приближенные методы вычисления интегралов можно разделить на 2 группы какие

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Использование метода прямоугольников, метода трапеций и метода парабол для вычисления определенных интегралов. Расчет и сравнение абсолютной и относительной ошибок приближенных методов. Формулы для вычисления относительной и абсолютной погрешностей.

Рубрика	Математика
Вид	методичка
Язык	русский
Дата добавления	27.08.2017
Размер файла	255,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Брянская государственная инженерно-технологическая академия

При решении ряда физических и технических задач встречаются определенные интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Кроме того, в некоторых важных задачах возникает необходимость вычисления определенных интегралов, подынтегральные функции которых не являются элементарными.

Наиболее употребляемыми приближенными методами вычисления определенных интегралов являются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

1. Метод прямоугольников

Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

Метод прямоугольников заключается в замене интеграла суммой:

Для приближенных практических расчетов применяется формулы:

Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой:

Для приближенных практических расчетов применяется формула:

3. Метод парабол (метод Симпсона)

Размещено на http://www.allbest.ru/

б) Выразим площадь под параболой на отрезке через :

Учитывая значения и из пункта а) следует:

в) Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

Метод парабол заключается в замене интеграла суммой:

Для приближенных практических расчетов применяется формула:

Содержание РГР «Приближенные методы вычисления определенных интегралов»

Студенту предлагается работа, состоящая из четырех этапов:

Построение графика подынтегральной функции.

Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.

Образец выполнения РГР

2. Приближенное вычисление с помощью формул прямоугольников:

По первой формуле прямоугольников получаем:

0,1 = 0,1·3,062514 = 0,306251.

По второй формуле прямоугольников получаем:

0,1 = 0,1· 4,802669 = 0,480267.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

3. Приближенное вычисление по формуле трапеций

В нашем случае получаем:

0,1 = =0,1 = 0,1·4,095562 = =0,409556.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

4. Приближенное вычисление по формуле Симпсона

В нашем случае получаем:

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

погрешность интеграл трапеция приближенный

= (с точностью до 20 знака)

1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. М.: Просвещение, 1995. 464 с.

2. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. Минск: Вышейшая школа, 1988. Ч.1. 246 с.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1986. 576 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, Т.1. 1985. 432 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Вычисление относительной и абсолютной погрешности табличных определённых интегралов. Приближенные методы вычисления определённых интегралов: метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Оценка точности вычисления «не берущихся» интегралов.

курсовая работа [187,8 K], добавлен 18.05.2019

Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.

Читайте также: carnet ata что это

курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013

Исследование способа вычисления кратных интегралов методом Монте-Карло. Общая схема метода Монте-Карло, вычисление определенных и кратных интегралов. Разработка программы, выполняющей задачи вычисления значений некоторых примеров кратных интегралов.

курсовая работа [349,3 K], добавлен 12.10.2009

Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.

реферат [99,0 K], добавлен 05.09.2010

Математическая модель: определение интеграла и его геометрический смысл. Приближённые методы вычисления. Формула прямоугольников, трапеций, парабол. Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab. Цикл if и for.

контрольная работа [262,8 K], добавлен 05.01.2015

Методы вычислительной математики, работа с приближёнными величинами. Понятие абсолютной, предельной абсолютной и относительной погрешности приближённого числа. Выведение формулы предельной абсолютной и относительной погрешностей для заданной функции.

контрольная работа [85,3 K], добавлен 05.09.2010

Построение квадратурной формулы максимальной степени точности. Определение алгебраической степени точности указанной квадратурной формулы. Сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла.

лабораторная работа [195,9 K], добавлен 21.12.2015

Источник

Конспект урока по математике на тему: «Приближенные методы вычисления определенных интегралов»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ТЕМА: Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

ЦЕЛЬ: рассмотреть приближенные методы вычисления интегралов на основании геометрического смысла интеграла.

— изучение приближенных методов вычисления определенных интегралов: метода прямоугольников и метода трапеций, параболических трапеций ;

— формирование умений и навыков вычисления определенных интегралов методами прямоугольников и трапеций, параболических трапеций ;

– воспитание самостоятельности, инициативности, решительности, уверенности в себе, стремления к творческому поиску и исследовательской деятельности;

– развитие концентрации внимания, абстрактно-логического мышления,

ТИП: урок новых знаний.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ: проблемное изложение учебного материала.

Дифференциал функции и его приложение к приближенным вычислениям.

и определенный интегралы, методы их решений.

