Теории прочности в сопротивлении материалов.
Важнейшей задачей инженерного курса является оценка прочности детали по известному напряжённому состоянию, т.е. с учётом главных напряжений σx, σy, σz.
Наиболее просто эта задача решается при одноосном напряжённом состоянии.
Условие прочности при одноосном напряжённом состоянии:
В случае двухосного и трёхосного напряжённого состояния необходимо оценивать напряжённое состояние по некоторому критерию прочности, учитывающему действие всех главных напряжений, отличных от нуля.
Эквивалентным называется напряжение одноосного растяжения элемента материала, который равнопрочен тому же элементу при сложном напряжённом состоянии.
Основные теории прочности в сопротивлении материалов.
1.Первая теория прочности ( Гипотеза наибольших нормальных напряжений ).
Опасное состояние материала возникает, когда наибольшее по модулю нормальное напряжение достигает предельного значения соответствующего простому растяжению или сжатию.
Эта теория дает удовлетворительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов (бетона, камня, кирпича) и неприменима для пластичных материалов.
2.Вторая теория прочности ( Гипотеза наибольших относительных удлинений ).
В этой теории в качестве критерия разрушения принято наибольшее по модулю относительное удлинение ε.
Опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее относительное удлинение достигает опасного значения.
Экспериментально эта теория не подтверждается.
3.Третья теория прочности ( Гипотеза наибольших касательных напряжений ) или теория прочности Треска — Сен-Венана.
Причиной разрушения материала считается сдвиг, вызываемый касательными напряжениями. Полагают, что материал разрушается, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, предельного для данного материала.
Теория подтверждается для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
4.Четвёртая теория прочности ( энергетическая теория прочности ).
Эта теория предполагает, что пластичный материал находится в опасном состоянии, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного для данного материала значения.
Теория подтверждается для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
5. Теория прочности Мора (пятая гипотеза прочности).
Теория прочности Мора позволяет учесть различное сопротивление материалов растяжению и сжатию.
Например, бетон, который имеет высокую прочность на сжатие, но совершенно не может работать на растяжение.
При [σр] = [σс] теория прочности Мора совпадает с третьей теорией прочности.
Научная электронная библиотека
Лекция 11. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
Понятия о гипотезе прочности, об эквивалентном напряжении, о предельных напряженных состояниях. Пять теорий прочности.
Одна из важных задач сопротивления материалов состоит в создании теорий прочности, на основе которых можно проверить прочность элементов в сложном напряжённом состоянии, исходя из прочностных характеристик. Существует ряд теорий прочности; в каждом отдельном случае пользуются той из них, которая в наибольшей степени отвечает характеру нагружения и разрушения материала.
В каждой теории прочности используется определенная гипотеза прочности, которая представляет собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.
Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.
Эквивалентное напряжение – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.
Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:
.
Первая теория прочности (гипотеза наибольших нормальных напряжений).
Согласно этой теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю главное напряжений достигает предельного значения для заданного материала при простом растяжении (сжатии). Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:
или 
Данная теория прочности дает положительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов.
Вторая теория прочности (гипотеза наибольших линейных деформаций).
Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:
Экспериментальная проверка данной гипотезы выявила ряд недостатков, поэтому она почти не применяется для расчетов.
Третья теория прочности (гипотеза наибольших касательных напряжений).
Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид
или 
.
Во многих случаях третья теория прочности дает приемлемые результаты.
Четвертая теория прочности (гипотеза энергии формоизменения).
Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельного для данного материала значения:
Пятая теория прочности (гипотеза прочности Мора).Данная гипотеза прочности учитывает различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Условие прочности по гипотезе Мора имеет вид:
Теории прочности
Теория прочности дает оценку прочности материала, находящегося в любом напряженном состоянии, по какому-либо решающему фактору (так называемому критерию прочности). За критерий прочности, как показывают многочисленные исследования, можно принимать напряжения, деформации или энергию деформации (полную энергию или энергию изменения формы). Введение критерия прочности позволяет сопоставить данное сложное напряженное состояние с простым, например, с одноосным растяжением и установить при этом такое эквивалентное (расчетное) напряжение sэкв, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса прочности.
