при каком значении знаменателя q сходится следующий геометрический ряд a aq aq2

В 12:35 поступил вопрос в раздел Математический анализ, который вызвал затруднения у обучающегося.

Вопрос вызвавший трудности

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:

Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.

ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!

Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.

Деятельность компании в цифрах:

Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.

Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.

Источник

При каком значении знаменателя q сходится следующий геометрический ряд a aq aq2

Количество вопросов: 146

bn=

n-й коэффициент Фурье bn четной 2p-периодической функции f(x) вычисляется по формуле

n-й коэффициент Фурье аn четной 2p-периодической функции f(x) вычисляется по формуле

аn=

n-й частичной суммой ряда называется

сумма первых n членов ряда

Гармонический ряд имеет вид

1 +

Гармоническим рядом называется ряд

Геометрические ряды и

Геометрический ряд а + aq + aq2 + … сходится, если его знаменатель q

удовлетворяет неравенству |q| 0)

сходится при р > 1 и расходится при р £ 1

Ряд есть разложение в ряд Маклорена функции

sin x на всей числовой прямой

Ряд есть разложение в ряд Маклорена функции

cos x на всей числовой оси

Ряд есть разложение в ряд Маклорена функции

Ряд есть разложение в ряд Маклорена функции

Ряд есть разложение функции

ех на всей числовой прямой

Ряд сходится на промежутке

Ряд сходится на промежутке

Быть богатым в наше время очень накладно. Майкл Харрингтон
ещё >>

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Коэффициент а

Помимо развернутой формы геометрического ряда, существует образующая форма геометрического ряда, записанная как

и замкнутый вид геометрического ряда, записанный как

Сходимость геометрического ряда зависит от значения знаменателя r :

Сумма

Формула закрытого типа

Когда n приближается к бесконечности, абсолютное значение r должно быть меньше единицы, чтобы ряд сходился. Сумма тогда становится

Мы можем доказать, что геометрический ряд сходится, используя формулу суммы для геометрической прогрессии :

Обратите внимание, что

Скорость сходимости

2500 лет назад у греческих математиков была проблема с переходом из одного места в другое. Физически они могли ходить так же хорошо, как мы сегодня, а может, и лучше. Однако логично предположить, что бесконечно длинный список чисел больше нуля суммируется до бесконечности. Таким образом, было парадоксально, когда Зенон Элейский указал, что для того, чтобы пройти из одного места в другое, вы сначала должны пройти половину расстояния, затем вы должны пройти половину оставшегося расстояния, а затем вы должны пройти половину расстояния. оставшегося расстояния, и вы продолжаете уменьшать оставшееся расстояние вдвое бесконечное количество раз, потому что независимо от того, насколько мало оставшееся расстояние, вам все равно придется пройти первую половину. Таким образом, Зенон Элейский преобразовал короткое расстояние в бесконечно длинный список уменьшенных вдвое оставшихся расстояний, все из которых больше нуля. И в этом была проблема: как расстояние может быть коротким при прямом измерении и бесконечным при суммировании по его бесконечному списку половинных остатков? Парадокс показал, что что-то не так с предположением, что бесконечно длинный список чисел больше нуля суммируется до бесконечности.

Евклид Александрийский (около 300 г. до н.э.)

Книга IX Евклида «Элементы геометрии », предложение 35, доказательство (предложения в подписи к соседней диаграмме):

Также в процитированном введении редактор комментирует:

Большинство теорем, содержащихся в Элементах, не были открыты самим Евклидом, а были работой более ранних греческих математиков, таких как Пифагор (и его школа), Гиппократ Хиосский, Теэтет Афинский и Евдокс Книдский. Однако Евклиду обычно приписывают логическое построение этих теорем, чтобы продемонстрировать (правда, не всегда со строгостью, требуемой современной математикой), что они обязательно следуют из пяти простых аксиом. Евклиду также приписывают разработку ряда особенно оригинальных доказательств ранее открытых теорем (например, теоремы 48 в Книге 1).

Вот фразовое толкование предложения:

Точно так же вот интерпретация доказательства предложение за предложением:

Архимед использовал сумму геометрического ряда, чтобы вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой линией. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда утверждает, что общая площадь под параболой составляет 4/3 площади синего треугольника.

Архимед определил, что каждый зеленый треугольник имеет 1/8 площади синего треугольника, каждый желтый треугольник имеет 1/8 площади зеленого треугольника и так далее.

Предполагая, что синий треугольник имеет площадь 1, общая площадь представляет собой бесконечную сумму:

Это геометрический ряд с знаменателем 1/4, а дробная часть равна

Приложения

Повторяющиеся десятичные дроби

Повторяющуюся десятичную дробь можно представить себе как геометрический ряд с общим отношением, равным степени 1/10. Например:

Формулу суммы геометрического ряда можно использовать для преобразования десятичной дроби в дробь,

Формула работает не только для одной повторяющейся фигуры, но и для повторяющейся группы фигур. Например:

Обратите внимание, что каждую серию повторяющихся последовательных десятичных знаков можно удобно упростить следующим образом:

Экономика

что представляет собой бесконечную серию:

Фрактальная геометрия

Например, область внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного множества равносторонних треугольников (см. Рисунок). Каждая сторона зеленого треугольника составляет ровно 1/3 размера стороны большого синего треугольника и, следовательно, имеет ровно 1/9 площади. Точно так же каждый желтый треугольник имеет 1/9 площади зеленого треугольника и так далее. Принимая синий треугольник за единицу площади, общая площадь снежинки равна

Таким образом, снежинка Коха занимает 8/5 площади основного треугольника.

Геометрический степенной ряд

Формула геометрического ряда

Источник

Брошюра по теме:Ряды» по дисциплине «Элементы высшей математики» для ССУЗов

Министерство образования Республики Коми

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Республики Коми

“ Воркутинский политехнический техникум”

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

для специальностей среднего профессионального образования

Печатается по решению методического совета ГАОУСПО РК «Воркутинского политехнического техникума»

Составитель: Ризванова Н.А., преподаватель математики ГАОУСПО РК ВПТ, высшая квалификационная категория

ГАОУСПО РК «Воркутинский

политехнический техникум», 2012 г.

Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимый признак сходи-мости ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Пискунов, Н. С. Дифференциальные и интегральные исчисления [Текст] : в 2 т / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2007. (Гриф МО РФ)

1.1. Определение ряда. Сходимость. Сумма ряда. Примеры

Это рассуждение было известно еще древним грекам, и философ Зенон, известный нам своими парадоксами (апориями), сохранившимися в трудах других писателей, оспаривал его законность. [Зенон Элейский (ок. 490 г. до н.э.) был последователем философа элейской школы Парменида, учившего, что бытие в своей сущности неизменно. Парадоксы Зенона можно интерпретировать как попытку доказать иллюзорность движения].

Один из парадоксов (“Быстроногий Ахиллес не догонит черепаху”) утверждает, что бегущий человек никогда не сможет достичь цели, поскольку он должен сначала пробежать половину требуемой дистанции, затем половину оставшейся части дистанции, затем снова половину оставшейся части и т.д. Таким образом, он должен пробежать бесконечное множество расстояний, а это будет продолжаться вечно.

Конечно, Зенон видел бегунов, достигавших финиша, поэтому нам остается лишь догадываться, что он хотел сказать этим и другими своими парадоксами. Но если Зенон имел в виду, что сложение бесконечного множества чисел нельзя трактовать как процесс, аналогичный сложению конечного числа их, то он был, разумеется, прав.

Если бы мы попытались вычислить сумму (1), последовательно выполняя все указанные в ней сложения, то это, конечно, никогда бы не окончилось. И все же мы чувствуем, что равенство (1) в некотором смысле верно. В чем же заключается его точный смысл?

Вычислим сумму n первых членов левой части, пользуясь формулой для суммы членов геометрической прогрессии. Имеем

1 + + + + … + = = .

Таким образом, разность между суммой n первых членов левой части (1) и числом 2 есть число, предел которого равен нулю Можно рассматривать формулу (1) как сокращенную запись только что сделанного утверждения.

Приведем пример того, что с бесконечными суммами надо обращаться не так, как с конечными. Обозначим через S бесконечную сумму

содержит те же члены, что и (2), и, по-видимому, должна иметь ту же сумму S. Но, с другой стороны, из (2) следует, что

Запишем (2) и только что полученное соотношение рядом друг с другом

и затем сложим их. Получаем

Каково же истинное значение суммы (2): S или S? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо дать точное определение суммы в случае бесконечного числа слагаемых.

Числовым рядом называется выражение

Числа а₁, а₂, …, а_n, … называются членами ряда, в частности а₁ – первый член ряда, а₂ – второй член ряда, а_n – n-й или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда а_n как функция его номера: а_n = f(n).

Приведем несколько примеров рядов:

1 + + + + … + +… общий член ряда а_n = ; (5)

3 + 12 + 48 + … + 3 4 n–1 + … общий член ряда а_n = 3 4 n–1 ; (6)

1 – 1 + 1 – 1 + … + (–1) n–1 + … общий член ряда а_n = (–1) n–1 ; (7)

1+ 1 + 1 + … + 1 + … общий член ряда а_n = 1. (8)

В дальнейшем мы часто будем записывать ряды в более компактном виде, используя символ (греческая буква “сигма”):

…

Например, первый из написанных выше рядов можно записать в виде

Введем суммы конечного числа членов ряда

Сумма S_n первых n членов ряда называется n-й частичной (частной) суммой ряда (4). Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм при неограниченном возрастании номера n, т.е.

Замечание. Для исследования сходимости последовательности n> можно использовать ранее доказанные критерии сходимости последовательности.

Предел последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой числового ряда. Если число S является суммой сходящегося ряда а₁ + а₂ + … + а_n + …, то пишут

Если конечный предел последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Пример 1. Найти сумму ряда

(9)

Решение. n-я частичная сумма ряда равна

Таким образом, данный ряд (9) сходится и сумма его равна 1.

Пример 2. Исследовать сходимость геометрического ряда, т.е. ряда, члены которого составляют геометрическую прогрессию

а + aq + aq 2 + … + aq n–1 + … = . (10)

Постоянное число а 0 называется первым членом прогрессии, а множитель q – знаменателем прогрессии.

Решение. Выясним, при каких значениях q геометрический ряд (10) сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии равна (при q 1)

Возможны следующие случаи:

1. Если |q| n 0 при n и

(11)

Таким образом, при |q|

2. Если |q| > 1, то q n и

Следовательно, в этом случае ряд расходится.

3. Если q = 1, то ряд (10) имеет вид

и для него S_n = n а и при а 0 , т.е. ряд расходится.

4. Если q = –1, то ряд (10) примет вид

а – а + а – а + … + (–1) n–1 а + …

и в этом случае S_n = 0 при четном n и S_n = а при n нечетном. Значит, при а 0 предел не существует и ряд расходится.

Например, в силу установленного правила рассмотренный выше ряд (5) сходится, а ряды (6)-(8) расходятся.

Пример 3. Показать, что ряд

Решение. Этот ряд является геометрическим рядом с q = 0,25 = 1/4. Поэтому его сумма равна:

Отметим связь между геометрическим рядом и разложением действительного числа в десятичную дробь. Например, дробь 0,333333… определяется следующим образом

0,333333 … =

Геометрический ряд позволяет выразить произвольную периодическую десятичную дробь как рациональное число. Например,

0,3232… =

Замечание. Начальный индекс суммирования не обязательно должен начинаться с 1, иногда удобно рассматривать с индекса n = m (m = 0, 1, 2, …):

Установим простейшие свойства сходящихся рядов.

Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из определения суммы ряда и свойств пределов числовых последовательностей.

Например, для частичных сумм последнего ряда имеем

где S_n и – частичные суммы рядов (12) и (13) соответственно.

3. Если ряд (4) сходится, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием (или приписыванием) конечного числа членов.

Доказательство. Пусть в сходящемся ряде

отброшено k членов:

Обозначим через S _n сумму n первых членов ряда (14), через S _k – сумму k отброшенных членов ( k n ) и через t _{n – k} = a _{k +1} + a _{k +2} + … + a_n. Тогда

причем S_k – некоторое число, не зависящее от n. Отсюда следует, что при фиксированном k конечный предел существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел Это и означает, что ряд (15) сходится. Свойство доказано.

1. Конечно, если отбросить конечное число членов сходящегося ряда, то сумма его меняется.

2. В принципе можно отбрасывать члены с любыми номерами, лишь бы их было конечное число.

3. Ряд, полученный из данного отбрасыванием его первых n членов, называется n-м остатком числового ряда, т.е.

(16)

4. Для того чтобы ряд (4) сходился, необходимо и достаточно, чтобы

Действительно, если ряд (4) сходится и сумма его равна S, то

Поэтому, если , то , и обратно, если , то .

5. В дальнейшем нас будет интересовать вопрос – сходится данный ряд или расходится, а не вычисление суммы ряда.

Выяснение сходимости (или расходимости) ряда путем вычисления обычно приводит к принципиальным сложностям.

Поэтому задача будет ставиться следующим образом: найти эффективные условия для общего члена ряда, при которых данный ряд сходится или расходится.

1.2. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

(1)

Доказательство. Обозначим через S сумму данного сходящегося ряда

= S.

Рассмотрим его частичные суммы

Так как и , то получаем необходимый признак сходимости ряда

,

т.е. если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю при n ∞, что и требовалось доказать.

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю, т.е. то ряд расходится.

Доказательство. Действительно, если бы данный ряд сходился, то по утверждению теоремы его общий член должен был бы стремиться к нулю, что противоречит условию теоремы. Это противоречие и доказывает утверждение.

2 5 + 2 5 2 + … + 2 5 n + …

Так как пределы их общих членов

не равны нулю, то данные ряды расходятся.

