Корреляция и коэффициент корреляции
Корреляция — степень связи между 2-мя или несколькими независимыми явлениями.
Корреляция бывает положительной и отрицательной.
Положительная корреляция (прямая) возникает при одновременном изменении 2-х переменных величин в одинаковых направлениях (в положительном или отрицательном). Например, взаимосвязь между количеством пользователей, приходящих на сайт из поисковой выдачи и нагрузкой на сервер: чем больше пользователей, тем больше нагрузка.
Корреляция отрицательна (обратная), если изменение одной величины приводит противоположному изменению другой. Например, с увеличением налоговой нагрузки на компании уменьшается их прибыль. Чем больше налогов, тем меньше денег на развитие.
Типичные виды корреляции
Эффективность корреляции как статистического инструмента заключается в возможности выражения связи между двумя переменными при помощи коэффициента корреляции.
При значении КК равным 1, следует понимать, что при каждом изменении 1-й переменной происходит эквивалентное изменение 2-й переменной в том же направлении.
Положительная корреляция концентраций этанола в синовии и крови
Отрицательная корреляция между показателями результатов в беге на 100 м с барьерами и прыжками в длину
| Значение | Интерпретация |
| до 0,2 | Очень слабая |
| до 0,5 | Слабая |
| до 0,7 | Средняя |
| до 0,9 | Высокая |
| свыше 0,9 | Очень высокая корреляция |
Данный метод обработки статистической информации популярен в экономических, технических, социальных и других науках в виду простоты подсчета КК, простотой интерпретации результатов и отсутствия необходимости владения математикой на высоком уровне.
Корреляционная зависимость отражает только взаимосвязь между переменными и не говорит о причинно-следственных связях: положительная или отрицательная корреляция между 2-мя переменными не обязательно означает, что изменение одной переменной вызывает изменение другой.
Например, есть положительная корреляция между увеличением зарплаты менеджеров по продажам и качеством работы с клиентами (повышения качества обслуживания, работа с возражениями, знание положительных качеств продукта в сравнении с конкурентами) при соответствующей мотивации персонала. Увеличившийся объем продаж, а следовательно и зарплата менеджеров, вовсе не означает что менеджеры улучшили качество работы с клиентами. Вполне вероятно, что случайно поступили крупные заказы и были отгружены или отдел маркетинга увеличил рекламный бюджет или произошло еще что-то.
Возможно существует некая третья переменная, влияющая на причину наличия или отсутствия корреляции.
Коэффициент корреляции не рассчитывается:
Коэффициент корреляции и его интерпретация
Уважаемые студенты! Если вы попали на эту страницу прежде, чем вам стало известно, что такое корреляционный анализ, настоятельно рекомендуем прочитать вначале о сущности корреляционного анализа и только после этого возвращаться на данную страницу.
Коэффициент корреляции — это показатель линейной связи между двумя переменными.
Величина коэффициента показывает, к какому из трех вариантов относится связь между данными переменными:
Для наглядности изобразим ответ на этот вопрос в виде схемы:
Как видно из схемы, все возможные значения коэффициента корреляции делятся на три группы:
Загадочное число, которое мы обозначили буквой a и которое определяет границы между вышеперечисленными группами, — это критическое значение коэффициента корреляции.
Критические значения коэффициентов корреляции различаются в зависимости от объема выборки (количества испытуемых, опрошенных, числа измерений). Чтобы определить их величину для конкретного случая, нужно воспользоваться специальной таблицей критических значений коэффициентов корреляции.
Как пользоваться этой таблицей? Проследим процесс пользования таблицей на примерах из реального эмпирического исследования, проведенного несколько лет назад в рамках дипломной работы по психологии о факторах агрессивности.
Пример. Связь между агрессивностью и силой процесса торможения. У 30 испытуемых измерили силу нервного процесса торможения (шкала «сила по торможению», методика Стреляу, диагностика свойств нервных процессов) и уровень агрессивности (шкала «индекс агрессивности», тест Басса-Дарки, диагностика агрессивности и враждебности).
