Звездное равновесие
Звезды — это едва ли не самый распространенный тип объектов в нашей Вселенной. Только в нашей Галактике по разным оценкам их насчитывается от 100 до 400 млрд. Звезды дают большую часть видимого излучения во Вселенной. Энергия звезд может быть губительной, а может, как мы знаем на примере Земли, поддерживать жизнь на близлежащих планетах. Понимание того, как «работают» звезды, — одна из самых важных проблем астрофизики вот уже больше столетия.
Звезды бывают совершенно разные: от сверхплотных нейтронных звезд и белых карликов до красных гигантов и голубых сверхгигантов. Однако сегодня мы ограничимся рассмотрением самого распространенного класса — звезд главной последовательности. Давайте сначала определимся с названием: почему именно главная последовательность?
В начале XX века астрономы Эйнар Герцшпрунг и Генри Рассел независимо друг от друга предложили способ классификации огромного разнообразия звезд с помощью построения довольно простой диаграммы, для которой берутся всего лишь два параметра от каждой звезды: ее цвет (он связан со спектральным классом), и светимость (энергия, которую эта звезда излучает в единицу времени). Каждая звезда — это просто точка на такой диаграмме (рис. 1), которую называют диаграммой Герцшпрунга-Рассела (или просто диаграммой цвет-светимость).
Рис. 1. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела. По горизонтальной оси откладывается цвет звезды, который можно однозначно отождествить с температурой ее поверхности и с ее спектральным классом. По вертикальной оси откладывается энергия излучения в единицу времени, светимость Солнца принята за 1. Звезды в левом верхнем углу излучают в 10 4 –10 5 раз больше энергии чем Солнце, и имеют температуру 30 000–40 000 К вблизи поверхности (заметим, что часто говорят об этой температуре, как о температуре непосредственно поверхности звезды, но строго говоря это не совсем температура поверхности, а температура некоторого слоя, близкого к поверхности звезды)
На этой диаграмме выделяется полоса, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол, на которую попадает большая часть звезд. Эту полосу и называют «главной последовательностью». Солнце, в частности, лежит на главной последовательности — это звезда спектрального класса G с температурой поверхности примерно 6000 K. В главной последовательности есть как очень массивные большие звезды (их не следует путать с красными гигантами) с температурой поверхности в десятки тысяч градусов и светимостью в десятки и сотни тысяч раз больше солнечной, так и красные карликовые звезды с температурой поверхности всего 3000 К и в 1000 раз слабее Солнца по светимости (а их не следует путать с белыми карликами).
Как оказалось, основной отличительной чертой и, собственно, определением звезд главной последовательности является то, что в их недрах преобладает термоядерное горение водорода, благодаря которому эти звезды находятся в равновесии. Пока водорода достаточно, чтобы поддерживать ход реакции, звезда живет на главной последовательности. Абсолютно все звезды так или иначе проводят по крайней мере некоторое время в этой группе: массивные гиганты проводят всего несколько миллионов лет, звезды типа Солнца — примерно десять миллиардов лет, а красные карлики типов К и М могут находится там несколько триллионов лет.
Помимо главной последовательности есть и другие группы звезд, которые можно заметить на диаграмме Герцшпрунга-Рассела: белые карлики, красные гиганты, сверхгиганты, звезды типа T Тельца и т. д. Если главную последовательность можно назвать основным жизненным циклом звезд, то вышеперечисленные стадии (или группы) — это стадии смерти и рождения звезд. Так, звезда типа Солнца, израсходовав запас водорода в ядре рано или поздно начнет сжигать водород над ядром, что вызовет сильное расширение и, соответственно, остывание оболочки (стадия красного гиганта). Тогда Солнце постепенно сместится с главной последовательности в группу красных гигантов.
В этой задаче мы рассмотрим самую базовую физику звезд главной последовательности, а именно — их термодинамику, и попробуем разобраться, как устроено стабильное равновесие, в котором звезды могут находиться на протяжении миллиардов лет.
Пригодится важное правило, которое можно применить к любой самогравитирующей системе: система стабильно существует и не разваливается только тогда, когда ее полная энергия меньше нуля. Как только энергия становится больше нуля — система рискует распасться и разлететься на части, так как гравитация более не может удерживать ее. Про то, откуда это правило берется, подробно поговорим позже. Но в простейшем случае легко убедиться, что оно работает. Если, например, взять облако газа с ненулевой температурой в вакууме, то нетрудно догадаться, что при отсутствии тяготения (то есть с «выключенной» отрицательной составляющей энергии) молекулы просто разлетятся в разные стороны. Однако если «разрешить» частицам притягиваться друг к другу, то при условии, что скорости не слишком большие, гравитация может удержать газ в равновесии.