Замечание. Условие (1) является необходимым для сходимости числового ряда, но не является достаточным. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых

Пример 1 (гармонический ряд). Рассмотрим ряд

(2)

у которого каждый член является средним гармоническим для двух соседних членов.

.

Покажем, что гармонический ряд является расходящимся.

Для доказательства (3) отметим, что:

;

;

В общем случае разобьем слагаемые в на группы и затем подставим наименьшее значение в каждой группе. Тогда получим, что сумма в каждой группе равна 1/2:

Поскольку отсюда следует неограниченность частичных сумм гармони-ческого ряда, значит,

Замечание. В дальнейшем мы покажем (см. интегральный признак сходимости), что следующий ряд (обобщенный гармонический ряд)

(4)

1.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

(1)

у которого все члены положительны а_n > 0 (n = 1, 2, …). Такие ряды будут называться знакополо-жительными.

Сформулируем следующее предложение из теории пределов.

Лемма 1 (о пределе монотонной последовательности). Если числовая последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел.

Переходя к достаточным признакам сходимости, предварительно докажем следующее утверждение, которое будет использовано в дальнейшем.

Лемма 2. Для того чтобы знакоположительный ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Необходимость. Пусть ряд (1) сходится. По определению последовательность его частичных сумм имеет предел. Но если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Достаточность. Прежде всего отметим, что так как все члены ряда (1) положительны, то последовательность его частичных сумм является возрастающей

В силу леммы 1 последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел и, значит, ряд сходится.

Рассмотрим некоторые наиболее часто используемые признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Теорема 1 (признак сравнения). Даны два знакоположительных ряда:

Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если сходится ряд (3), то сходится и ряд (2);

2) если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3).

Доказательство. Обозначим через S_n и частичные суммы рядов (2) и (3) соответственно. Из неравенства (4) следует оценка S_n (n = 1, 2, …).

Докажем утверждения теоремы.

2. Ряд (2) расходится и частичные суммы его возрастают, поэтому Значит, и, следовательно, ряд (3) расходится.

1. Ряд (3) называется мажорантным рядом по отношению к ряду (2).

2. Для применения признака сравнения необходимо иметь стандартный набор сходящихся и расходящихся рядов. В нашем случае можно использовать, например, геометрический ряд, гармонический ряд и обобщенный гармонический ряд.

Решение. Геометрический ряд сходится (). Поэтому сходимость исходного ряда следует из признака сравнения и неравенства (для n 1).

Пример 2. Показать, что ряд расходится.

Решение. Расходимость исходного ряда вытекает из расходимости гармонического ряда и неравенства (n 1), если воспользоваться признаком сравнения.

Теорема 2 (предельный признак сравнения). Предположим, что для рядов с положи-тельными членами (2) и (3) выполняется предельное соотношение , где К – положительное число.

Тогда эти ряды ведут себя одинаково, т.е.:

а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (3);

б) если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3).

Доказательство. Поскольку , то существует натуральное число N такое, что при n N. Отсюда Следовательно, и для n N. Из этих неравенств и признака сравнения следует, что если ряд сходится, то сходятся и ряды , ,

Аналогично, если то и

Пример 3. Показать, что ряд сходится.

В силу пункта а) доказанной теоремы получим сходимость исходного ряда.

Пример 4. Показать, что ряд расходится.

Решение. Действительно, сравним с гармоническим рядом В силу пункта б) доказанной теоремы получаем расходимость исходного ряда.

Применение признаков сравнения иногда бывает затруднительно ввиду необходимости составлять вспомогательный ряд с известным поведением. Не существует универсальных рядов,
с помощью которых можно судить о сходимости и расходимости конкретного ряда.

Поэтому мы рассмотрим ряд достаточных условий, позволяющих исследовать поведение ряда в зависимости от скорости стремления общего члена к нулю.

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть для знакоположительного ряда (2) существует предел отношения последующего члена к предыдущему

(возможно и бесконечность), тогда:

б) если d > 1, то ряд (2) расходится;

в) если d = 1, то данный признак не дает ответа: ряд (2) может как сходиться, так и расходиться, требуется дополнительное исследование.

а. Пусть d >0 можно подобрать натуральное число N (зависящее от ) так, что выполняется

(n N).

или (n N).

Рассмотрим два ряда :

Ряд (6) является геометрическим со знаменателем q

б. Пусть теперь d > 1. Покажем, что ряд расходится. Так как то при достаточно больших n N, поэтому а_n+1 > а_n (n N), члены ряда возрастают и необходимое условие сходимости ряда не выполняется. Следовательно, в силу следствия из необходимого условия данный ряд (2) расходится.

в. Проиллюстрируем на примерах, что в случае в) ряд (2) может как сходиться, так и расходиться.

Действительно, ряд расходится, для него

ряд сходится (это обобщенный гармонический ряд при р = 2), но для него

Пример 5. Показать, что ряд расходится.

Осталось применить признак Даламбера, так как d = 3>1.

Пример 6. Показать, что ряд сходится.

Решение. Напомним, что n! (n – факториал) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n : n! = 1 2… n и справедливо (n+1)! = (n+1)n!. Поэтому

Отсюда вытекает сходимость данного ряда.

1. Признак Даламбера обычно применяют, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

2. Отношение называют вариантой Даламбера.

Теорема 4 (радикальный признак Коши). Пусть для знакоположительного ряда (2) сущест-вует предел (может быть и бесконечность), тогда:

б) если > 1, то ряд (2) расходится;

в) если = 1, то ничего определенного сказать нельзя – ряд может как сходиться, так и расходиться.

Пример 7. Показать, что ряд сходится.

Решение. Вычислим Так как то исходный ряд сходится по доказанной теореме.

Пример 8. Показать, что ряд расходится.

Решение. Действительно, в этом случае

Замечание. Радикальный признак Коши “сильнее” признака Даламбера: если применим признак Даламбера, то поведение ряда исследуется и с помощью радикального признака Коши.
С другой стороны, существуют ряды, о сходимости или расходимости которых можно судить по признаку Коши, но признак Даламбера приводит к случаю в).

Приведем следующий эффективный признак, опирающийся на понятие несобственного интеграла.

Теорема 5 (интегральный признак Коши-Маклорена). Пусть члены знакоположительного ряда (2) являются значениями при х = 1, 2, …, n, … некоторой положительной, непрерывной и убывающей на промежутке [1, ) функции f(х):

а) если сходится несобственный интеграл , то сходится и ряд (2);

б) если расходится, то ряд (2) также расходится.

Замечание. Функция f(х) называется порождающей для ряда (2).

Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции у = f(х) с основанием от х = 1 до х = n.

Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из вписанных и описанных прямоугольников, основаниями которых служат промежутки [1, 2],
[2, 3], [3, 4], …

Высотами прямоугольников вписанной фигуры служат функции f(2), f(3), …, f(n), а высотами прямоугольников описанной фигуры – значения f(1), f(2), …, f(n – 1) (рис. 1).