Дальнейший процесс обработки и интерпретации разделим для удобства на следующие этапы:
Вот таким не слишком сложным научным методом выявляются простые закономерности и устанавливаются научные факты.
Продолжение следует. Скоро посмотрим, как по величине коэффициента корреляции можно выяснить, насколько тесной является связь между переменными.
Метод корреляционного анализа: пример. Корреляционный анализ — это…
Понятие о корреляционном анализе
Существует множество определений термина. Исходя из вышеизложенного, можно сказать, что корреляционный анализ — это метод, применяющийся с целью проверки гипотезы о статистической значимости двух и более переменных, если исследователь их может измерять, но не изменять.
Есть и другие определения рассматриваемого понятия. Корреляционный анализ — это метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов корреляции между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков, для установления между ними статистических взаимосвязей. Корреляционный анализ — это метод по изучению статистической зависимости между случайными величинами с необязательным наличием строгого функционального характера, при которой динамика одной случайной величины приводит к динамике математического ожидания другой.
Задачи корреляционного анализа
Исходя из приведенных выше определений, можно сформулировать следующие задачи описываемого метода: получить информацию об одной из искомых переменных с помощью другой; определить тесноту связи между исследуемыми переменными.
Корреляционный анализ предполагает определение зависимости между изучаемыми признаками, в связи с чем задачи корреляционного анализа можно дополнить следующими:
Условия использования метода
Результативные факторы зависят от одного до нескольких факторов. Метод корреляционного анализа может применяться в том случае, если имеется большое количество наблюдений о величине результативных и факторных показателей (факторов), при этом исследуемые факторы должны быть количественными и отражаться в конкретных источниках. Первое может определяться нормальным законом — в этом случае результатом корреляционного анализа выступают коэффициенты корреляции Пирсона, либо, в случае, если признаки не подчиняются этому закону, используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
Оценка тесноты связи
Теснота корреляционной связи определяется по коэффициенту корреляции (r): сильная — r = ±0,7 до ±1, средняя — r = ±0,3 до ±0,699, слабая — r = 0 до ±0,299. Данная классификация не является строгой. На рисунке показана несколько иная схема.
Правила отбора факторов корреляционного анализа
При применении данного метода необходимо определиться с факторами, оказывающими влияние на результативные показатели. Их отбирают с учетом того, что между показателями должны присутствовать причинно-следственные связи. В случае создания многофакторной корреляционной модели отбирают те из них, которые оказывают существенное влияние на результирующий показатель, при этом взаимозависимые факторы с коэффициентом парной корреляции более 0,85 в корреляционную модель предпочтительно не включать, как и такие, у которых связь с результативным параметром носит непрямолинейный или функциональный характер.
Отображение результатов
Результаты корреляционного анализа могут быть представлены в текстовом и графическом видах. В первом случае они представляются как коэффициент корреляции, во втором — в виде диаграммы разброса.
При отсутствии корреляции между параметрами точки на диаграмме расположены хаотично, средняя степень связи характеризуется большей степенью упорядоченности и характеризуется более-менее равномерной удаленностью нанесенных отметок от медианы. Сильная связь стремится к прямой и при r=1 точечный график представляет собой ровную линию. Обратная корреляция отличается направленностью графика из левого верхнего в нижний правый, прямая — из нижнего левого в верхний правый угол.
Трехмерное представление диаграммы разброса (рассеивания)
Помимо традиционного 2D-представления диаграммы разброса в настоящее время используется 3D-отображение графического представления корреляционного анализа.
Также используется матрица диаграммы рассеивания, которая отображает все парные графики на одном рисунке в матричном формате. Для n переменных матрица содержит n строк и n столбцов. Диаграмма, расположенная на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, представляет собой график переменных Xi по сравнению с Xj. Таким образом, каждая строка и столбец являются одним измерением, отдельная ячейка отображает диаграмму рассеивания двух измерений.