Задача
Можно считать, что энергия звезды состоит из двух частей — тепловой Ет и гравитационной Ег: Е = Ег + Ет. Если звезда достаточно горячая (как это бывает с очень массивными звездами), то к этому выражению нужно добавить энергию излучения Еи, но о ней — чуть позже.
Гравитационная энергия задается формулой Ег = −GM 2 /R, где G — гравитационная постоянная, M — масса звезды, R — ее радиус.
1) Помня про баланс сил давления и тяготения, выразите через Ег и объем звезды среднее давление газа в ней. Обратите внимание, что полученный ответ не будет зависеть от природы давления. Найдите среднее давление в «идеальном» Солнце, состоящем только из водорода и имеющем массу Msun = 2×10 33 г и радиус Rsun = 7×10 10 см.
2) Зная закон идеального одноатомного газа PV = NkT (P — давление, V — объем, N — количество атомов, k — постоянная Больцмана, T — температура), и учитывая, что тепловая энергия звезды — это просто энергия газа Ет = 3NkT/2, выразите полную энергию звезды через ее гравитационную энергию. Должна получиться отрицательная величина, то есть звезды, в которых давление обеспечивается идеальным одноатомным газом, стабильны. Найдите температуру «идеального» Солнца.
3) Рассмотрим простой случай, когда давление излучения Ри равно в точности давлению газа NkT/V. Найдите характерную массу звезды (в массах Солнца), находящуюся в равновесии в таких условиях. Ответ не должен зависеть от радиуса или температуры.
Подсказка 1
В пункте 1) воспользуйтесь тем, что «сила газа» — это давление газа, умноженное на площадь. Сила давления должна балансироваться гравитационной силой, которую можно оценить по порядку величины из известных нам размерных параметров.
Подсказка 2
В пункте 3) из равенства давления газа и излучения найдите температуру, выразив ее через плотность. Воспользовавшись пунктом 1), подставьте температуру и избавьтесь от радиуса, зная, что \( M=\rho V \).
Решение
Заметьте, что здесь мы не делали никакого предположения о том, какова природа этого давления: оно может быть как давлением газа, так и давлением фотонов. Полученная формула верна в любом случае.
Подставив числа для Солнца, получим, что среднее давление равно P = 10 14 Па, или 10 9 в единицах атмосферного давления. Это значение очень приблизительное, так как на самом деле давление в центре Солнца на много порядков больше давления вблизи поверхности.
2) Теперь будем считать, что давление звезды — это давление идеального одноатомного газа. Тепловая энергия в таком случае будет равна Eт = 3NkT/2, где N — полное число частиц газа (ядер водорода). С другой стороны, уравнение состояния идеального газа дает соотношение PV = NkT, а из пункта 1) получается, что PV = −Eг/3. Из этих равенство следует, что Eт = −Eг/2, и поэтому полная энергия получается равной половине гравитационной:
Это — вириальная теорема. В общем случае она утверждает, что у связной системы в равновесии полная энергия равна половине потенциальной. Так как гравитационная энергия отрицательна, то и полная энергия также отрицательна, и мы получаем, что система абсолютно стабильна.
Для солнечных параметров из условия можно получить среднюю температуру 8×10 6 K. Это значение иногда еще называют вириальной температурой. Опять же, значение довольно неточное, так как температура Солнца варьируется от десятка миллионов Кельвин вблизи центра до всего нескольких тысяч у поверхности.
3) У достаточно массивных и, соответственно, горячих звезд помимо давления газа приходится учитывать давление излучения (фотонов). Так как энергия излучения положительна, то излучение является дестабилизирующим фактором. Чтобы понять, при каких массах звезд это имеет значение, рассмотрим случай, когда давление излучения по порядку величины равно давлению газа.
Через n = N/V обозначим среднюю концентрацию частиц, которая также может быть записана в виде ρ/mH, где ρ — средняя плотность звезды, а mH — масса ядра водорода (то есть протона). Тогда равенство давлений газа и излучения запишется в виде
Отсюда найдем температуру:
Из пункта 1) мы помним, что P = −Eг/(3V). В нашем случае общее давление P состоит из давления излучения и давления газа, которые равны, поэтому мы можем взять просто P = 2aT 4 /3. Тогда имеем
Учитывая, что ρ = M/V, избавимся от радиуса в выражении выше и получим
Подставим температуру T и заметим, что плотность сокращается, а остается лишь масса. В итоге получаем, что M
Для сравнения, у Солнца давление излучения в среднем порядка 10 7 (в атмосферах), то есть на два порядка меньше давления газа.