Как видно из рисунка, площадь криволинейной трапеции, выражаемая интегралом , заключается между площадями вписанной и описанной ступенчатых фигур. Поэтому

f(2) 1+ f(3) 1+ … + f(n) 1 1+ f(2) 1+ … + f(n – 1) 1

S_n > а_n + . (8)

а. Докажем первую часть теоремы. Пусть несобственный интеграл сходится. Тогда Так как f(х)>0, Из неравенства (7) следует S_n

б. Пусть несобственный интеграл расходится. В этом случае

Поэтому из неравенства (8) следует, что последовательность частичных сумм ряда (2) является неограниченной, следовательно, исходный ряд (2) расходится.

Следствие. Обобщенный гармонический ряд

сходится тогда и только тогда, когда р > 1.

Доказательство. Так как при р 0 не выполняется необходимое условие, то мы рассмотрим случай р > 0. При этом порождающая функция f(х) = (1 х ) является положительной, монотонно убывающей функцией.

Исследуем сходимость несобственного интеграла при различных значениях р.

Так как равен нулю при р>1 и равен бесконечности при р 1, и осталось применить интегральный признак.

Замечание. Доказанный признак не дает возможность вычислять сумму сходящегося обобщенного гармонического ряда. В середине XVIII столетия Л.Эйлер доказал, что

(9)

Пример 9. Показать, что ряд расходится.

Решение. В этом случае полагаем f(х) = для х 2. Тогда f(х) непрерывна, убывает на [2, ) и f(n) = для n 2.

Таким образом, несобственный интеграл расходится. Следовательно, по интеграль-ному признаку данный ряд также расходится.

1.4. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

До сих пор мы рассматривали ряды с положительными членами. Рассмотрим теперь знакоче-редующиеся ряды, члены которых поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки. Такие ряды удобно записывать в виде

а₁ – а₂ + а₃ – а₄ + … + (–1) n+1 а_n + … = , (1)

где а_n > 0, n = 1, 2, … (конечно, можно начинать и с отрицательного члена).

Докажем следующее утверждение, дающее достаточное условие сходимости таких рядов.

Теорема. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине

и стремятся к нулю

, (3)

то ряд (1) сходится и сумма его не превосходит первого члена.

Доказательство. Рассмотрим четную частичную сумму S_2m ряда (1)

Так как ввиду (2) каждая скобка положительна, то последовательность S_2m монотонно возрастает. С другой стороны, переписав ее в виде

видим, что S_2m ограничена сверху

В силу утверждения о пределе монотонной последовательности (лемма 1 §1.3) частичная
сумма S_2m имеет конечный предел

(4)

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного порядка

Итак, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов имеют общий предел S.

Отсюда следует, что число S будет суммой ряда (1). Вторая часть утверждения следует из неравенства (4).

Следствие (оценка остатка знакочередующегося ряда). Остаток знакочередующегося
ряда (2) по абсолютной величине не превосходит модуля первого из отброшенных членов.

Действительно, остаток ряда (1)

является знакочередующимся рядом и, следовательно, его сумма в силу теоремы по абсолютной величине меньше первого члена а_n+1: |r_n| а_n+1.

Простейшими примерами знакочередующихся рядов, известными еще Лейбницу, являются следующие ряды.

. (5)

. (6)

Пример 3. Вычислить сумму ряда с ошибкой меньше 0,001.

Решение. Найдем значение n, для которого а_n+1 0,001, тогда в силу следствия частичные суммы S_n будут приближать сумму ряда S с точностью Так как , то надо найти n такое, что Беря n = 10, находим, что Тогда требуемое приближение равно

Замечание. Если в случае знакоположительных рядов сходимость ряда вытекала из ограниченности частичных сумм, то сходимость знакочередующихся рядов следует из наложения положительных и отрицательных членов.

1.5. Сходимость произвольных рядов

Изучим вопрос о сходимости рядов

(1)

члены которых могут иметь произвольные знаки.

Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем таких рядов.

Докажем следующий признак сходимости рядов (1), сводящий исследование сходимости
ряда (1) к изучению ряда с положительными членами.

Теорема (достаточный признак сходимости числового ряда). Пусть дан ряд (1) с членами произвольных знаков. Если сходится ряд

(2)

составленный из абсолютных величин его членов, то сходится и данный ряд (1).

Доказательство. Обозначим через S_n и _n суммы первых n членов рядов (1) и (2). Пусть – сумма всех положительных, а – сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых n членов ряда (1), тогда

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

, (3)

(4)

(5)

Члены ряда (4) не больше соответствующих членов ряда (5). Но ряд (5) сходится. Значит,
ряд (4) также сходится, и в силу доказанной теоремы ряд (3) сходится.

Доказанный признак сходимости произвольного ряда является лишь достаточным, но не необходимым: существуют ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин членов ряда, расходятся.

Пример 2. Знакочередующийся ряд (5) из §4 сходится, а ряд из абсолютных величин (гармонический ряд) – расходится.

Пример 3. Знакочередующийся ряд (6) из §1.4 сходится, а ряд из абсолютных величин расходится. Действительно, это непосредственно вытекает из неравенства , теоремы сравнения и расходимости гармонического ряда.

Если ряд (1) сходится вместе с рядом, составленным из абсолютных величин его членов, то говорят, что ряд (1) сходится абсолютно (признак абсолютно сходящегося ряда).

Из доказанной теоремы вытекает, что одной сходимости ряда (2) уже достаточно для абсолютной сходимости ряда (1).

Если ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда, расходится, то данный ряд (1) называется условно сходящимся (неабсолютно сходящимся).

Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можно сказать, что ряд (3) является абсолютно сходящимся, а ряды (5) и (6) из §1.4 будут условно сходящимися.

С абсолютно сходящимися рядами можно оперировать как с конечными суммами. Например, имеет место следующее свойство.

Сумма абсолютного сходящегося ряда не меняется при любой перестановке его членов.

Это переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Оно не сохраняется для условно сходящихся рядов.

Пример 4. Обозначим через S сумму условно сходящегося ряда

Как показано в §1.1, перестановкой членов этого ряда можно добиться изменения его суммы. Имеет место следующая теорема.

Теорема Римана. Если ряд (1) условно сходится, то какое бы ни взять наперед число А (конечное или равное + ), можно так переставить члены в этом ряду, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно А.

Замечание. Обращение с рядами требует известной осторожности. Приведем следующий пример.

Пример 5. Найти ошибку в рассуждениях.

Обозначим а = 1 + 2 + 4 + 8 + …

Тогда 2а = 2 + 4 + 8 + 16 + … = (1 + 2 + 4 + 8 + …) – 1 = а – 1.

Поэтому а = –1, что абсурдно.

2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА

2.1. Функциональные ряды

u ₁(х) + u ₂( x ) + … + u _n ( x ) + … = (1)

называется функциональным, если члены его являются функциями от переменной х. Давая переменной х определенные числовые значения, получаем сходящиеся или расходящиеся числовые ряды.

Если в точке х₀ ряд u₁(х₀) + u₂(x₀) + … + u_n(x₀) + … = сходится, то точка х₀ называется точкой сходимости ряда (1). Если этот ряд расходится, то х₀ – точка расходимости ряда (1).

Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Областью сходимости функциональных рядов часто бывает какой-нибудь промежуток числовой оси.

1 + х + х 2 + … + х n + … = (2)

сходится в интервале (–1, 1), так как при любом |х| 1 этот ряд расходится. Следовательно, область сходимости ряда (2) есть интервал (–1, 1).

Сумма функционального ряда является некоторой функцией от х, определенной в области сходимости. Обозначим ее через S(х).

Так, в приведенном примере сумма ряда равна

(–1

Обозначим через S_n(х) – n-ю частичную сумму ряда (1), а через r_n(х) остаток ряда.

Если ряд сходится при некотором значении х, то

Как известно, сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Кроме того, производная и интеграл от суммы конечного числа функций равны соответственно сумме производных и интегралов от этих функций. Возникает вопрос: переносятся ли данные свойства на суммы бесконечного числа функций, т.е. на функциональные ряды?

Покажем на примере, что для произвольных функциональных рядов эти свойства могут оказаться несправедливыми.

.

При х = 0 все члены ряда равны нулю и сумма его равна нулю. При х 0 ряд представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию со знаменателем Сумма ряда равна (см. §1.1)

Таким образом, сумма ряда, состоящего из непрерывных функций, оказалась разрывной функцией. Она имеет разрыв в точке х = 0 : S(х) = 1 (х 0) и S(0) = 0.

Сейчас мы выделим класс функциональных рядов, для которых справедливы утверждения о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости.

Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в области D, если для любого числа > 0 можно указать такое число N, зависящее от и не зависящее от х, что при всех номерах n N неравенство |r_n(х)| справедливо для всех точек D.

Поясним вкратце смысл данного определения. Пусть в точке х₁ ряд сходится. Тогда для остатка ряда выполняется

Рассмотрим геометрический смысл введенного понятия. Если S(х) – сумма равномерно сходящегося ряда (1), а S_n(х) – его частичные суммы, то по определению для заданного > 0 существует номер N такой, что для всех х и n N выполняется условие

т.е. частичные суммы S_n(х) (n N) все лежат в полосе: S(х) – (рис. 2).

Приведем простой, но эффективный признак равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области D неравенствам

где а_n – члены некоторого сходящегося знакоположительного ряда

, (5)

то ряд (1) сходится равномерно в D.

Доказательство. По определению сходимости числового ряда (5) для любого > 0 можно указать такое число N = N( ), что при всех n N справедливо неравенство . Тогда для остатка функционального ряда (1) получаем оценку .

При n N, где N = N( ) зависит лишь от > 0, отсюда по определению и следует равномерная сходимость ряда (1).

Пример 3. Тригонометрические ряды

(6)

(7)

сходятся равномерно в любом интервале числовой оси, так как |cos nx| 1, |sin nx| 1 и ряд сходится.

Замечание. Ряды, для которых выполняются условия теоремы Вейерштрасса, называются правильно сходящимися.

Теорема 2. Если члены равномерно сходящегося в D функционального ряда (1) непрерывны, то:

– сумма ряда (1) также непрерывна на D;

– ряд (1) можно интегрировать почленно.

Последнее утверждение состоит в том, что если a и b – любые две точки из D,
то

(8)

и ряд, составленный из производных , правильно сходятся в любом интервале числовой оси, так как они мажорируются соответственно сходящимися числовыми рядами , (обобщенные гармонические ряды при р = 3 и р = 2). Следовательно, сумма ряда (8) непрерывна на всей числовой оси, и этот ряд можно дифференцировать и интегрировать при всех х.

В настоящем курсе будут рассмотрены только важнейшие классы функциональных рядов: степенные и тригонометрические.

а₀ + а₁х + а₂х 2 + … + a_nx n + … = (1)

называется степенным рядом.

Нас будет интересовать нахождение области сходимости степенного ряда.

Отметим, прежде всего, что степенной ряд (1) сходится в точке 0.

Докажем важную теорему Абеля, на которой основано изучение области сходимости рядов (1).

а. Если степенной ряд (1) сходится в точке х₀ 0, то он сходится, и притом абсолютно,
в интервале (–|х₀|, |х₀|), т.е. при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|

б. Если степенной ряд (1) расходится при х = х₁, то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной величине, чем |х₁|, т.е. при |х| > |х₁|.

Доказательство. Отметим, что в силу сходимости числового ряда его общий член стремится к нулю (необходимое условие) ; поэтому все члены этого ряда ограничены,
т.е. существует такое постоянное положительное число М, что при всяком n имеет место оценка

Запишем ряд (1) в виде

и составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

В силу установленного выше неравенства данный ряд мажорируется геометрическим
рядом со знаменателем q =

Второе утверждение непосредственно вытекает из первой части. Действительно, если бы ряд (1) сходился при |х| > |х₁|, то в силу доказанной части а) он абсолютно сходился бы и при всех меньших по абсолютной величине значениях х, в частности, при х = х₁, что противоречит условию. Теорема Абеля полностью доказана.

Теорема Абеля показывает, что все точки сходимости степенного ряда (1) расположены ближе к началу координат, чем точки расходимости.

Кроме того, при исследовании сходимости степенных рядов можно воспользоваться одним из признаков сходимости знакоположительных числовых рядов (например, признаком Даламбера), так как выясняется абсолютная сходимость ряда.

Для степенного ряда (1) имеют место следующие утверждения:

а) область сходимости ряда (1) состоит только из одной точки х = 0, т.е. ряд расходится для всех значений х 0;

б) область сходимости ряда (1) состоит из всех точек оси Ох, т.е. ряд сходится при всех х;

в) область сходимости состоит больше, чем из одной точки, причем на числовой оси имеются как точки сходимости, так и точки расходимости. В этом случае существует такое положительное число R, что для всех х, по модулю меньших R(|х|

Проиллюстрируем эти утверждения на примерах.

Пример 1. (напомним, что 0! = 1).

Если х 0, то

По признаку Даламбера данный ряд расходится при всех х 0.

Пример 2. Рассмотрим ряд

.

Если х 0, то

По признаку Даламбера данный ряд сходится при всех х.

В силу необходимого условия сходимости ряда отсюда вытекает следующее соотношение

(– ). (2)

Пример 3. Рассмотренный в §2.1 ряд 1 + х + х 2 + х 3 + … = сходится к при |х| 1.

Совокупность всех х, при которых степенной ряд (1) сходится, назовем интервалом сходимости ряда.

Областью сходимости степенного ряда (1) является интервал (–R, R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть добавлены концевые точки R, –R.

Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда

. (3)

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда .

С помощью признака Даламбера получим

Таким образом, ряд (3) абсолютно сходится при |х| 1. Радиус сходимости ряда R=1. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках х = 1 и х = –1.

Подставляя в ряд (3) значение х = 1, получаем расходящийся гармонический ряд.

В точке х = –1 получим знакочередующийся ряд

,

который сходится на основании признака Лейбница.