Если в двух напряженных состояниях коэффициенты запаса равны, то они называются равноопасными. Для сравнения различных напряженных состояний за эталон (эквивалент) принято простое растяжение (сжатие) с главным напряжением sэкв.
Эквивалентное напряжение sэкв — это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно заданному напряженному состоянию. Условие прочности записывается в виде sэкв £ [s].
Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в предельное состояние.
Рассмотрим некоторые из теорий прочности, заметив предварительно, что общий ход решения задачи построения любой из этих теорий будет следующим.
2. Выбирают критерий прочности (напряжение, деформацию или энергию деформации).
4. Составляя условие равнопрочности сложного и линейного напряженных состояний, получают расчетное уравнение прочности (условие прочности).
5. Проверяют полученное условие прочности на опытном материале.
В результате получения нового экспериментального материала приходят к новым критериям прочности или вводят в полученные условия ряд новых постоянных.
Заметим, что характер разрушения различных материалов зависит не только от свойств и строения материала, но и от формы образца, способа проведения испытаний, от характера нагружения (статическое, динамическое), от самого напряженного состояния, от начальных напряжений и т.д. Поэтому на первой ступени при разработке той или иной теории прочности приходится выделять лишь основные решающие факторы.
Опасное состояние как для пластичных материалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и для хрупких (момент появления трещин) лежит на границе применения закона Гука (с известным, достаточным для практики, приближением). Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, относящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, полученными при условии применимости закона Гука.
В настоящее время имеется несколько десятков различных теорий прочности, которые последовательно выдвигались в связи с новыми опытными данными, противоречащими некоторым теориям прочности, выдвинутым ранее. Основными теориями прочности принято считать следующие теории:
a) первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений).
Первая теория прочности предложена Ламе (1830 г.) и разработана Рэйкиным (1888 г.). Согласно этой теории, преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения.
Предполагается, что нарушение прочности в общем случае сложного напряженного состояния наступит тогда, когда наибольшее нормальное напряжение станет равным опасному (предельному) напряжению при линейном напряженном состоянии (определяется экспериментально на образцах из данного материала).
В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольших главных напряжений, которая не должна превышать допускаемого нормального напряжения [s]. Условие прочности имеет вид:
Итак, первую теорию прочности можно сформулировать следующим образом: прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшее нормальное напряжение не превышает допускаемого нормального напряжения при линейном напряженном состоянии.
Опытная проверка показывает, что эта теория прочности не отражает условий перехода материала в пластическое состояние и дает при некоторых напряженных состояниях удовлетворительные результаты лишь для хрупких материалов (инструментальная сталь, кирпич и т.д.).
К недостаткам первой теории прочности следует отнести то, что она учитывает лишь наибольшее главное напряжение, полагая, что два других не влияют на прочность.
б) вторая теория прочности(теория наибольших деформаций).
Данная теория впервые была высказана французскими учеными Мариоттом и Навье, а затем поддержана Понселе и Сен-Венаном.
Согласно этой теории, в качестве критерия прочности принимают наибольшую по абсолютной величине деформацию. Предполагается, что нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая деформация emax достигает своего опасного значения eпред. Последняя определяется при простом растяжении или сжатии образцов из данного материала.
Для пластичного материала условие прочности имеет вид
Для хрупкого материала условие прочности имеет вид
Вторую теорию прочности можно сформулировать так: прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшая деформация не превышает допускаемой деформации при линейно напряженном состоянии.
Опытная проверка второй теории прочности свидетельствует о ее применимости лишь для хрупкого материала (легированный чугун, высокопрочная сталь после низкого отпуска).
в) третья теория прочности(теория наибольших касательных напряжений).
Появление на поверхности образца линий скольжения при возникновении пластических деформаций и разрушении материалов при растяжении по наклонному сечению, где действуют наибольшие касательные напряжения, дает основание принять эти напряжения в качестве критерия прочности. Впервые такое предположение было высказано французским физиком Кулоном в 1773 г. и подтверждено опытами Треска, Геста и других ученых.
Третья теория прочности, называемая теорией наибольших касательных напряжений, предполагает, что предельное состояние в общем случае наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение tmaxдостигает опасного значения tmin(tminопределяется при достижении предельного состояния в случае простого растяжения).
Условие прочности имеет вид:
Таким образом, третья теория прочности может быть сформулирована следующим образом: прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не превышает допускаемого касательного напряжения для линейного напряженного состояния.
