Целой точкой на плоскости называется всякая такая точка у которой обе координаты целые числа
Решение 1
Обозначим через A1, B1, C1 соответственно середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Возьмём два произвольных узла X и Y внутри треугольника. Пусть один из них лежит вне треугольника A1B1C1, например, X лежит внутри треугольника AB1C1. Построим отрезок AW, серединой которого является точка X. Тогда W – также узел, он находится внутри ABC, и прямая XW проходит через A.
Пусть теперь оба узла X и Y принадлежат треугольнику A1B1C1. Если прямая XY параллельна одной из сторон треугольника, все в порядке. В противном случае применим лемму из решения задачи 32889 к треугольнику A1B1C1. Пусть, например, конец Z1 отрезка A1Z1, равного и параллельного XY, лежит внутри треугольника A1B1C1. Тогда отрезок AZ, симметричный A1Z1 относительно середины B1C1, также равен и параллелен XY. Поэтому Z – узел, лежащий внутри AB1C1. Как показано выше, на прямой AZ есть ещё один узел.
Решение 2
Рассмотрим данный треугольник ABC и узлы X и Z внутри него. Через X проведём три прямые, параллельные сторонам треугольника. Таким образом, треугольник ABC разбивается на три треугольника и три параллелограмма (см. рис.).
1) Если Z лежит на одной из трёх прямых, то прямая XZ параллельна одной из сторон по построению.
2) Пусть Z лежит в одном из параллелограммов. Проведём через Z три прямые, параллельные сторонам треугольника. Тогда X относительно Z лежит в одном из трёх полученных треугольников. Заменой обозначений X и Z приходим к следующему случаю.
Замечания
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Год | 2013 |
| Номер | 76 |
| класс | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 2012/13 |
| Номер | 34 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
| задача | |
| Номер | 3 |
Целой точкой на плоскости называется всякая такая точка у которой обе координаты целые числа
Введение в математику переменных величин и функционального мышления во времена Ньютона коренным образом преобразило все естественные науки и расширило область их применения, изменив сам стиль исследовательской деятельности. Не избежала этой участи и теория чисел, в которой функциональный взгляд на многие числовые явления позволяет легко и быстро получать красивые и полезные утверждения. Знакомством с важнейшими функциями, занятыми в спектакле «Теория чисел» на главных ролях, с их работой, чаяниями и нуждами, мы займемся в этом параграфе.
Пункт 12. Целая и дробная часть.
Пример. Показатель, с которым 5 входит в 643! равен:
[643/5] + [643/25] + [643/125] + [643/625] = 128 + 25 + 5 + 1 = 159.
Доказательство. На вертикальной прямой с целой абсциссой x в области D лежит [ f ( x )] целых точек.
Еще одно забавное утверждение про целые точки относится к области комбинаторной геометрии:
Доказательство этой леммы я здесь приводить не буду так как эта лемма, вообще говоря, не относится к теории чисел. Намечу только схему этого доказательства.
1) Для треугольника с вершинами в целых точках и без целых точек внутри утверждение очевидно.
3) Случай невыпуклого многоугольника рассматриваем как разность выпуклых многоугольников.
Что это я все время о целых частях, да о целых частях? Ассоциация независимых профсоюзов дробных частей уже собралась подавать на меня жалобу в ООН, поэтому я, чтобы не разжигать страсти, приведу замечательное утверждение о дробных частях, принадлежащее Лежену Дирихле (1805-1859).
Теорема. Для любого a О R число 0 является предельной точкой последовательности x n = < a · n >.
Доказательство. Возьмем любое натуральное t и покажем, что неравенство
Несколько модернизировав рассуждения из доказательства предыдущей теоремы, можно обосновать любопытное следствие, так же принадлежащее перу Дирихле.
Следствие. Если число a О R иррационально, то члены последовательности x n = < a · n >всюду плотно заполняют отрезок [0, 1].
Попытайтесь доказать это следствие самостоятельно, а я на этом пункт 12 заканчиваю.
Особое внимание уделите плавности линий, проработке отдельных элементов композиции, грамотной прорисовке точек разрыва.
а) [ x + y ] і [ x ] + [ y ];
Потерялась собака. Очухаешься, позвони 455893, Толик.
