Техническая механика
Сопротивление материалов
Деформация кручения
Основные понятия о кручении. Кручение круглого бруса.
В машинах и механизмах кручению наиболее часто подвергаются круглые или трубчатые валы, поэтому расчеты на прочность и жесткость чаще всего производят для таких узлов и деталей.
Рассмотрим кручение круглого цилиндрического вала.
Представьте резиновый цилиндрический вал у которого жестко закреплен один из концов, а на поверхности нанесена сетка из продольных линий и поперечных окружностей. К свободному концу вала приложим пару сил, перпендикулярно оси этого вала, т. е. закрутим его вдоль оси. Если внимательно рассмотреть линии сетки на поверхности вала, то можно заметить, что:
— ось вала, которую называют осью кручения, останется прямолинейной;
— диаметры окружностей останутся такими же, а расстояние между соседними окружностями не изменится;
— продольные линии на валу обратятся в винтовые линии.
Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндрического бруса (вала) справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми (поскольку их диаметры не изменились). А поскольку в сечениях вала отсутствуют продольные силы, то расстояние между ними сохраняется.
Следует отметить, что аналогичная картина наблюдается при деформации сдвига, только в этом случае поверхность деформируется из-за поступательного перемещения сечений друг относительно друга, а не из-за вращательного перемещения, как при деформации кручения. На основании этого можно сделать вывод, что при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы (напряжения), образующие крутящий момент.
Итак, крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении.
Материалы раздела «Деформация кручения»:
iSopromat.ru
Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.
Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.
Внутренний крутящий момент
Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов mi, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.
Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.
Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений: 
т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов mi, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.
В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.
Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:
Напряжения при кручении
В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле: 
где Iρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид: 
Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρmax: 
Здесь: 
— полярный момент сопротивления.
Геометрические характеристики сечений:
а) для полого вала: 
б) для вала сплошного сечения (c=0) 
в) для тонкостенной трубы (t 0,9) 
где 
— радиус срединной поверхности трубы.
Деформации
Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.
Угол закручивания вала на длине Z определяется по формуле: 
Если крутящий момент и величина GIρ, называемая жесткостью поперечного сечения при кручении, постоянны, для участка вала длиной l имеем: 
Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания: 
Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:
Для стальных валов принимается:
Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:
Из двух найденных значений крутящего момента необходимо принять меньшее.
Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле 
или для участка вала при постоянном T и GIρ 
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Научная электронная библиотека
Лекция 7. КРУЧЕНИЕ
Крутящие моменты (внутренний силовой фактор) в поперечных сечениях стержня. Кручение стержней круглого поперечного сечения: допущения, деформации, напряжения, углы закручивания. Условия прочности, жёсткости. Построение эпюр крутящих моментов.
Кручение имеет место в случае действия на вал момента (пары сил) относительно его продольной оси, и в поперечных сечениях бруса возникает только один силовой фактор – крутящий момент. Брус, работающей на кручение называется валом. При кручении вала его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса.
Напряжения и деформации при кручении бруса. Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце бруса, левый конец которого жестко закреплен, брус будет закручиваться. Выделим из бруса элементарный цилиндр длиной dx (рис. 19). Будем считать, что левое сечение бруса жестко закреплено. Под действием крутящего момента T правое сечение повернется на некоторый угол dφ.Так как ds = γ•dx = ρ•dφ, то получаем 
. Из данной зависимости видно, что угол сдвига γ изменяется по радиусу вала по линейному закону.
Рис. 19. Расчетная схема при кручении
Деформация бруса при кручении характеризуется относительным углом закручивания 
.
При малых углах закручивания вала в теории кручения круглых стержней принимаются допущения:
1. Поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к его оси до деформации, остаются плоскими (не коробятся) и перпендикулярными к оси вала и после деформации (гипотеза Бернулли).
2. Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются и не изменяют своей длины.
3. Длина вала в результате закручивания не изменяется.
Поперечное сечение вала ведет себя при кручении, как жесткий диск, и деформацию кручения можно рассматривать, как результатсдвига одного поперечного сечения относительно другого. В этом случае в точках поперечного сечения вала возникают только касательные напряжения.
Теория кручения, основанная на упомянутых допущениях, подтверждается экспериментальными данными.
Согласно закону Гука при сдвиге, имеем 
. Откуда получаем:
Из полученной зависимости следует, что касательные напряжения изменяются по радиусу по линейному закону.
При кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей – к крутящему моменту. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенные через точки их действия (рис. 20). Крутящий момент T в сечении бруса определяется по формуле
где ρ – плечо элементарной силы.
Подставляя значение касательного ускорения, получим
(8)
Элементарный угол закручивания бруса: 
полный угол закручивания 
Максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса будет определяться по зависимости:
Прочность и жесткость при кручении. Условие прочности при кручении имеет вид
(9)
Для бруса круглого сечения эти условия принимают вид:
Построение эпюр крутящих моментов. Крутящий момент, возникающий в поперечном сечении стержня, определяется методом сечений. Крутящий момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к любой из частей стержня. Эпюра крутящих моментов – это график, показывающий изменения крутящего момента по длине вала. Правило знаков для эпюры крутящих моментов
При построении эпюры крутящих моментов используется правило знаков: скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки при взгляде на поперечное сечение, вызывает в этом сечении положительный крутящий момент.