Таким образом, областью сходимости ряда (3) является промежуток [–1, 1).

Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда. Пусть задан ряд (1)
а₀ + а₁х + а₂х 2 + … + а_nх n + … и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов |а₀|+ |а₁||х| +|а₂||х| 2 + … + |а_n||х| n + …

Для определения интервала сходимости данного знакоположительного ряда применим признак Даламбера

.

По признаку Даламбера ряд (1) сходится абсолютно при и расходится при
(так как расходимость ряда в данном случае есть нарушение необходимого условия).

Итак, интервал есть интервал сходимости степенного ряда (1), т.е.

Замечание. При нахождении интервала сходимости редко пользуются последней формулой,
а обычно непосредственно применяют признак Даламбера. Если ряд (1) содержит бесчисленное множество коэффициентов, равных нулю, то отношение не имеет предела, и формулу для радиуса сходимости применять нельзя.

Выясним свойства степенных рядов.

Чтобы применить к степенным рядам результаты §2.1, докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть степенной ряд а₀ + а₁х + а₂х 2 + … + а_nx n + … = имеет интервал сходимости (–R,R), тогда он равномерно сходится внутри интервала сходимости, т.е. ряд равномерно сходится на любом промежутке [–r,r], где 0

Доказательство. Пусть х = r. Так как степенной ряд сходится абсолютно в любой точке интервала сходимости, то сходится ряд

Теорема 3 (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости.

Доказательство. Пусть х₀ (–R,R). Тогда существует число 0 [–r,r].
По теореме 2 ряд (1) равномерно сходится в [–r,r]. Поэтому на основании теоремы 2 §1 его сумма непрерывна в любой точке из [–r, r], в частности, в точке х₀.

Замечание. Если степенной ряд (1) имеет интервал сходимости (–R,R) и сходится на границе (например, при х = R), то сумма ряда непрерывна в точке сходимости (в точке х = R).

Теорема 4 (о дифференцировании степенного ряда). Степенной ряд (1) можно дифферен-цировать почленно в любой точке его интервала сходимости. При этом полученный ряд

имеет тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.

Доказательство. Применяя признак Даламбера к рядам, составленным из абсолютных величин рядов (1) и (5), и предполагая при этом, что существует, легко убедиться, что ряды (1) и (5) имеют одинаковый интервал сходимости.

Пусть х₀ – произвольная точка интервала сходимости. Рассмотрим промежуток [–r, r] (r

Следовательно, на основании теоремы 2 предыдущего параграфа его сумма равна производной от суммы данного ряда.

Следствие. Если степенной ряд (1) сходится в интервале (–R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую в интервале сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз.

Говорят, что сумма степенного ряда бесконечно дифференцируема в интервале сходимости.

Аналогичными рассуждениями можно доказать следующее утверждение.

Теорема 5 (об интегрировании степенного ряда). Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать в интервале сходимости, т.е. если х₁ и х₂ – точки, принадлежащие интервалу сходимости, то

При этом полученный ряд имеет тот же интервал сходимости (–R, R).

Следствие. Для любого х (–R, R) имеет место формула

. (6)

Теоремы 4 и 5 являются важным инструментом, используемым для разложения многих функций в степенные ряды.

Пример 5. Показать, что логарифмический ряд

. (7)

Решение. Воспользуемся соотношением (3) §1

1 + х + х 2 + … + х n + … = (–1

Заменим в этом отношении х = –t, получим

(–1

Используя (6), находим

Отметим, что в силу сходимости полученного ряда в точке х₀ = 1 и замечания к теореме 3 его сумма непрерывна в точке х₀ = 1 и потому

.

Мы рассмотрели степенные ряды вида (1), расположенные по степеням х.

Если исключить всюду расходящиеся (кроме точки 0) ряды, то для каждого такого ряда существует промежуток сходимости с центром в точке х=0 от –R до R, где R – радиус сходимости. Концы этого промежутка включаются или нет, смотря по случаю.

Рассматривают и степенные ряды более общего вида

расположенные по степеням двучлена х – х₀ (вместо х). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (1), ибо приводится к нему простой заменой х – х₀ = у с точностью до обозначения переменной.

Для этого ряда, если он не будет всюду расходящимся (кроме точки х₀), также существует промежуток сходимости, но на этот раз с центром в точке х₀: от х₀ – R до х₀ + R.

Концы его, как и в случае ряда (1), могут принадлежать, но могут и не принадлежать области сходимости.

Все свойства, указанные в теоремах 1-4, сохраняются (с соответствующими изменениями).
В частности, такие степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз в интервале сходимости, причем полученные ряды имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.

Пример 6. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда , и применим к нему признак Даламбера

Имеем

И, следовательно, интервал сходимости есть (–1, 5), а радиус сходимости R = 3. Исследуем данный ряд на концах интервала сходимости. В точке х₀ = 1 получаем расходящийся
ряд

Аналогично в точке х₀ = 5 ряд расходится

Перейдем теперь к рассмотрению следующей задачи.

Пусть задана функция f(х). Когда можно утверждать, что она является суммой некоторого степенного ряда? Из свойств степенных рядов следует прежде всего то, что эта функция должна быть бесконечно дифференцируема.

Оказывается, что это условие не является достаточным.

В дальнейшем, если заданную функцию f(х) можно представить в виде суммы степенного ряда, то будем говорить, что функция f(x) разложена в степенной ряд, а f(x) – порождающая функция.

Важность такого разложения видна хотя бы из того, что мы получаем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда, т.е. многочленом. При этом вычисление значения функции сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические операции. Кроме того, мы сможем оценить точность получаемых приближенных значений. Замена функции таким простым выражением, как многочлен, оказывается удобной в ряде задач математического анализа. Например, при вычислении определенных интегралов.

Пусть функция f(х) является суммой степенного ряда

интервал сходимости которого (х₀ – R₁, х₀ + R).

Вычислим коэффициенты этого ряда. В интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать почленно любое число раз, причем полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости (х₀ – R, х₀ + R) (следствие из теоремы 4 предыдущего параграфа).

Последовательно дифференцируя ряд (1), получим следующие тождества, справедливые при всех х их интервала сходимости:

Положим в полученных равенствах х = х₀, имеем:

Отсюда находим коэффициенты степенного ряда:

Подставляя найденные выражения в равенство (1), получим ряд

Итак, если функция f(х) разлагается в степенной ряд по степеням х – х₀, то этот ряд имеет следующий вид:

(2)

Полученный ряд называется рядом Тейлора функции f(х), а его коэффициенты – коэффициентами Тейлора функции f(х) в точке х₀.

В частном случае, при х₀ = 0, ряд (2) принимает вид

(3)

и называется рядом Маклорена функции f(х).

Таким образом, установлено следующее утверждение.

Теорема 1. Если функция f(x) разлагается в степенной ряд по степени х – х₀, то этот ряд обязательно является ее рядом Тейлора (или Маклорена в случае х₀ = 0).

Следствие. Пусть R > 0 и предположим, что и – степенные ряды, сходящиеся при –R

Действительно, если , то по теореме 1 (n = 0, 1, 2, …).