Ссылки
Пример применения метода корреляционного анализа
В Великобритании было предпринято любопытное исследование. Оно посвящено связи курения с раком легких, и проводилось путем корреляционного анализа. Это наблюдение представлено ниже.
Исходные данные для корреляционного анализа
| Профессиональная группа | курение | смертность |
| Фермеры, лесники и рыбаки | 77 | 84 |
| Шахтеры и работники карьеров | 137 | 116 |
| Производители газа, кокса и химических веществ | 117 | 123 |
| Изготовители стекла и керамики | 94 | 128 |
| Работники печей, кузнечных, литейных и прокатных станов | 116 | 155 |
| Работники электротехники и электроники | 102 | 101 |
| Инженерные и смежные профессии | 111 | 118 |
| Деревообрабатывающие производства | 93 | 113 |
| Кожевенники | 88 | 104 |
| Текстильные рабочие | 102 | 88 |
| Изготовители рабочей одежды | 91 | 104 |
| Работники пищевой, питьевой и табачной промышленности | 104 | 129 |
| Производители бумаги и печати | 107 | 86 |
| Производители других продуктов | 112 | 96 |
| Строители | 113 | 144 |
| Художники и декораторы | 110 | 139 |
| Водители стационарных двигателей, кранов и т. д. | 125 | 113 |
| Рабочие, не включенные в другие места | 133 | 146 |
| Работники транспорта и связи | 115 | 128 |
| Складские рабочие, кладовщики, упаковщики и работники разливочных машин | 105 | 115 |
| Канцелярские работники | 87 | 79 |
| Продавцы | 91 | 85 |
| Работники службы спорта и отдыха | 100 | 120 |
| Администраторы и менеджеры | 76 | 60 |
| Профессионалы, технические работники и художники | 66 | 51 |
Начинаем корреляционный анализ. Решение лучше начинать для наглядности с графического метода, для чего построим диаграмму рассеивания (разброса).
Она демонстрирует прямую связь. Однако на основании только графического метода сделать однозначный вывод сложно. Поэтому продолжим выполнять корреляционный анализ. Пример расчета коэффициента корреляции представлен ниже.
С помощью программных средств (на примере MS Excel будет описано далее) определяем коэффициент корреляции, который составляет 0,716, что означает сильную связь между исследуемыми параметрами. Определим статистическую достоверность полученного значения по соответствующей таблице, для чего нам нужно вычесть из 25 пар значений 2, в результате чего получим 23 и по этой строке в таблице найдем r критическое для p=0,01 (поскольку это медицинские данные, здесь используется более строгая зависимость, в остальных случаях достаточно p=0,05), которое составляет 0,51 для данного корреляционного анализа. Пример продемонстрировал, что r расчетное больше r критического, значение коэффициента корреляции считается статистически достоверным.
Литература
Использование ПО при проведении корреляционного анализа
Описываемый вид статистической обработки данных может осуществляться с помощью программного обеспечения, в частности, MS Excel. Корреляционный анализ в Excel предполагает вычисление следующих параметров с использованием функций:
1. Коэффициент корреляции определяется с помощью функции КОРРЕЛ [CORREL](массив1; массив2). Массив1,2 — ячейка интервала значений результативных и факторных переменных.
Линейный коэффициент корреляции также называется коэффициентом корреляции Пирсона, в связи с чем, начиная с Excel 2007, можно использовать функцию ПИРСОН (PEARSON) с теми же массивами.
Графическое отображение корреляционного анализа в Excel производится с помощью панели «Диаграммы» с выбором «Точечная диаграмма».
После указания исходных данных получаем график.
2. Оценка значимости коэффициента парной корреляции с использованием t-критерия Стьюдента. Рассчитанное значение t-критерия сравнивается с табличной (критической) величиной данного показателя из соответствующей таблицы значений рассматриваемого параметра с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы. Эта оценка осуществляется с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени_свободы).