Брус разбивается на участке, на каждом участке проводится сечение и определяется крутящий момент. Затем строится эпюра крутящих моментов.
Тема 2.4. Кручение
Под кручением понимается такой вид деформации, когда в поперечных сечениях бруса действует только крутящий момент Mk, (другое обозначение T, Mz), а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающие моменты) отсутствуют.
Или другое определение кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис.1).
Кручение возникает в валах, винтовых пружинах, в элементах пространственных конструкций и т.п.
Деформация кручения наблюдается если прямой брус нагружен внешними моментами (парами сил M), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси
В чистом виде деформация кручения встречается редко, обычно присутствуют и другие внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные силы).
Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами.
Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, там, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала.
Мы будем рассматривать прямой брус только в состоянии покоя или равномерного вращения. В этом случае алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, будет равна нулю.
При расчете брусьев, испытывающий деформацию кручения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от Mk), возникающих в брусе, и нахождение угловых перемещений в зависимости от внешних скручивающих моментов.
При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.
§2. Построение эпюр крутящих моментов
Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов Mk (Mz) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.
В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣMz=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 1, крутящий момент Mz в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M1|=|M2|.
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Напряжения и деформации при кручении круглого бруса
Из исследований известно, что характер деформирования в значительной степени зависит от формы поперечного сечения. В технике чаще всего применяются стержни круглого и кольцевого сечения. Рассмотрим стержень круглого сечения.
В поперечном сечении возникают только касательные напряжения. Нормальные силы параллельны оси z и не дают момента. Таким образом, в качестве внутреннего силового фактора имеется только крутящий момент – результирующий момент внутренних касательных сил τdА, действующих на площадке dА.
В интегральном виде крутящий момент можно представить как:
(1), где ρ – плечо элементарной силы относительно точки 0 – центра сечения.
Формула (1) выражает статическую сторону задачи о кручении, но не позволяет определить значение касательного напряжения τ, пока неизвестен закон распределения касательных напряжений по сечению.
В основу технической теории о кручении положена гипотеза плоских сечений и допущения:
1. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформации не меняются, т.е. длина бруса остается постоянной.
2. Радиусы поперечных сечений не искривляются.
Все это подтверждается экспериментально, а также выводами теории упругости (кроме допущения о непрерывности).
Выделим из бруса трубчатый стержень с внутренним радиусом ρ и бесконечно малой толщиной dρ – тогда касательные напряжения можно считать равномерно распределенными по кольцевому сечению.
Мерой деформации при кручении является угол закручивания:
(2) – относительный угол закручивания, где
dφ- угол взаимного поворота двух бесконечно близких сечений.
dz – расстояние между ними.
Следует отметить, что у относительного угла закручивания θ в кручении такая же роль, как у ε (относительная продольная деформация) при растяжении (сжатии). Если рассмотреть деформацию на трубчатом стержне, то можно увидеть, что СВ перешло в СВ’, ЕD — ЕD’, ОВ — ОВ’, ОD — ОD’. Таким образом, можно констатировать, что бесконечно малый элемент боковой поверхности СВДЕ претерпевает чистый сдвиг. Тогда угол сдвига:
(3) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи.
Теперь обратимся к физической стороне задачи. Известен закон Гука для сдвига:
Согласно принятым допущениям величина θ является одинаковой для всех трубчатых стержней, из которых может быть составлен круглый брус. G – модуль сдвига тоже величина постоянная, следовательно, закон распределения касательных напряжений линеен и находится в зависимости от расстояния ρ.
Gθ=const, поэтому вынесены за знак интеграла, а в подынтегральном выражении наблюдается полярный момент инерции сечения, таким образом получаем:
, откуда выразим относительный угол закручивания:
(5)
Формулу (5) подставим в (4) и получим формулу для определения касательных напряжений при кручении в любой точке сечения:
Из формулы (6) видно, что касательные напряжения τ возрастают от 0 (центр) до max в точках внешнего контура. Максимальное напряжение:
По углу закручивания θ легко определить абсолютный угол поворота одного сечения относительно другого. Из формул (2) и (5):
, где ℓ- расстояние между сечениями.
Если брус одинаков по сечению по длине (Iρ=const), и крутящий момент постоянен, то после интегрирования получим значение угла поворота в радианах:
Жесткость сечения при сдвиге. В знаменателе произведение модуля сдвига на полярный момент инерции 
называется жесткостью сечения при сдвиге.
Определение крутящего момента через мощность.
На практике мощность чаще всего задаётся либо в киловаттах, либо лошадиных силах и числом оборотов в минуту.