Послесловие
Таким образом, мы получили (и это соответствует действительности), что у звезд с достаточно большой массой условие равновесия (то есть отрицательность полной энергии) нарушено, и такие звезды ведут себя крайне нестабильно. Есть несколько классов таких звезд, например, яркие голубые переменные (luminous blue variable — LBV). У таких звезд наблюдаются драматические изменения светимости и даже взрывы в течение жизни.
Рис. 2. Эта Киля — яркая точка на стыке двух долей туманности Гомункул. Изображение с сайта ru.wikipedia.org
В этой задаче мы также поняли, что у стабильных звезд главной последовательности полная энергия отрицательна и в равновесии равна половине гравитационной (потенциальной) энергии. Такое вириальное соотношение, как мы увидели, верно для всех звезд главной последовательности, кроме достаточно массивных звезд (массой больше нескольких десятков масс Солнца), у которых становится важным вклад излучения в давление.
Стоит обратить внимание также и на другое соотношение. В пункте 2) мы видели, что внутренняя энергия газа (кстати, она же — кинетическая энергия ядер водорода), Eт, равна половине потенциальной энергии со знаком минус: Eт = −Eг/2.
Потенциальная энергия Eг = −GM 2 /R, то есть если звезду слегка сжать, потенциальная энергия, а значит, и полная энергия, уменьшается. С другой стороны, согласно формуле из предыдущего абзаца, энергия газа, а, соответственно, и температура, возрастает. То есть, когда звезда теряет энергию, ее температура увеличивается, что говорит об отрицательной теплоемкости звезды.
С этой точки зрения, именно отрицательная теплоемкость обеспечивает такую высокую стабильность: звезда сжимается, температура увеличивается, увеличивается давление, соответственно звезда расширяется обратно, и наоборот.
Этот факт, кстати, очень важен не только для стабильности звезд на главной последовательности, но и в процессе рождения звезд. Протозвезда, которая претерпевает гравитационное сжатие на протяжении миллионов лет, эффективно теряет свою энергию. Из-за отрицательной теплоемкости в результате температура протозвезды растет до тех пор, пока не достигает значения, когда в самых ее недрах «зажигается» водород. Именно этот момент и считается условным моментом рождения звезды и «входом» на главную последовательность.
В завершение, немного отойдя от темы, давайте обсудим, почему у связных систем полная энергия должна быть отрицательной. Представьте систему из двух объектов массами m1 и m2, которые вращаются друг вокруг друга в открытом космосе (естественно, по эллиптическим орбитам).
Величины, которые сохраняются при таком движении, — это момент импульса и полная энергия (а также полный импульс, так как нет внешних сил). Запишем полную энергию и момент импульса такой системы. Так как она сохраняется, мы можем записать ее в любой удобный нам момент вращения — она будет абсолютно такой же во все остальные моменты. Давайте для простоты возьмем момент, когда обе звезды находятся в своих «периастрах», то есть в ближайших точках друг к другу (P1 и P2 на рисунке 3). Пусть в этот момент скорости звезд будут равны v1 и v2 (в этот момент скорости будут направлены в противоположных направлениях — вверх и вниз на нашем рисунке — и перпендикулярно соединяющей звезды линии).
Тогда полный момент импульса запишется так: L = m1v1r1 + m2v2r2, где r1 и r2 — это расстояния от точек P1 и P2 до центра масс системы C. Мы также знаем, что импульс полной системы сохраняется и можно положить его равным нулю (в системе центра масс). Тогда m1v1 = m2v2. И для момента импульса имеем L = m1v1r, где r = r1 + r2 — расстояние между двумя звездами.
Теперь запишем полную энергию системы
– это сумма потенциальной и кинетической энергии. Обратите внимание, что потенциальная энергия отрицательна. Учитывая, что m1v1 = m2v2 и пользуясь выражением для L, энергию можно представить в виде
то есть как функцию от расстояния.
В общем случае, если рассматривать произвольное положение звезд, то к этому выражению нужно добавить кинетическую энергию из-за движения вдоль линии, соединяющей центр масс и точку на орбите (движение по нормали). В случае точек P1 и P2 эти скорости равны нулю.