3. Матрица коэффициентов парной корреляции. Анализ осуществляется с помощью средства «Анализ данных», в котором выбирается «Корреляция». Статистическую оценку коэффициентов парной корреляции осуществляют при сравнении его абсолютной величины с табличным (критическим) значением. При превышении расчетного коэффициента парной корреляции над таковым критическим можно говорить, с учетом заданной степени вероятности, что нулевая гипотеза о значимости линейной связи не отвергается.
Как рассчитать коэффициент корреляции
Коэффициенты Пирсона и Спирмена можно рассчитать вручную. Это может понадобиться при углубленном изучении статистических методов.
Однако в большинстве случаев при решении прикладных задач, в том числе и в психологии, можно проводить расчеты с помощью специальных программ.
Расчет с помощью электронных таблиц Microsoft Excel
Вернемся опять к примеру со студентами и рассмотрим данные об уровне их интеллекта и длине прыжка с места. Занесем эти данные (два столбца) в таблицу Excel.
Переместив курсор в пустую ячейку, нажмем опцию «Вставить функцию» и выберем «КОРРЕЛ» из раздела «Статистические».
Формат этой функции предполагает выделение двух массивов данных: КОРРЕЛ (массив 1; массив»). Выделяем соответственно столбик с IQ и длиной прыжков.
В таблицах Excel реализована формула расчета только коэффициента Пирсона.
Расчет с помощью программы STATISTICA
Заносим данные по интеллекту и длине прыжка в поле исходных данных. Далее выбираем опцию «Непараметрические критерии», «Спирмена». Выделяем параметры для расчета и получаем следующий результат.
Как видно, расчет дал результат 0,024, что отличается от результата по Пирсону – 0,038, полученной выше с помощью Excel. Однако различия незначительны.
Расчет коэффициента корреляции
Методы расчета коэффициента корреляции
Размещено на www.rnz.ru
В том случае, когда причинная зависимость действует не в каждом конкретном случае, а в общем для всей наблюдаемой совокупности, среднем при значительном количестве наблюдений, то такая зависимость является стохастической. Частным случаем стохастической зависимости выступает корреляционная связь, при которой изменение средней величины результативного показателя вызвано изменением значений факторных показателей. Расчет степени тесноты и направления связи выступает значимой задачей исследования и количественной оценки взаимосвязи различных социально-экономических явлений. Определение степени тесноты связи между различными показателями требует определение уровня соотношения изменения результативного признака от изменения одного (в случае исследования парных зависимостей) либо вариации нескольких (в случае исследования множественных зависимостей) признаков-факторов. Для определения такого уровня используется коэффициент корреляции.
Линейный коэффициент корреляции был впервые введен в начале 90-х гг. XIX в. Пирсоном и показывает степень тесноты и направления связи между двумя коррелируемыми факторами в случае, если между ними имеется линейная зависимость. При интерпретации получаемого значения линейного коэффициента корреляции степень тесноты связи между признаками оценивается по шкале Чеддока, один из вариантов этой шкалы приведен в нижеследующей таблице:
Шкала Чеддока количественной оценки степени тесноты связи
| Величина показателя тесноты связи | Характер связи |
|---|---|
| До |±0,3| | Практически отсутствует |
| |±0,3|-|±0,5| | Слабая |
| |±0,5|-|±0,7| | Умеренная |
| |±0,7|-|±1,0| | Сильная |
При интерпретации значения коэффициента линейной корреляции по направлению связи выделяют прямую и обратную. В случае наличия прямой связи с повышением или снижением величины факторного признака происходит повышение или снижение показателей результативного признака, т.е. изменение фактора и результата происходит в одном направлении. Например, повышение величины прибыли способствует росту показателей рентабельности. При наличии обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с динамикой факторного признака. Например, с повышением производительности труда уменьшается себестоимость единицы выпускаемой продукции и т.п.