Третья теория прочности достаточно хорошо подтверждается опытами для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения s2, которое, как показывают эксперименты, также оказывает некоторое, хотя во многих случаях и незначительное, влияние на прочность материала.
г) четвертая теория прочности (теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения).
Рядом авторов было высказано предположение, что опасное состояние материала зависит не только от величины деформаций или напряжений в отдельности, а от их совокупности, т.е. от величины потенциальной энергии деформаций (которая выражается через все три главных напряжения).
В конце XIX века итальянский ученый Бельтрами предложил в качестве критерия прочности принимать количество полной потенциальной энергии деформации в единице объема. Однако это предложение не нашло экспериментального подтверждения. В 1904 г. Губер, в 1913 г. Мезес и в 1924 г. Генки предложили в качестве критерия прочности принять не всю потенциальную энергию деформации, а только ту ее часть, которая идет на изменение формы тела.
В связи с этим, в качестве критерия прочности принимается величина уде-льной потенциальной энергии формообразования, т.е. потенциальной энергии, идущей только на изменение формы тела, не учитывающей деформации тела без искажения его формы.
В соответствии с этой теорией прочности нарушение прочности детали обусловлено переходом материала детали в пластическое состояние и появлением недопустимых пластических деформаций. Опасное состояние (текучесть) наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения.
Формулу удельной потенциальной энергии изменения формы получим из формулы полной удельной потенциальной энергии деформации (3.5), подставляя значение коэффициента Пуассона равного ν = 0,5.
Условие прочности имеет вид
Итак, согласно четвертой теории прочности, прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшая удельная потенциальная энергия формоизменения не превышает допускаемой удельной потенциальной энергии формоизменения для линейного напряженного состояния.
Опыты хорошо подтверждают третью и четвертую теорию прочности для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Появление в материале малых пластических деформаций четвертой теорией определяется более точно, чем третьей.
д) теория прочности Мора.
Известно, что один и тот же материал в различных условиях нагружения ведет себя неодинаково, и деление материалов на хрупкие и пластичные имеет смысл только применительно к стандартным методам испытания образцов.
Теория Мора, отличающаяся от всех приведенных ранее, основана на предположении, что прочность материала в общем случае напряженного состояния, зависит главным образом от величины наибольшего s1и наименьшего s3главных напряжений, а среднее s2 на прочность влияет незначительно.
Эта теория целиком базируется на опытных данных и не нуждается в дополнительной экспериментальной проверке.
Эквивалентное напряжение по этой теории определяется по формуле
Наилучшие результаты эта теория дает для случая, когда s1 > 0, а s3
Первая, вторая и третья классические теории прочности
Первая, вторая и третья классические теории прочности
критическое напряжение, полученное в результате испытания на одноосное растяжение (предел текучести пластмассы и предел прочности хрупкого материала AB). Если задан коэффициент запаса, он указывает на основное напряжение a! через arac мы получаем такое условие прочности:%ach=(12.4), где[o] — допустимое напряжение, определенное из эквивалента (12.2). я
В случае плоского напряженного состояния условие (12.4) после подстановки основного уравнени Людмила Фирмаль
напряжение, которое не разрушается, но превышает предел прочности на растяжение в несколько раз. Другие материалы работают аналогично в тех же условиях. Вывод этой теории подтверждается опытом только в случае растяжения хрупкого материала. В настоящее время первая теория силы не применяется, она имеет только историческое значение. Эта теория основана на
e1e0(12.6) История *Если максимальное абсолютное значение-напряжение сжатия / SG3|, введите sgrasch= / a8|при условии (12.4), чтобы ввести допустимое напряжение из эксперимента для простого сжатия. 372gde h-
P — (AG+°z) 1 «52 > > наибольшее касательное напряжение A3,
как известно, определяется полувариантностью, другими словами, максимальным и Людмила Фирмаль
минимальным главным напряжением О, и —
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
изучаем сопротивление материалов
Теории прочности
Основные теории прочности
Перечислим наиболее известные в сопротивлении материалов теории прочности.