Тогда имеем для произвольных точек выражение для энергии
меньше нуля, то орбиты замкнуты, и звезды вращаются по эллипсам с максимальным и минимальным отдалением соответственно rmax и rmin (в точке минимума потенциала — по окружностям с расстоянием rcircle друг от друга). Если значение Eэфф становится нулем, то замкнутой орбиты нет, и объекты улетают на бесконечность по параболическим орбитам. Если энергия больше нуля, то получаются открытые гиперболические орбиты.
Оказывается, что такие рассуждения можно распространить на любую самогравитирующую систему: система стабильно существует и не разлетается только когда, когда ее полная энергия меньше нуля, а как только она становится больше, то система рискует распасться или разлететься на части, так как гравитация более не может удерживать ее.
Равновесие
Понятие равновесия — одно из самых универсальных в естественных науках. Оно применимо к любой системе, будь то система планет, движущихся по стационарным орбитам вокруг звезды, или популяция тропических рыбок в лагуне атолла. Но проще всего понять концепцию равновесного состояния системы на примере механических систем. В механике считается, что система находится в равновесии, если все действующие на нее силы полностью уравновешены между собой, то есть гасят друг друга. Если вы читаете эту книгу, например, сидя в кресле, то вы как раз и находитесь в состоянии равновесия, поскольку сила земного притяжения, тянущая вас вниз, полностью компенсирована силой давления кресла на ваше тело, действующей снизу вверх. Вы не проваливаетесь и не взлетаете именно потому, что пребываете в состоянии равновесия.
Различают три типа равновесия, соответствующие трем физическим ситуациям.
Устойчивое равновесие
Именно его большинство людей обычно и понимают под «равновесием». Представьте себе шар на дне сферической чаши. В состоянии покоя он находится строго в центре чаши, где действие силы гравитационного притяжения Земли уравновешено силой реакции опоры, направленной строго вверх, и шар покоится там подобно тому, как вы покоитесь в своем кресле. Если сместить шар в сторону от центра, откатив его вбок и вверх в направлении края чаши, то, стоит его отпустить, как он тут же устремится обратно к самой глубокой точке в центре чаши — в направлении положения устойчивого равновесия.
Вы, сидя в кресле, находитесь в состоянии покоя благодаря тому, что система, состоящая из вашего тела и кресла, находится в состоянии устойчивого равновесия. Поэтому при изменении каких-то параметров этой системы — например, при увеличении вашего веса, если, предположим, вам на колени сел ребенок, — кресло, будучи материальным объектом, изменит свою конфигурацию таким образом, что сила реакции опоры возрастет, — и вы останетесь в положении устойчивого равновесия (самое большее, что может произойти, — подушка под вами промнется чуть глубже).
В природе имеется множество примеров устойчивого равновесия в различных системах (и не только механических). Рассмотрим, например, отношения хищник—жертва в экосистеме. Соотношение численностей замкнутых популяций хищников и их жертв достаточно быстро приходит в равновесное состояние — столько-то зайцев в лесу из года в год стабильно приходится на столько-то лис, условно говоря. Если по каким-либо причинам численность популяции жертв резко изменяется (из-за всплеска рождаемости зайцев, например), экологическое равновесие будет очень скоро восстановлено за счет быстрого прироста поголовья хищников, которые начнут истреблять зайцев ускоренными темпами, пока не приведут поголовье зайцев в норму и не начнут сами вымирать от голода, приводя в норму и собственное поголовье, в результате чего численности популяций и зайцев, и лис придут к норме, которая наблюдалась до всплеска рождаемости у зайцев. То есть в устойчивой экосистеме также действуют внутренние силы (хотя и не в физическом понимании этого слова), стремящиеся вернуть систему в состояние устойчивого равновесия в случае отклонения системы от него.
Аналогичные эффекты можно наблюдать и в экономических системах. Резкое падение цены товара приводит к всплеску спроса со стороны охотников за дешевизной, последующему сокращению товарных запасов и, как следствие, росту цены и падению спроса на товар — и так до тех пор, пока система не вернется в состояние устойчивого ценового равновесия спроса и предложения. (Естественно, в реальных системах, и в экологических, и в экономических, могут действовать внешние факторы, отклоняющие систему от равновесного состояния — например, сезонный отстрел лис и/или зайцев или государственное ценовое регулирование и/или квотирование потребления. Такое вмешательство приводит к смещению равновесия, аналогом которого в механике будет, например, деформация или наклон чаши.)
Неустойчивое равновесие
Не всякое равновесие, однако, является устойчивым. Представьте себе шар, балансирующий на лезвии ножа. Направленная строго вниз сила земного притяжения в этом случае, очевидно, также полностью уравновешена направленной вверх силой реакции опоры. Но стоит отклонить центр шара в сторону от точки покоя, приходящейся на линию лезвия хоть на долю миллиметра (а для этого достаточно мизерного силового воздействия), как равновесие будет мгновенно нарушено и сила земного притяжения начнет увлекать шар всё дальше от него.