Рассмотрим обратную задачу. Пусть функция f(х) бесконечно дифференцируема в точке х₀. Составим для нее ряд Тейлора

.

Будет ли построенный ряд сходиться к порождающей его функции f(х)?

Оказывается, это может не быть справедливым. В следующем примере ряд Тейлора сходится на всей числовой прямой, но не сходится к порождающей его функции.

Пример. Рассмотрим функцию (рис. 3)

(4)

Можно показать, что эта функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси, причем все ее производные в точке х = 0 равны нулю. Действительно, при х 0

fў(x)=

Заменим , тогда

Здесь использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида (см. [10]). Аналогично доказываются соотношения f (n) (0) = 0 (n = 2, 3,…).

Поэтому ряд Маклорена для этой функции имеет вид

Этот ряд всюду сходится, его сумма не совпадает с порождающей функцией.

Обозначим через частичную сумму ряда Тейлора

Эта частичная сумма называется многочленом Тейлора функции f(х). Назовем дополнительным (остаточным) членом ряда Тейлора разность

Сходимость ряда Тейлора к порождающей его функции f(х) в точке х означает, что или Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке х функция f(х) являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора (Маклорена), необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член R_n(х) стремился к нулю при n, стремящемуся к бесконечности.

Величина R_n(х) дает ту ошибку, которую мы делаем, заменяя функцию f(х) многочленом S_n(х).

Структура остаточного (дополнительного) члена ряда Тейлора содержится в следующем утверждении.

Лемма. Если функция f(х) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₀, имеет (n + 1) производную f (n+1) (x), то остаточный (дополнительный) член R_n(х) ряда Тейлора для любой точки этого интервала имеет вид:

(6)

где точка заключена между х и х₀.

Выражение дополнительного члена по формуле (6) называется остаточным (дополни-тельным) членом в форме Лагранжа, а формула

f(x) =

– формулой Тейлора. Частный случай ее при х₀ = 0

f(х) =

( между 0 и х) называется формулой Маклорена.

Вопрос о разложимости функции в ряд Тейлора решается следующим утверждением.

Теорема 3. Если в некотором интервале, содержащем точку х₀, абсолютные величины всех производных функции f(х) ограничены одним и тем же числом

|f (n+1) (x)| M (M не зависит от n и х), (7)

то функция f(х) в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.

Доказательство. Нужно установить соотношение

(8)

для всех точек интервала. В силу соотношений (6) и (7) получаем оценку

Но [см. предельное равенство (2) из §2.2]

откуда и вытекает утверждение теоремы 3.

2.4. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Маклорена

Во многих задачах теории и практики важнейшую роль играют разложения классических элементарных функций в ряды Маклорена.

1. Разложение в ряд Маклорена функции е х . Все производные функции е х также равны е х и в точке х₀ = 0 равны 1. Тогда ряд Маклорена этой функции имеет вид:

. (1)

(– ).

Поэтому для функции sin х получаем следующий ряд Маклорена:

(3)

По признаку Даламбера

и, следовательно, ряд (3) сходится абсолютно на всей числовой оси. Покажем, что он сходится к порождающей его функции.

Итак, для функции sin х на всей числовой прямой справедливо разложение (рис. 4)

(4)

3. Разложение в ряд Маклорена функции cos х. Оно может быть получено дифференци-рованием степенного ряда (4)

(5)

Отметим, что, как и для sin х, разложение (5) просто исследуется с помощью теоремы 3 §2.3.

Обычно исследование остаточного члена ряда Тейлора (Маклорена) представляет затруд-нение, поэтому поступают следующим образом.

Сначала вычисляют производные в точке и составляют ряд Тейлора (Маклорена) данной функции. Для полученного степенного ряда находят интервал сходимости и затем исследуют остаточный член в интервале сходимости.

Другим способом получения новых разложений являются почленное интегрирование и дифференцирование известных разложений.

Продемонстрируем ниже эти способы.

2.5. Биномиальный ряд

При х = 0 находим f(0) = 1, f (0) = m, f (0) = m(m – 1), f (0) = m(m – 1)(m – 2),…,
f (n) (0) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1),…

Подставим найденные значения коэффициентов в ряд Маклорена (3) §2.3:

Этот ряд называется биномиальным.

Найдем его интервал сходимости. Применим признак Даламбера

Значит, ряд сходится при |х|

Можно показать, что для данного ряда (–1 m в интервале (–1,1):

(6)

При |х| > 1, если только m не является натуральным числом, ряд расходится.

Если m – натуральное число, то, начиная с n = m + 1, все коэффициенты обращаются в нуль, и получаем формулу бинома Ньютона

.

Замечание. Поведение ряда (6) на концах интервала сходимости при различных m видно из следующей таблицы:

Приведем несколько часто встречающихся биномиальных рядов:

;

;

;

.

3.1. Периодические функции

Во многих явлениях науки и техники встречаются периодические процессы, т.е. процессы, в которых явления воспроизводятся в прежнем виде по истечении некоторого промежутка времени Т, называемого периодом.

Примерами таких процессов могут служить вращение Земли вокруг Солнца, незатухающие колебания маятника, электрические колебания, установившееся движение паровой машины и т.д.

Различные величины, связанные с рассматриваемым периодическим явлением, по истечении периода Т принимают свои прежние значения.

Например, хотя на протяжении года расстояние Земли от Солнца меняется, по истечении года оно принимает первоначальное значение; сила и напряжение переменного тока принимают первоначальные значения и т.п. Все эти величины являются периодическими функциями времени.

Функция (t) называется периодической функцией с периодом Т(Т 0), если для всех значений t выполняется равенство

Понятно, что если Т – один из периодов функции (t), то все числа вида kT, k = 0, ±1, ±2,…, также являются ее периодами. Среди положительных периодов непрерывной периодической функции (t) всегда есть наименьший. Он обладает тем свойством, что все остальные периоды являются его кратными.

Простейшим периодическим процессом является гармоническое колебание. Отклонение точки от положения равновесия при гармоническом колебании задается формулой:

Число А называется амплитудой,

(2)

В дальнейшем мы будем называть функцию вида (1) синусоидальной функцией. График такой функции изображен на рис. 5.

Синусоидальную функцию можно записать также в виде

Справедливо и обратное: любая функция вида acos t + bsin t является синусоидальной функцией.

acos t + bsin t = ,

acos t + bsin t = А( sin cos t + cos sin t ) = Asin ( t + ),

где

Из подобных простейших функций можно получить более сложные. Нетрудно видеть, что при сложении двух синусоидальных функций, имеющих одну и ту же частоту, получается снова синусоидальная функция с той же самой частотой. Но если синусоидальные величины имеют разные частоты (и соответственно различные периоды), то можно получить функции, по своему характеру значительно отличающиеся от синусоидальной функции.

Это справедливо для конечного числа слагаемых. Еще в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда

Естественно поставить обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию (t) периода Т представить в виде суммы конечного или бесконечного множества синусоидальных функций

, (3)

Если это возможно, то сложное колебание, задаваемое периодической функцией (t), разлагается на отдельные гармонические колебания.

Процесс разложения периодической функции на гармонические составляющие называется гармоническим анализом.

Если за независимую переменную выбрать

то получится функция от х:

f(x) = A ₀ + A ₁ sin(x + ₁ ) + A ₂ sin(x + ₂ ) + A ₃ sin(x + ₃ ) + … =

придем к окончательной форме тригонометрического разложения

(4)

Как обычно, сходимость ряда (4) в точке х понимается следующим образом:

. (5)

называется тригонометрическим многочленом (полиномом).

Поэтому вопрос о сходимости ряда (4) в точке х тесно связан с проблемой приближения (аппроксимации) периодической функции тригонометрическими многочленами (5).

Для широкого класса функций такая задача решается положительно.

Изучение тригонометрических рядов важно не только с точки зрения колебательных процессов, с которых мы начали. Необходимо отметить, что подобные разложения и их обобщения часто возникают и при исследовании функций, заданных в определенном конечном промежутке и совсем не связанных с колебательными процессами.

И хотя в таких случаях функции можно разложить в ряды Тейлора (или Маклорена), тем не менее разложения в тригонометрические ряды (и их обобщения) обладают рядом преимуществ
(см. подробнее об этом в §3.4).

3.2. Определение ряда Фурье

f(x) = (1)

Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы, доказанной в примере 1 §3.2.

В силу соотношений (3) и (4) предыдущего параграфа все члены под знаком суммы будут нулями, поэтому

. (2)

Для нахождения коэффициента a_n при n=1,2,… умножим обе части равенства (1) на cosnx и снова проинтегрируем почленно:

Первый член исчезает в силу (3) §3.2; все интегралы, стоящие под знаком суммы, обращаются в нуль [см. соотношения (5)–(7) предыдущего параграфа], кроме интеграла, при котором множи-телем стоит именно коэффициент a_n.

Следовательно, этот коэффициент вычисляется по формуле

(n = 1,2,…). (3)

Аналогично, умножая предварительно ряд (1) на sinnx и затем интегрируя почленно, определим коэффициент b_n:

(n = 1,2,…). (4)

Формулы (2)–(4) называются формулами Эйлера-Фурье, вычисленные по этим формулам коэффициенты а₀, а₁, b₁, a₂, b₂, … – коэффициентами Фурье периодической функции f(x),
а ряд (1), в котором коэффициенты находятся по формулам (2)–(4), – рядом Фурье (тригоно-метрическим рядом Фурье) функции f(x).

Нетрудно видеть, что проведенные выше манипуляции с рядами (почленные интегрирования) справедливы, когда ряд (1) сходится равномерно (см. §2.1).

Поэтому справедливо следующее утверждение.

1. Интересно сравнить данное утверждение с теоремой 1 §2.3 о единственности ряда Тейлора.

2. Если не предполагать наперед равномерной сходимости, то приведенные выше рассуждения не доказывают разложимость в ряд Фурье.

Поэтому можно рассматривать лишь формальный ряд Фурье для периодической “порождающей” функции f(x):

; (5)

(k = 0,1,2,…); (6)

(k = 1,2,…). (7)

Используем изложенный выше прием для нахождения коэффициентов общих ортогональных разложений. Пусть в промежутке [a,b] дана ортогональная система < _n(x)> (n = 0, 1, 2,…). Попытаемся разложить определенную в [a,b] функцию f(x) в ряд по системе < _n(x)> (n = 0, 1, 2,…) вида

Для определения коэффициентов этого разложения, допуская его возможность, поступим так, как мы это сделали выше в частном случае. А именно, умножив обе части разложения (8) на _n(х), проинтегрируем его почленно:

В силу ортогональности элементов системы < _n> (n = 0,1,…) все интегралы справа, кроме одного, будут нулями, поэтому

(n = 0,1,2, …). (9)

Формулы (6) и (7) являются частными случаями (9).

Ряд (8), коэффициенты которого вычисляются по формулам (9), называется рядом Фурье данной функции f(x) по системе < _n> (n = 0,1,…), c_n – коэффициентами Фурье функции f(x) по системе < _n> (n = 0,1,2,…):

(n = 0,1,2,…). (10)

1. Конечно, в общем случае разложение (8) следует понимать как формальный ряд Фурье по системе < _n> (n = 0,1,2,…):

.

2. Тригонометрический ряд Фурье (5) можно рассматривать как ряд Фурье по ортонорми-рованной системе (8) §3.2. Действительно, подставим в формулы (8) и (10) их значения в случае тригонометрической системы [см. формулы (8) §3.2]. Имеем

что в силу (2)–(4) приводит к разложению (1).

Замечание. Разложения в ряды по ортогональным системам функций играют важную роль
при решении многих важных задач математической физики.

б) при d > 1 ряд расходится;

в) при d = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется дополнительное исследование

Признак Дирихле
сходимости ряда Фурье

если периодическая функция f(x) с периодом 2 является кусочно монотонной и ограниченной на промежутке [-,], то:

ее ряд Фурье сходится к порождающей функции во всех точках, где эта функция непрерывна;

в точках x₀, где функция неразрывна, ряд Фурье сходится к значению ;

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов

если члены знакочередующегося ряда

монотонно убывают по абсолютной величине a_n+1

числовых рядов
с положительными членами

из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A);

из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B)

Равенство
Парсеваля-Стеклова для тригонометрической системы
(уравнение замкнутости)

в неравенстве Бесселя

Радикальный признак
Коши сходимости числового ряда с положительными членами

б) при > 1 ряд расходится;

в) при = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется дополнительное исследование

Радиус сходимости
степенного ряда

если у степенного ряда есть точки сходимости и расходимости, то существует число R такое, что ряд сходится в (R,R); число R называется радиусом сходимости степенного ряда

б) если степенной ряд

расходится при х = х₁, то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной величине, чем х₁, т.е. при х > х₁

Теорема о непрерывности суммы степенного ряда

утверждение о том, что сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости

Теорема об интегрировании степенного ряда

степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости:

Условно (неабсолютно) сходящийся числовой ряд

если функция f(x) имеет все производные до (n+1)-го порядка включительно в окрестности точки х₀, то

где R_n(x) – дополнительный (остаточный) член; при этом
lim R_n(x) = 0 при x стремящемся к х₀

члены которого являются функциями от переменной х

Частичная (частная)
сумма ряда

сумма S_n первых n членов ряда

Частная сумма
(частичная сумма) ряда Фурье по ортонормированной системе <_n> (n = 0,1. )

c_k – коэффициенты Фурье функции f(x) по системе <_k >

Экстремальное свойство частных сумм ряда Фурье по ортонормированной
системе <_n> (n = 0,1,2,…)

среди всех обобщенных полиномов порядка n по системе <_n> наименьшее среднее квадратичное уклонение от функ-ции f(x) имеет частная сумма ряда Фурье по ортонор-мированной системе

Источник