Сечение шара плоскостью
Если шар пересекать плоскостью, то в сечении всегда получается окружность. Эта окружность может спроецироваться:
— в прямую, если секущаяплоскость перпендикулярна к плоскости проекций;
— в окружность с радиусом, равным расстоянию от оси вращения шара до очерка, если секущая плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций;
— в эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций.
Чтобы построить проекции точки, лежащей на поверхности шара, необходимо через нее провести секущую плоскость, параллельную какой-либо плоскости проекций, и построить окружность, на которой находится эта точка
На рисунке 42 показано построение проекций линии сечения шара фронтально проецирующей плоскость.
Построение начинаем с определения характерных точек. Точки 1 и 2 находятся на фронтальном очерке шара (главном меридиане). Эти точки – концы малой оси эллипса, а также самая высокая и самая низкая точки. Их горизонтальные и профильные проекции находятся на соответствующих окружностях шара, которые на горизонтальной и профильной плоскостях совпадают с осями. Точки 3 и 4 находятся на профильном очерке шара (профильном меридиане) и служат для определения видимости на профильной плоскости проекций. Горизонтальные проекции этих точек находятся по фронтальным и профильным. Точки 5 и 6 находятся на горизонтальном очерке шара (экваторе) и служат для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций. Профильные проекции этих точек находим по горизонтальным и фронтальным проекциям. Точки 7 и 8 принадлежат концам большой оси эллипса.
Они строятся следующим образом. Вначале найдена фронтальная проекция точки 0′, центраокружности сечения, как середина отрезка 1’2′, затем ее горизонтальная проекция точка 0. Отрезки 0¢1¢ и 0’¢2′ на фронтальной проекции равны истиной величине радиуса этой окружности. На горизонтальной проекции диаметр окружности изображается без искажения, поэтому откладываем отрезки 07 и 08, равные 0’1′. Для точного построения линии сечения необходимо найти несколько дополнительных точек. Для их построения используются вспомогательные секущие плоскости (например, плоскости горизонтального уровня T и P, которые в сечении дают окружность на горизонтальной плоскости. Полученные точки соединяют плавной кривой с учетом их видимости.
Шар и сфера, их сечения
Урок 40. Подготовка к ЕГЭ по математике
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Шар и сфера, их сечения»
Напомним, что шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой данной точки. Эта точка – центр шара, а заданное расстояние – радиус шара.
Шар так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается в результате вращения полукруга вокруг его диаметра.
Поверхность, образуемая при этом вращении полуокружности, называется сферой. Можно сказать, что сфера – это как бы оболочка, или граница, шара. Как окружность есть граница круга, так и сфера – это граница шара.
Назовём элементы сферы и шара.
Радиус сферы – это отрезок, соединяющий центр сферы и любую её точку.
Хорда сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы.
Диаметр сферы – хорда сферы, проходящая через её центр.
Радиус, хорда, диаметр шара – это радиус, хорда, диаметр его сферы.
Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Плоскость, которая проходит через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение ею шара – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Плоскость, проходящая через точку А сферы и перпендикулярно радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.
Свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.
Признак касательной плоскости к сфере: плоскость, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.
Касательная плоскость пересекается с шаром в единственной точке – в точке касания.
Касательной прямой к сфере (шару) называется прямая, имеющая со сферой единственную общую точку.
Отрезки касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.
Линией пересечения двух сфер является окружность.
Площадь сферы радиуса 
: 
.
Объём шара радиуса : 
.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Площадь боковой поверхности шарового сегмента:
.
Объём шарового сегмента:
,
где – радиус шара, – высота шарового сегмента.
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса, основанием которого является сечение плоскостью данного шара.
Площадь боковой поверхности шарового сектора:
.
Объём шарового сектора:
,
где – радиус шара, 
– высота сегмента.
Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.
Шар называется описанным около многогранника, а многогранник – вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.
Шар называется вписанным в цилиндр, а цилиндр – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований цилиндра и всех образующих.
Шар называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра принадлежат поверхности шара.
Шар называется вписанным в конус (усечённый конус), а конус (усечённый конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается основания (оснований) конуса и всех образующих.
Шар называется описанным около конуса (усечённого конуса), если окружность основания и вершина (окружности оснований) конуса принадлежат поверхности шара.
Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то в такую пирамиду можно вписать шар.
Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.
Если боковые рёбра пирамиды равны между собой (или одинаково наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.
В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение.
Описать шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания можно описать окружность.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задача первая. Радиус шара увеличили в 
раза. Во сколько раз увеличился объём шара?
Задача четвёртая. В конус с радиусом основания, равным см, и высотой, равной 
см, вписан шар. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади поверхности шара.
Задача пятая. Найдите объём шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 
см, а радиус шара – 
см.
Задача шестая. Шар с радиусом 
см пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии 
см от центра шара. Найдите площадь сечения.
Пересечение шара и плоскости
Определение. Тело, происходящее от вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром, а поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется шаровой или сферической поверхностью.
Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удалённых от одной и той же точки (называемой центром шара).
Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом, а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.
Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются.
Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.