Из всех вышеперечисленных теорий прочности наиболее полной, точной и всеобъемлющей является теория Мора. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Теория наибольших нормальных напряжений и теория наибольших деформаций подходит только для прочностного анализа хрупких материалов, причём только для каких-то определённых условий нагружения, если требовать повышенную точность расчёта. Вот поэтому первые две теории прочности сегодня применять не рекомендуется. Результаты теории наибольших касательных напряжений и теории наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения можно получить в некоторых частных случаях нагружения при применении теории Мора.
Общие положения теории прочности
В зависимости от условий нагружения материал может находиться в различных
механических состояниях: упругом, пластическом и в состоянии разрушения. Под предельным подразумевают такое напряженное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала — переход от одного механического состояния к другому. Для пластических материалов предельным считается напряженное состояние, соответствующее заметным остаточным деформациям, а.для хрупких — такое, при котором начинается разрушение материала.
При линейном напряженном состоянии предельное значение единственного в
этом случае главного напряжения может быть непосредственно определено из опыта (σт — для пластических материалов и σв — для хрупких). Поэтому оценка прочности в этом частном случае проста. В случае сложного напряженного состояния (объемного или плоского) при оценке прочности необходимо учитывать наличие двух или трех отличных от нуля главных напряжений. При этом опасное состояние материала
зависит не только от величии главных напряжений, но и от соотношений между ними.
Из-за невозможности экспериментального определения критериев опасного состояния материала при сложном напряженном состоянии пользуются гипотезами, формулирующими условия перехода материала в опасное состояние. Па основании таких гипотез построены теории прочности. Эти теории исходят из предпосылок о том, что сложное и линейное напряженные состояния считаются эквивалентными (по прочности), если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся опасными. Поэтому оценка прочности материала при любом напряженном состоянии основывается на результатах опытов
при простом растяжении (сжатии), и исследуемое напряженное состояние сравнивается с линейным. Для материалов с выраженной пластичностью за опасное (предельное) состояние принимается такое, при котором начинают развиваться остаточные деформации. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии, опасным считается такое состояние, которое предшествует началу появления трещин.
Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет
вид:
где σпр — расчетное или приведенное напряжение при сложном напряженном состоянии.
Формулы приведенных напряжений устанавливаются теориями прочности в
зависимости от принимаемых гипотез.
Первая теория прочности — теория наибольших нормальных напряжений.
Теория наибольших нормальных напряжений — основана на гипотезе о том, что опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает значения,
соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
при плоском напряженном состоянии:
Первая теория прочности подтверждается опытами только при растяжении хрупких материалов и лишь в тех случаях, когда все три главные напряжения не однозначны и различны по величине.
Вторая теория прочности
Вторая теория прочности — теория наибольших относительных удлинений исходит из гипотезы о том, что разрушение связано с величиной наибольших относительных удлинений. Следовательно, опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии.
В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
$$\sigma_<пр>^
при плоском напряженном состоянии:
Вторая теория, как и первая, недостаточно подтверждается опытами, что объясняется не учетом особенностей строения реальных тел. Первая и вторая теории прочности отображают хрупкое разрушение путем отрыва (в первой это связывается с σмакс, втотой — с εмакс). Поэтому эти теории рассматриваются только как грубое приближение к действительной картине разрушения.
Третья теория прочности
Третья теория прочности — теория наибольших касательных напряжении. В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния — сложное и линейное — эквиваленты в смысле прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
При плоском напряженном состоянии
Третья теория прочности отображает наступление текучести в материале, а также разрушение путем сдвигов. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.
Четвертая теория прочности — энергетическая.
Энергетическая теория прочности (теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения) исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом растяжении. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
или в частном случае при σy = 0, полагая σx = σ, τxy = τ
$$\sigma_<пр>^
Для частного случая чистого сдвига (σ= 0):
$$\sigma_<пр>^
Четвертая теория прочности отображает наступление текучести. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, имеющими одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.
Четвертую теорию прочности часто называют теорией октаэдрических касательных напряжений (октаэдрические касательные напряжения в общем случае определяются по формуле [math]\tau_ <окт>=\frac<1><\sqrt<3>>\cdot\sqrt<(\sigma_1 – \sigma_2)^2+(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_3 – \sigma_1)^2>[/math] и к началу развития пластических деформаций при простом растяжении они равны [math]\tau_ <окт>= \frac<\sqrt<2>><3>\sigma_<т>[/math]).
