При каком значении b корни уравнений 5bx
Известно, что уравнение x 3 − 3x 2 + bx + 12 = 0 имеет три различных целых корня.
а) Могут ли все корни этого уравнения быть четными?
б) Найдите количество отрицательных корней.
в) Найдите все возможные значения коэффициента b.
Пусть 
— три различных целых корня уравнения 
Тогда
Значит, 
а 
а) Предположим, что все корни уравнения чётные, тогда 
Получаем, 
(произведение целых чисел равно нецелому), что невозможно. Значит, предположение неверно.
б) Произведение трёх корней 
а их сумма 
Произведение чисел отрицательно, если среди множителей нет нулей, и при этом имеется нечётное число отрицательных множителей. Значит, или все три корня уравнения отрицательны, или один корень отрицательный, а два — положительных. Сумма трёх отрицательных чисел не может равняться 3. Значит у данного уравнения ровно один отрицательный корень.
в) Разложим число 12 на простые множители 
Добавив к простым сомножителям 1, получаем 
Рассмотрим все возможные значения корней и их суммы, учтя результаты полученные в пункте б).
Получаем, что уравнение имеет три различных целых корня в единственном случае, и этими корнями являются числа −2, 2 и 3. Найдём b.
Ответ: а) нет, б) один, в) −4.
Внимательный читатель, конечно, узнал теорему Виета для кубического уравнения.
Если 
— корни уравнения 
то
