
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Исследование поведения функций с помощью производной
 Интервалы возрастания и убывания функции |
| Достаточные условия для возрастания и убывания функции |
| Экстремумы (максимумы и минимумы) функции |
| «Подозрительные» на наличие экстремума точки функции. Теорема Ферма |
| Достаточные условия для существования экстремума функции |
| Пример исследования поведения функции |
Интервалы возрастания и убывания функции
Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.
Если на интервале (a, b) функция y = f (x) строго возрастает и в каждой точке x0 интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,
угол α наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:
Если же на интервале (a, b) функция y = f (x) строго убывает и в каждой точке x0 интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,
угол α наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:
а). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству
б). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству
в). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству
г). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству
Экстремумы (максимумы и минимумы) функции
.
.
«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма
Определение 4. Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.
Определение 5. Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.
Таким образом, если точка x0 является критической точкой функции, то точка x0 либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке x0 не существует.
.
.
Достаточные условия для существования экстремума функции
В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.
а). Если для точек 
выполнено условие:
б). Если для точек выполнено условие:
Пример исследования поведения функции
Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции
Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию
и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде
 | (3) |
и разложим на множители правую часть формулы (3):
 | (4) |
На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)
Поскольку решением неравенства
 , | (5) |
то в соответствии с утверждением 1 функция y1 возрастает на каждом из интервалов 
и 
.
С другой стороны, поскольку решением неравенства
Так как решениями уравнения
Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).
В силу определения модуля, справедливо равенство
В точке x = – 3 производная функции y = | x 3 + 3x 2 | не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции y = | x 3 + 3x 2 | существует.
Функция y = | x 3 + 3x 2 | возрастает на каждом из интервалов (– 3, – 2) и .