1) Предположим сначала, что (рис. 137) секущая плоскость АВ проходит через центр О шара. Все точки линии пересечения принадлежат шаровой поверхности и поэтому одинаково удалены от точки О, лежащей в секущей плоскости; следовательно, сечение есть круг с центром в точке О.
2) Положим теперь, что секущая плоскость СО не проходит через центр. Опустим на неё из центра перпендикуляр OK и возьмём на линии пересечения какую-нибудь точку М. Соединив её с О и А, получим прямоугольный треугольник МОК, из которого находим:
Так как длины отрезков ОМ и ОК не изменяются при изменении положения точки М на линии пересечения, то расстояние MK есть величина постоянная для данного сечения; значит, линия пересечения есть окружность, центр которой есть точка К.
Из этой формулы выводим:
1) Наибольший радиус сечения получается при d = 0, т. е. когда секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае r = R. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом.
2) Наименьший радиус сечения получается при d = R. В этом случае r = 0, т. е. круг сечения обращается в точку.
3) Сечения, равноотстоящие от центра шара, равны.
4) Из двух сечений, неодинаково удалённых от центра шара, то, которое ближе к центру, имеет больший радиус.
128. Теорема. Всякая плоскость (Р, рис. 138), проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.
Возьмём на поверхности шара какую-нибудь точку А; пусть АВ есть перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость Р. Продолжим АВ до пересечения с поверхностью шара в точке С. Проведя ВО, мы получим два равных прямоугольных треугольника
АОВ и ВОС (общий катет ВО, а гипотенузы равны, как радиусы шара); следовательно, АВ = ВС; таким образом, всякой точке А поверхности шара соответствует другая точка С этой поверхности, симметричная относительно плоскости Р с точкой А. Значит, плоскость Р делит поверхность шара на две симметричные части.
Эти части не только симметричны, но и равны, так как, разрезав шар по плоскости Р, мы можем вложить одну из двух частей в другую и совместить эти части.
Теорема. Через две точки шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну.
Пусть на шаровой поверхности, имеющей центр О, взяты какие-нибудь две точки, например С и N, не лежащие на одной прямой с точкой О. Тогда через точки С, О к N можно провести плоскость. Эта плоскость, проходя через центр О, даст в пересечении с шаровой поверхностью окружность большого круга.
Другой окружности большого круга через те же две точки С и N провести нельзя. Действительно, всякая окружность большого круга должна, по определению, лежать в плоскости, проходящей через центр шара; следовательно, если бы через С и N можно было провести ещё другую окружность большого круга, тогда выходило бы, что через три точки С, N и О, не лежащие на одной прямой, можно провести две различные плоскости, что невозможно.
Теорема. Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам.
Центр О (рис. 139), находясь на плоскостях обоих больших кругов, лежит на прямой, по которой эти круги пересекаются; значит, эта прямая есть диаметр того и другого круга, а диаметр делит окружность пополам.
Тела вращения и их сечения
Телом вращения называется тело, образованное в результате вращения какой-либо линии вокруг прямой.
Примеры тел вращения.
Шар − образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.
Цилиндр − образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.
Конус − образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.
При пересечении тела вращения плоскостью получается плоская фигура, ограниченная в большинстве случаев кривой линией. В частных случаях фигурой сечения может быть прямоугольник (для цилиндра) и треугольник (для конуса).
Осевым сечением цилиндра называется сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие стороны – диаметры оснований цилиндра.
Секущая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его по кругу.
Если плоскость проходит через высоту конуса FO, то сечение конуса этой плоскостью называют осевым и оно представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами – образующие конуса.
Сечение поверхности цилиндра
Бывают следующие случаи сечения поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью:
1) окружность, если секущая плоскость Р перпендикулярна оси цилиндра, причем она параллельна основанию цилиндра;
2) эллипс, если секущая плоскость Р не перпендикулярна и не параллельна оси цилиндра;
3) пара прямых, если секущая плоскость Q содержит ось цилиндра или параллельна ей.
Рис. 104. Возможные случаи сечения поверхности цилиндра плоскостью: а – окружность; б – эллипс; в – пара прямых
Сечение поверхности конуса
В общем случае круговая коническая поверхность включает в себя две совершенно одинаковые полости, которые имеют общую вершину. Образующие одной полости представляют собой продолжение образующих другой полости.
Бывают различные случаи сечения поверхности кругового конуса плоскостью.
1. Эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной образующей (рис. 107 б). Здесь секущая плоскость пересекает поверхность только одной полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса меньше угла, который образующая конуса составляет с основанием конуса. Здесь угол является углом, который образующая составляет с основанием.
Рис. 107. Различные случаи сечения поверхности кругового конуса плоскостью: а – гипербола; б – эллипс; в – парабола; г – пара прямых
2. Парабола, если секущая плоскость параллельна только одной образующей (рис. 107 в).
3. Гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим (рис. 107 а). При этом секущая плоскость пересекает обе полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса больше угла.
4. Пара прямых, если секущая плоскость проходит через вершину конуса и угол ее наклона к основанию конуса больше угла. Этот случай иногда рассматривают как частный случай гиперболы.
Сечение шара
Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара). Основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости, есть центр круга, полученного в сечении.
При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.
Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).
