прямая параллельна плоскости может ли она быть перпендикулярна какой нибудь прямой

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.

, так как

Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.

= =

Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.

Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.

Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.

Так как , то .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №9. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярная к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярная к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Теорема о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для того чтобы проверить перпендикулярность прямой к плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Для доказательства рассмотрим прямую a, перпендикулярная к прямым p и q, лежащим в плоскости α и пересекающимся в точке О (рис. 1).

Сначала рассмотрим случай, когда прямая a проходит через точку О (рис. 2). Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Если m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму m.

Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы точка O была серединой отрезка AB. Затем проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.

Так как отрезок AO равен OB и прямая a перпендикулярна к прямым p и q, то p и q являются серединными перпендикулярами к отрезку AB. Поэтому отрезок AP равен BP и AQ равен BQ. Следовательно, треугольник APQ равен треугольнику BPQ по трем сторонам. Отсюда получаем, что угол APQ равен углу BPQ.

Треугольники APL и BPL равны по двум сторонам и углу между ними, так как отрезок AP равен BP, PL – общая сторона и угол APL равен углу BPL. Значит, отрезок AL равен BL. Значит, треугольник ABL – равнобедренный, а его медиана LO является и высотой, т.е. l перпендикулярна прямой a.

По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой m будет перпендикулярна прямой a. Поэтому a перпендикулярна к любой прямой m плоскости α.

Теперь рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через точку O (рис. 3). Проведем через точку O прямую a₁, параллельную a. По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей, получим, что прямая a₁ перпендикулярна прямым p и q. Поэтому по доказанному в первом случае a₁ перпендикулярна плоскости α.

По теореме о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости a перпендикулярна к плоскости α.

Теорема доказана.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Докажем, что прямые CA₁ и BD, проходящие через вершины куба ABCDA₁B₁C₁D₁, перпендикулярны (рис. 4).

Рассмотрим плоскость ACC₁ и прямую BD. Так как прямая BD перпендикулярна прямым AA₁ и AC, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая BD перпендикулярна ACC₁.

Следовательно, прямая BD перпендикулярна любой прямой в ACC₁. В частности, прямая BD перпендикулярна прямой CA₁. Что и требовалось доказать.

Тестовый вопрос №5. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

Решение. Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. В нем сказано, что прямые в плоскости должны пересекаться. В условии подобного не сказано, поэтому утверждение неверно.

Тестовый вопрос №7. Треугольник АВС – равносторонний, CD – медиана, MD перпендикулярно плоскости ABC. AB = 2√3, MD = 4. Найти MC.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Это означает, что его медиана так же является высотой и биссектрисой. Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный, т.к. DC медиана и высота. Сторона AD равна √3. По теореме Пифагора вычислим длину стороны DC: .

Далее рассмотрим треугольник MDC, он прямоугольный, т.к. MD перпендикулярна плоскости ABC. Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдем MC: .

Источник

Прямая параллельна плоскости может ли она быть перпендикулярна какой нибудь прямой

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.