Познакомлюсь с симпатичной девушкой. Сам скромный и простой, как число 19.
Молодая, симпатичная блондинка, 90/60/90, купит вагон кровельного железа.
Классно точу карандаши. Тел. 74-62-86.
Молодой, неженатый, симпатичный доктор наук, жильем обеспечен, м\о, а\м, просит больше ему не звонить.
Шкалы, координаты
Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.
Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.
Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).
Рисунок 1. Измерительная линейка.
Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.
Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).
Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.
Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.
Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.
Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.
Рисунок 2 Цена деления шкалы
Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?
Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:
Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.
Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки
Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.
Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.
Рис. 3. Луч с началом в точке O
Рис. 4. Луч с равными отрезками
Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).
Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.
Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами
Покажу еще раз на примере точки S :
так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),
подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:
Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.
Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.
Рис. 6. Координатный луч
Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.
Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.
Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.
Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.
Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.
Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка
Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).
Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.
Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.
Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.
Рис. 8. Координаты точек
Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).
В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.
Рис. 9. Большие числа на координатном луче.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.5 / 5. Количество оценок: 6
Целой точкой на плоскости называется всякая такая точка у которой обе координаты целые числа
 |  |
 |  |  |  |  |
| Кратко о теории чисел. |
|
 | | § 3. Важнейшие функции в теории чиселВведение в математику переменных величин и функционального мышления во времена Ньютона коренным образом преобразило все естественные науки и расширило область их применения, изменив сам стиль исследовательской деятельности. Не избежала этой участи и теория чисел, в которой функциональный взгляд на многие числовые явления позволяет легко и быстро получать красивые и полезные утверждения. Знакомством с важнейшими функциями, занятыми в спектакле «Теория чисел» на главных ролях, с их работой, чаяниями и нуждами, мы займемся в этом параграфе. Пункт 12. Целая и дробная часть. Пример. Показатель, с которым 5 входит в 643! равен: [643/5] + [643/25] + [643/125] + [643/625] = 128 + 25 + 5 + 1 = 159. Доказательство. На вертикальной прямой с целой абсциссой x в области D лежит [ f ( x )] целых точек. Еще одно забавное утверждение про целые точки относится к области комбинаторной геометрии: Доказательство этой леммы я здесь приводить не буду так как эта лемма, вообще говоря, не относится к теории чисел. Намечу только схему этого доказательства. 1) Для треугольника с вершинами в целых точках и без целых точек внутри утверждение очевидно. 3) Случай невыпуклого многоугольника рассматриваем как разность выпуклых многоугольников. Что это я все время о целых частях, да о целых частях? Ассоциация независимых профсоюзов дробных частей уже собралась подавать на меня жалобу в ООН, поэтому я, чтобы не разжигать страсти, приведу замечательное утверждение о дробных частях, принадлежащее Лежену Дирихле (1805-1859). Теорема. Для любого a О R число 0 является предельной точкой последовательности x n = < a · n >. Доказательство. Возьмем любое натуральное t и покажем, что неравенство Несколько модернизировав рассуждения из доказательства предыдущей теоремы, можно обосновать любопытное следствие, так же принадлежащее перу Дирихле. Следствие. Если число a О R иррационально, то члены последовательности x n =< a · n > всюду плотно заполняют отрезок [0, 1]. Попытайтесь доказать это следствие самостоятельно, а я на этом пункт 12 заканчиваю. Особое внимание уделите плавности линий, проработке отдельных элементов композиции, грамотной прорисовке точек разрыва. Потерялась собака. Очухаешься, позвони 455893, Толик. Познакомлюсь с симпатичной девушкой. Сам скромный и простой, как число 19. Молодая, симпатичная блондинка, 90/60/90, купит вагон кровельного железа. Классно точу карандаши. Тел. 74-62-86. Молодой, неженатый, симпатичный доктор наук, жильем обеспечен, м\о, а\м, просит больше ему не звонить.  Привет, друзья! Сегодня мы с вами поговорим о замечательной  Привет, дорогие дети! Сегодня я хочу рассказать вам  Дорогие дети, сегодня мы поговорим о загадочной поговорке «  Привет, дорогие дети! Сегодня мы поговорим о забавной | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