Современные естественнонаучные знания о мире.

2.5. Вещество и поле, их взаимодействие.

2. Дисциплина «Экономическая статистика».

Отражение результатов производства.

МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ: презентация, раздаточный материал.

формулы приближенного вычисления определенного интеграла:

1. Организационный момент

Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.

Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально.

2. Сообщение темы, целей занятия

Преподаватель объявляет тему занятия, привлекает студентов к постановке целей и задач занятия.

Чтобы вдохновиться на изучение нового материала, вспомним о полезности интеграла.

Выясним, в чем состоит экономический смысл интеграла:

Экономический смысл интеграла

Z(t) — функция производительности труда от времени

V(t) — функция объема произведенной продукции от времени

Объем произведенной продукции есть первообразная производительности труда

Применение интеграла в естествознании.

Перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени:

Для нахождения работы необходимо найти определенный интеграл функции силы по перемещению:

4. Актуализация опорных знаний.

а) фронтальный опрос.

Что называют неопределенным интегралом функции ?

Что называют определенным интегралом от a до b функции ?

В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

4) Какие два метода интегрирования вы знаете?

5) Какие вопросы можно задать об этих двух методах? (выбранный студент опрашивает группу о том, на чем основан метод непосредственного интегрирования и в каких случаях применяется метод замены переменной).

6) Что называют прямоугольником? Начертите изображение прямоугольника и запишите формулу его площади.

7) Выполните те же задания, но для трапеции.

б) тестирование по теме “Интеграл”.

Ответ : а) 27 б) 24 в) 18 г) 21

Ответ : а) 26/3 б) 28/3 в) 15/2 г) 47/6

2) Найдите интеграл:

3) При каком значении “а” выполняется равенство ?

4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у=f(x), y=0, Y=-x 2 +x+2

Ответы : а) 13/3 б) 29/6 в) 16/3 г) 4,5

Ответы : а) 25/3 б) 28/3 в) 26/3 г) 29/3

2) Найдите интеграл.

3) При каком значении “а” выполняется равенство ?

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у=f(x), y=0, Y=-x 2 +4x-3

5. Формирование новых знаний и способов действий

Предполагается, проводить работу 3-мя группами.

1-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования — формулой прямоугольников

2-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой трапеций

3-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой параболических трапеций ( формула Симпсона)

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Но вычислить интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования.

Вычислить интеграл точно по формуле Ньютона – Лейбница с целью оценки погрешности при приближенном вычислении этого же интеграла.

Все три группы одновременно вычисляют интеграл :

= .

Разделим интервал интегрирования на равных частей (частичных интервалов) и заменим данную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции в начальных или конечных точках частичных интервалов. Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла .

Если обозначить значения функции в точках деления через , то будем иметь следующую формулу — формулу прямоугольников :

Решает пример 1 по формуле прямоугольников : при

Решает пример 1 по формуле трапеций : при

Решает пример 1 по формуле параболических трапеций : при

Занесем итоги расчета в таблицу и сравним:

= 6,1 %

Вывод : гипотеза о том, что с помощью формул численного интегрирования можно вычислять определенные интегралы подтвердилась. Однако, при одном и том же значении формула Симпсона дает лучшее приближение.

6. Закрепление материала

х k = a + k х

х0 = 2 + 0* = 2 х1 = 2 + 1* = 2,5 х2 = 2 + 2* =3

х3 = 2 + 3 * = 3,5 х4 = 2 + 4* = 4 х5 = 2 + 5 * = 4,5

f (x 3 ) = 3,5 2 = 12,25

f (x 5 ) = 4,5 2 = 20,25

у 4 6,25 9 12,25 16 20,25

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:
а)
По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называют шагом.

Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше, чем количество отрезков:

Ну а общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-го знака после запятой.

Окончательно:

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

Как формируется вторая строка– сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг .

В результате:

Если для 3 отрезков разбиения приближённое значение составило , то для 5 отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Решение: Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше : . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования , а затем последовательно приплюсовываем шаг .

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если , то . Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Найдём абсолютное значение разности между приближениями:

Правило Рунге для метода Симпсона очень вкусное. Если при использовании метода средних прямоугольников и метода трапеций нам даётся «поблажка» в одну треть, то сейчас – аж в одну пятнадцатую:
, и точность здесь уже не страдает:

Рассмотрим другое решение, где придётся сделать дополнительный шаг: так как больше требуемой точности: , то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .