При какой средней скорости молекул температура азота наименьшая
Тема. Решение задач по теме «Скорости газовых молекул. Распределение молекул по скоростям »
На примерах решения задач познакомить учащихся с основными типами задач и методами их решения.
Вспомните основные свойства модели идеального газа. Повторите понятие размера молекул и длины свободного пробега. Выведите формулу для длины свободного пробега. Покажите, что длина свободного пробега зависит от давления, под которым находится газ. Подсчитайте число молекул, находящихся в единице объема при нормальных условиях. Обсудите насколько велико это число.
1. Какие гипотезы положены в основу вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории газа?
2. Как правильно сформулировать вопрос о распределении молекул по скоростям?
3. Какой физический смысл имеет функция распределения молекул по скоростям?
4. Чему равна ограниченная кривой распределения молекул по скоростям площадь?
5. Как изменяются с температурой положение максимума кривой функции распределения молекул по скоростям и его высота?
Примеры решения задач
Задача 1. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул принять равным 
м.
Средняя длина свободного пробега определяется формулой 
, где r – радиус молекулы. Так как d = 2r, то 
, где 
– число молекул в единице объема, Р – давление и Т – температура. Подставляя значение 
в формулу для длины свободного пробега, получим
м.
Ответ: 
м.
Для определения средней длины свободного пробега необходимо знать концентрацию молекул n при данных условиях. Найдем n0. Из уравнения Клапейрона–Менделеева 
следует, что
.
.
И для средней длины свободного пробега l получаем расчетную формулу
м.
Ответ: 
м.
Задача 3. Какое предельное число молекул азота может находиться в сферическом сосуде диаметром D = 1 см, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр молекул азота d = 3,1·10 –10 м.
Для того чтобы столкновений молекул друг с другом не было, необходимо чтобы средняя длина свободного пробега λ была не меньше диаметра сосуда D, то есть λ ≥ D. Известно, что
,
где d – эффективный диаметр молекул азота, n – число молекул в единице объема, то есть концентрация молекул. Зная d, можно найти допустимую концентрацию молекул.
.
Максимальное число молекул в сосуде, объем которого 
, определится следующим образом
.
Ответ: 
.
Задача 4. Азот находится под давлением 
Па при температуре Т = 300 К. Найти относительное число молекул азота, скорости которых лежат в интервале скоростей, отличающихся от наиболее вероятной на Δv = 1 м/с.
Так как интервал скоростей Δv мал, то изменением функции распределения в этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее приближенно постоянной.
.
Подставляем значение наиболее вероятной скорости
;
.
Это и есть решение задачи. Производим вычисления: масса молекулы азота 
кг, постоянная Больцмана 
Дж/К. Подставляя численные значения, получим
.
При подсчете необходимо учесть, что определяется относительное число молекул, отличающихся по скорости от наиболее вероятной в обе стороны, то есть интервал равен Δv = 2 м/с.
Ответ: 
.
Задача 5. Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул v1 = 300 м/с и v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла молекул по скоростям.
Запишем функцию распределения для указанных скоростей. По условию задачи значения функции должны быть одинаковы.
;
;
;
;
.
Масса молекулы азота кг.
Постоянная Больцмана 
Дж/К.
К.
Ответ: = 300 К.
Задача 6. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.
Воспользуемся формулой для определения средней квадратичной скорости
,
где 
— молярная масса газа. Тогда отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах будет равно
,
где
— молярная масса неона, 
— молярная масса гелия. Подставляя численные значения, получим
Ответ: .
Задача 7. Определить: 1) число молекул в 1 мм 3 воды, 2) массу молекулы воды, 3) диаметр молекулы воды, считая условно, что молекулы воды шарообразны и соприкасаются.
Число 
молекул, содержащихся в массе вещества 
равно числу Авогадро 
, умноженному на число молей 
(— молярная масса вещества)
,
где r – плотность, V – объем вещества. После подстановки числовых значений получим
.
Массу m1 одной молекулы можно определить, разделив массу одного моля на число Авогадро:
кг.
Считая, что молекулы соприкасаются, объем, занимаемый одной молекулой 
, где d – диаметр молекулы. Отсюда 
. Так как 
, где 
– объем одного моля, то
м.
Ответ: 
; 
кг; 
м.
Задача 8. Зная, что диаметр молекулы кислорода d = 3·10 –10 м подсчитать, какой длины S получилась бы цепочка из молекул кислорода, находящихся в объеме V = 2 см 2 при давлении Р = 1,01·10 5 Н/м 2 и температуре Т = 300 К, если эти молекулы расположить вплотную в один ряд. Сравнить длину этой цепочки со средним расстоянием от Земли до Луны 
м.
Число молекул кислорода, содержащихся в единице объема, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, равно
,
Число молекул в объеме V будет равно 
. Следовательно, 
м.
Тогда 
.
Ответ: 
м; 
раз.
Из уравнения Клайперона–Менделеева следует: 
. Учитывая, что 
, получаем 
.
Ответ: 
.
Задания для самостоятельной работы
1. В опыте Штерна источник атомов серебра создает пучок, который падает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью ω = 100 рад/с. Определить скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол φ = 0,314 рад от первоначального положения.
Ответ: 
м/с.
Ответ: 
.
3. Определить температуру газа, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Δv = 400 м/с. Масса молекулы водорода т = 3,35·10 –27 кг.
Ответ: 
= 380 К.
4. Вычислить среднее расстояние между центрами молекул идеального газа при нормальных условиях.
Ответ: 
м.
Ответ: 
6. Найти число столкновений z, которые произойдут за 1 с в 1 см 3 кислорода при нормальных условиях. Эффективный радиус молекулы кислорода принять равным
1,5·10 –10 м.
Ответ: 
.
7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при давлении P = 133 Па и температуре t = 27°C.
Ответ: 
м.
8. Доказать, что средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости молекул газа пропорциональны 
, где P – давление газа; ρ – плотность газа.
Ответ: 
.
9. Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число молекул кислорода, соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна 
, во втором – 
. Какой будет эта скорость, если открыть кран, соединяющий сосуды (теплообмен с окружающей средой отсутствует)?
Ответ: 
.
1. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т.3. Строение и свойства вещества – Москва – Санкт-Петербург. Физматлит. Невский диалект. Лаборатория Базовых Знаний, 2001. С. 170-194.
2. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А., Цвецинская Т.С. Задачник по физике – Москва. Физматлит, 2005.
3. Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. Москва-Ростов-на-Дону, Издательский центр «Март», 2004. С. 215-219.
При какой средней скорости молекул температура азота наименьшая
Решение задач по статистической физике. Распределение Максвелла
Задача 1. Найти относительное число молекул идеального газа, скорости которых отличаются не более чем на δ= 1% от значения средней квадратичной скорости. Какова вероятность w того, что скорость молекулы газа лежит в указанном интервале?
Задача 3. С помощью распределения Максвелла найти среднее значение величины обратной скорости молекул идеального газа 1 v при температуре Т, если масса каждой молекулы m0. Сравнить полученную величину с величиной, обратной к средней скорости.
Решение Для определения средней величины обратной скорости используем функцию распределения Максвелла по модулю скорости
Задача 4. Найти отношение числа молекул азота, находящихся при нормальных условиях, модули скорости которых лежат в интервале 1) от 99 м/с до 101 м/с : 2) от 499 м/с до 501 м/с. Молярная масса азота μ= 28*10 –3 кг/моль.
Задача 5. Найти относительное число молекул N идеального газа, скорости которых отличаются не более чем на δ= 1% от значения средней квадратичной скорости. Какова вероятность w того, что скорость молекулы газа лежит в указанном интервале?
Задача 7. Какая часть от общего числа молекул идеального газа имеет скорости а) меньше наиболее вероятной; б) больше наиболее вероятной? Задача 8. Найти относительное число молекул идеального газа, кинетическая энергия которых отличаются от наиболее вероятного значения энергии Ев не более, чем на δ= 1%.
Задача 8. В сосуде находится m = 8 г кислорода при температуре Т = 1600 К. Молярная масса кислорода μ=32* 10 3 кг/моль. Какое число молекул N имеет кинетическую энергию поступательного движения, превышающую Е0 = 2 10 –19 Дж?
4.12 Вычислить среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул идеального газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность ρ = 1 г/л.
4.15 Определить температуру водорода, при которой средняя квадратичная скорость молекул больше их наиболее вероятной скорости на v = 400 м/с. Найти среднюю арифметическую скорость молекул водорода при этой температуре. Молярная масса водорода μ= 2 *10 –3 кг/моль.
4.16 При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота больше их наиболее вероятной скорости на v = 50 м/с? Молярная масса азота μ= 28 *10 –3 кг/моль.
4.17 При какой температуре газа, состоящего из смеси азота и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут отличаться друг от друга на v = 30 м/с. Молярная масса азота μ= 28 *10 –3 кг/моль, молярная масса кислорода μ= 32 10–3 кг/моль.
4.18 Определить температуру кислорода, при которой функция распределения молекул по модулю скорости f(v) будет иметь максимум при скорости vВ = 920 м/с. Найти значения средней арифметической и средней квадратичной скоростей молекул кислорода при этой температуре. Молярная масса кислорода μ= 32 *10–3 кг/моль.
4.19 Найти температуру азота, при которой скоростям молекул v1 = 300 м/c и v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения по модулю скорости f(v). Молярная масса азота μ= 28 10–3 кг/моль.
4.20 Определить скорость молекул аргона, при которой значение функции распределения по модулю скорости f(v) для температуры Т0 = 300 К будет таким же, как и для температуры в n = 5 раз большей. Молярная масса аргона μ= 40 *10–3 кг/моль.
4.22 Смесь кислорода и гелия находится при температуре t = 100 o C. При каком значении скорости молекул значения функции распределения по модулю скорости f(v) будут одинаковы для обоих 86 газов? Молярная масса гелия μ = 4 10–3 кг/моль, молярная масса кислорода μ= 32 10 –3 кг/моль.
4.23 При каком значении скорости v пересекаются кривые распределения Максвелла по модулю скорости для температур Т1 и Т2 = 2Т1? Молярная масса газа известна.
4.24 Найти наиболее вероятную, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул хлора при температуре t = 227 C. Как изменится средняя арифметическая скорость молекул газа при адиабатическом расширении в два раза? Молярная масса хлора μ= 70 10 –3 кг/моль.
4.25 При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна средней квадратичной скорости молекул азота при температуре t = 100 C? Как зависит средняя квадратичная скорость молекул кислорода от давления при адиабатическом сжатии? Молярная масса азота μ = 28 10 –3 кг/моль, молярная масса кислорода 2 = 32 10–3 кг/моль.
4.26 Найти наиболее вероятную скорость, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул гелия при температуре t = 2000С. Как зависит средняя арифметическая скорость молекул гелия от давления при адиабатическом расширении? Молярная масса гелия μ= 4 10 –3 кг/моль.
4.27 Во сколько раз нужно адиабатически расширить идеальный газ, состоящий из двухатомных молекул, чтобы средняя квадратичная скорость молекул уменьшилась в n = 1,5 раза?