Примером неустойчивого природного равновесия служит тепловой баланс Земли при смене периодов глобального потепления новыми ледниковыми периодами и наоборот (см. Циклы Миланковича). Среднегодовая температура поверхности нашей планеты определяется энергетическим балансом между суммарным солнечным излучением, достигающим поверхности, и суммарным тепловым излучением Земли в космическое пространство. Неустойчивым этот тепловой баланс становится следующим образом. В какую-то зиму выпадает больше снега, чем обычно. На следующее лето тепла не хватает, чтобы растопить излишки снега, и лето оказывается также холоднее обычного вследствие того, что из-за переизбытка снега поверхность Земли отражает обратно в космос большую долю солнечных лучей, чем прежде. Из-за этого следующая зима оказывается еще более снежной и холодной, чем предыдущая, а следующим за ней летом на поверхности остается еще больше снега и льда, отражающего солнечную энергию в космос. Нетрудно увидеть, что чем больше такая глобальная климатическая система отклоняется от исходной точки теплового равновесия, тем быстрее нарастают процессы, уводящие климат еще дальше от нее. В конечном итоге, на поверхности Земли в приполярных областях за долгие годы глобального похолодания образуются многокилометровые напластования ледников, которые неумолимо продвигаются в направлении всё более низких широт, принося с собой на планету очередной ледниковый период. Так что трудно себе представить более шаткое равновесие, чем глобально-климатическое.
Особого упоминания заслуживает разновидность неустойчивого равновесия, называющаяся метастабильным, или квазиустойчивым равновесием. Представьте себе шар в узкой и неглубокой канавке — например, на повернутом острием вверх лезвии фигурного конька. Незначительное — на миллиметр-другой — отклонение от точки равновесия приведет к возникновению сил, которые вернут шар в равновесное состояние в центре канавки. Однако уже чуть большей силы хватит для того, чтобы вывести шар за пределы зоны метастабильного равновесия, и он свалится с лезвия конька. Метастабильные системы, как правило, обладают свойством пребывать какое-то время в состоянии равновесия, после чего «срываются» из него в результате какой-либо флуктуации внешних воздействий и «сваливаются» в необратимый процесс, характерный для нестабильных систем.
Типичный пример квазиустойчивого равновесия наблюдается в атомах рабочего вещества некоторых типов лазерных установок. Электроны в атомах рабочего тела лазера занимают метастабильные атомные орбиты и остаются на них до пролета первого же светового кванта, который «сбивает» их с метастабильной орбиты на более низкую стабильную, испуская при этом новый квант света, когерентный пролетающему, который, в свою очередь, сбивает с метастабильной орбиты электрон следующего атома и т. д. В результате запускается лавинообразная реакция излучения когерентных фотонов, образующих лазерный луч, которая, собственно, и лежит в основе действия любого лазера.
Безразличное равновесие
Промежуточный случай между устойчивым и неустойчивым равновесием — так называемое безразличное равновесие, при котором любая точка системы является точкой равновесия, и отклонение системы от исходной точки покоя ничего не изменяет в раскладе сил внутри нее. Представьте себе шар на абсолютно гладком горизонтальном столе — куда бы вы его ни сместили, он останется в состоянии равновесия.
Условия равновесия тел
Равновесие тела
Тело находится в состоянии покоя (или движется равномерно и прямолинейно), если векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Говорят, что силы уравновешивают друг друга. Когда мы имеем дело с телом определенной геометрической формы, при вычислении равнодействующей силы можно все силы прикладывать к центру масс тела.
Условие равновесия тел
Чтобы тело, которое не вращается, находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, действующий на него, была равна нулю.
Равновесие вращающегося тела. Правило моментов
Условия равенства нулю равнодействующей всех сил недостаточно, если тело может вращаться вокруг некоторой оси.
Определение. Правило моментов
Если алгебраическая сумма всех моментов, приложенных к телу относительно неподвижной оси вращения, равна нулю, то тело находится в состоянии равновесия.
В общем случае для равновесия тел необходимо выполнение двух условий: равенство нулю равнодействующей силы и соблюдение правила моментов.
Безразличное, устойчивое и неустойчивое равновесие
В механике есть разные виды равновесия. Так, различают устойчивое и неустойчивое, а также безразличное равновесие.
Линия, проведенная из центра масс башни пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра.
