при каком значении прямая заданная уравнением касается графика функции

Задачи с параметрами. Условия касания.

Темы для повторения:

Графический метод решения задач с параметрами

Друзья, мы продолжаем тему «Задачи с параметрами». Это №18 Профильного ЕГЭ по математике. В этой статье рассказано, как в решении задач с параметрами применяется производная.

Рассмотрим следующую задачу:

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 решения?

Поскольку логарифмы определены для положительных чисел, Это значит, что

Сделаем замену При каждому значению соответствует два значения

В левой части уравнения — линейная функция, в правой — логарифмическая. Это функции разных типов. Пытаться справиться с таким уравнение аналитически — бесполезно. Попробуем графический способ.

Докажем, что графики функций и имеют единственную точку пересечения при и любом

Уравнение имеет единственное решение при положительных и Значит, при всех исходное уравнение имеет ровно 2 решения. Теперь случай

Уравнение имеет единственное решение, если прямая касается графика функции Мы помним, как записываются условия касания:

Источник

График линейной функции, его свойства и формулы

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция	Коэффициент «k»	Коэффициент «b»
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Решение

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

Для наглядности изобразим графически.

Решение

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

Вычисляем соответствующие значения функции

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Решение

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Касательная к эллипсу

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

Решение

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

Ответ: уравнение касательной можно представить как

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Графически изобразим как:

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

Ответ: уравнение касательной принимает вид

Источник

Задачи на нахождение касательной

\[f(x)=x^2+2x-3 \quad и \quad ay+5x+6a=0\]

имеют ровно одну точку пересечения.

Графиком \(ay+5x+6a=0\) при каждом фиксированном \(a\) является прямая:

имеет ровно одно решение.

\(f'(x)=x^2+4x \Rightarrow x=-4=x_\) – точка максимума, \(x=0=x_\) – точка минимума.

Найдем случаи, когда прямая \(y\) касается графика функции \(f(x)\) ( \(x_o\) – точка касания). Найдем соответствующие этому значения параметра: \[\begin f'(x_o)=a\\ f(x_o)=y(x_o) \end \Rightarrow \begin x_o^2+4x_o=a\\ 2x_o^3+30x_o^2+96x_o+88=0 \end\Rightarrow \begin x_o^2+4x_o=a\\ (x_o+2)^2(x_o+11)=0 \end \Rightarrow \left[ \begin \begin &\begin x_o=-2\\ a=-4 \end\\ &\begin x_o=-11\\ a=77 \end \end \end \right.\]

В уменьшенном масштабе это выглядит так:

будет иметь единственное решение.

Задача от подписчиков.

Значит, при \(b=9\sqrt[3]<\dfrac<25><36>>\) функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют 2 точки пересечения, а при \(0 функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют ровно одну точку пересечения (например, прямая, обозначенная пунктиром).

(Задача от подписчиков)

Итого заключаем, что нам подходят значения: \[-2(\sqrt<29>+3) \(h\) должны находиться в зеленой области.

\[-2x_0+4=2 \quad \Rightarrow \quad x_0=1\]

Таким образом, при \(a=-1\) правая ветвь \(f_1\) касается параболы:

\[-2x_0+4=-2 \quad \Rightarrow \quad x_0=3\]

Заметим также, что при \(a>3\) уголок будет находится всегда выше параболы, то есть неравенство не будет иметь решений.

имеет ровно 2 решения.

(Задача от подписчиков)

Нахождение касательной к графику — одно из обязательных для решения заданий, включенных в итоговое тестирование по математике. Как показывает практика последних лет, подобные задачи с вычислением углового коэффициента и нахождением точки пересечения вызвали сложности у многих выпускников. Их выполнение осложняется тем, что системы могут иметь более 1 решения.

Готовьтесь к итоговому тестированию по математике вместе с сайтом «Школково»!

Для нахождения касательной необходимо в первую очередь вспомнить формулы и понять алгоритм решения. Портал «Школково» предлагает все необходимые материалы. Перед решением задач с уравнениями касательной ученики могут повторить правила, выучить самые сложные и только потом приступать к выполнению упражнений, начиная с самых простых. Благодаря такому подходу к обучению школьники сразу выделяют трудные для себя задания и начинают занятия именно с них.

На нашем сайте собрана обширная база упражнений на нахождение касательной. Преподаватели «Школково» подготовили все необходимые материалы и изложили их в наиболее доступной форме. Список задач постоянно пополняется и обновляется, благодаря чему ученики могут выбирать новые задания каждый день.

Чтобы начать нахождение углового коэффициента касательной, повторите правила решения подобных уравнений. После этого приступайте к выполнению самых простых задач с графиками функции. Если они не вызвали трудностей, пропустите несколько упражнений и переходите к более сложным примерам.

Для успешной сдачи Единого государственного экзамена советуем ежедневно заниматься на нашем портале. Занятия доступны не только старшеклассникам из Москвы, но и учащимся из других городов России. Уже через пару недель вы заметите значительное улучшение знаний по конкретным тематикам, которые ранее вызывали трудности. Начните обучение вместе со «Школково» уже сегодня!

Источник

При каком значении прямая заданная уравнением касается графика функции

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 3 минимума, итого 5 экстремумов. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней в 5 точках.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

в точке перегиба производная тоже равна нулю

Точек перегиба на графике несколько, ни в одной из них производная нулю не равна.

Разве при х=0, производная не равна 0?

В точке 0 производная отрицательна.

Но ведь здесь только одна точка максимума

В точках перегиба (а это Х=0) производная тоже равна 0. Поэтому ответ 5.

В точке перегиба вторая производная равна нулю.

Уважаемые коллеги, при решении заданий вы крайне невнимательно работаете с графиками.

Не обращая внимания на тонкости графика, вы даёте неправильные ответы и пояснения!

Авторитет сайта для детей высок, трачу много времени, доказывая свою правоту!

Обратите внимание, что пояснения к заданиям 7093, 7097, 7099, 7103 начинаются фразой, выделенной красным цветом, «Это задание еще не решено, приводим решение прототипа». Поэтому в решениях этих заданий пока не может быть ошибок, так как отсутствуют сами решения.

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 1 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 7 экстремумов. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 1 или совпадает с ней в 7 точках.

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 18.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 18 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 6 экстремумов. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 18 или совпадает с ней в 6 точках.

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−9; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −x − 12 или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −x − 12 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –1. Найдем количество точек, в которых y‘(x₀) = −1, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −1. На данном интервале таких точек 3.

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

На рисунке изображён график — производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой y = 6 − 2x или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 − 2x или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен −2. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент равен −2, а значит, и производная равна −2. Поэтому искомая точка

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –4. Найдем количество точек, в которых y’(x₀) = −4, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −4. На данном интервале таких точек 2.

Источник