Формула расчета коэффициента корреляции
В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул для расчета данного коэффициента. Общая формула для расчета коэффициента корреляции имеет следующий вид:
Формула расчета коэффициента корреляции
Опираясь на математические свойства средней, общую формулу можно представить следующим образом, получив следующее выражение:
Формула расчета линейного коэффициента парной корреляции
Выполняя дальнейшие преобразование, можно получить следующие формулы вычисления коэффициента корреляции Пирсона:
Формула расчета коэффициента корреляции Пирсона
Выполняя вычисление по итоговым данным для расчета показателя корреляции, его можно рассчитать с использованием следующих формул:
Пирсон онлайн
Методом расчета показателя корреляции является вычисление данного показателя с использованием его взаимосвязи с дисперсиями факторного и результативного признаков по следующей формуле:
Формула расчета коэффициента корреляции через дисперсии
Также показатель тесноты связи можно определить на основе его взаимосвязи с показателями уравнения регрессии, используя следующее отношение:
Формула расчета коэффициента корреляции через показатели регрессии
В том случае, когда rxy = 1, то это означает, что все точки (х, у) расположены на прямой и зависимость между х и у относится к функциональным. При указанном условии прямые линии регрессии совпадают. Указанное положение действует также в случае исследования трех и более показателей, если они подчинены закону нормального распределения.
Пример расчета коэффициента корреляции
Приведем пример расчета коэффициента корреляции Пирсона для значений, приведенных в следующей таблице. Для этого используем следующие данные (пример условный):
| Значение показателя X | Значение показателя Y |
|---|---|
| 1,1 | 1,3 |
| 1,9 | 1,1 |
| 1,5 | 1,2 |
| 1,9 | 0,5 |
| 1,9 | 1,5 |
| 1,1 | 1,7 |
| 0,9 | 2 |
| 1 | 0,9 |
| 1,3 | 1,2 |
| 1,5 | 1,7 |
Количество наблюдений менее 30, поэтому в нашем примере для расчета парного коэффициента корреляции используем следующую формулу:
Для этого составим вспомогательную таблицу:
| № п/п | X | Y | xy | x 2 | y 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1,1 | 1,3 | 1,43 | 1,21 | 1,69 |
| 2 | 1,9 | 1,1 | 2,09 | 3,61 | 1,21 |
| 3 | 1,5 | 1,2 | 1,8 | 2,25 | 1,44 |
| 4 | 1,9 | 0,5 | 0,95 | 3,61 | 0,25 |
| 5 | 1,9 | 1,5 | 2,85 | 3,61 | 2,25 |
| 6 | 1,1 | 1,7 | 1,87 | 1,21 | 2,89 |
| 7 | 0,9 | 2 | 1,8 | 0,81 | 4 |
| 8 | 1 | 0,9 | 0,9 | 1 | 0,81 |
| 9 | 1,3 | 1,2 | 1,56 | 1,69 | 1,44 |
| 10 | 1,5 | 1,7 | 2,55 | 2,25 | 2,89 |
| Итого | 14,1 | 13,1 | 17,8 | 21,25 | 18,87 |
Полученное значение коэффициента корреляции Пирсона говорит о наличии обратной связи между X и Y. Величина коэффициента корреляции Пирсона показывает, что связь между X и Y слабая.
Онлайн калькулятор расчета коэффициента корреляции
В заключении приводим небольшой онлайн калькулятор расчета коэффициента корреляции онлайн, используя который, Вы можете самостоятельно выполнить расчет значения коэффициента корреляции Пирсона и получить интерпретацию рассчитанного значения. При заполнении формы калькулятора внимательно соблюдайте размерность полей, что позволит выполнить расчет коэффициента корреляции онлайн быстро и точно. В форме онлайн калькулятора уже содержатся данные условного примера, чтобы пользователь мог посмотреть, как это работает. Для определения значения показателя по своим данным просто внесите их в соответствующие поля формы онлайн калькулятора и нажмите кнопку «Выполнить вычисления». При заполнении формы соблюдайте размерность показателей! Дробные числа записываются с точной, а не запятой!
Онлайн-калькулятор расчета коэффициента корреляции:
