Полная и полезная мощность. Коэффициент полезного действия (к. п. д. )
Мощность, развиваемая источником тока во всей цепи, называется полной мощностью.
Она определяется по формуле
где Pоб-полная мощность, развиваемая источником тока во всей цепи, вт;
Е- э. д. с. источника, в;
I-величина тока в цепи, а.
В общем виде электрическая цепь состоит из внешнего участка (нагрузки) с сопротивлением R и внутреннего участка с сопротивлением R0 (сопротивлением источника тока).
Заменяя в выражении полной мощности величину э. д. с. через напряжения на участках цепи, получим
Величина UI соответствует мощности, развиваемой на внешнем участке цепи (нагрузке), и называется полезной мощностью Pпол=UI.
Величина UoI соответствует мощности, бесполезно расходуемой внутри источника, Ее называют мощностью потерь Po=UoI.
Таким образом, полная мощность равна сумме полезной мощности и мощности потерь Pоб=Pпол+P0.
Отношение полезной мощности к полной мощности, развиваемой источником, называется коэффициентом полезного действия, сокращенно к. п. д.,и обозначается η.
Из определения следует
При любых условиях коэффициент полезного действия η ≤ 1.
Если выразить мощности через величину тока и сопротивления участков цепи, получим
Таким образом, к. п. д. зависит от соотношения между внутренним сопротивлением источника и сопротивлением потребителя.
Обычно электрический к. п. д. принято выражать в процентах.
Для практической электротехники особый интерес представляют два вопроса:
1. Условие получения наибольшей полезной мощности
2. Условие получения наибольшего к. п. д.
Условие получения наибольшей полезной мощности (мощности в нагрузке)
Наибольшую полезную мощность( мощность на нагрузке) электрический ток развивает в том случае, если сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника тока.
Эта наибольшая мощность равна половине всей мощности (50%) развиваемой источником тока во всей цепи.
Половина мощности развивается на нагрузке и половина развивается на внутреннем сопротивлении источника тока.
Если будем уменьшать сопротивление нагрузки, то мощность развиваемая на нагрузке будет уменьшаться а мощность развиваемая на внутреннем сопротивлении источника тока будет увеличиваться.
Если сопротивление нагрузки равно нулю то ток в цепи будет максимальным, это режим короткого замыкания (КЗ). Почти вся мощность будет развивается на внутреннем сопротивлении источника тока. Этот режим опасен для источника тока а также для всей цепи.
Если сопротивление нагрузки будем увеличивать, то ток в цепи будет уменьшатся, мощность на нагрузке также будет уменьшатся. При очень большом сопротивлении нагрузки тока в цепи вообще не будет. Это сопротивление называется бесконечно большим. Если цепь разомкнута то ее сопротивление бесконечно большое. Такой режим называется режимом холостого хода.
Таким образом, в режимах, близких к короткому замыканию и к холостому ходу, полезная мощность мала в первом случае за счет малой величины напряжения, а во втором за счет малой величины тока.
Условие получения наибольшего к. п. д коэффициента полезного действия
Коэффициент полезного действия (к. п. д.) равен 100% при холостом ходе ( в этом случае полезная мощность не выделяется, но в то же время и не затрачивается мощность источника).
По мере увеличения тока нагрузки к. п. д. уменьшается по прямолинейному закону.
В режиме короткого замыкания к. п. д. равен нулю ( полезной мощности нет, а мощность развиваемая источником, полностью расходуется внутри него).
Подводя итоги вышеизложенному, можно сделать выводы.
Условие получения максимальной полезной мощности( R=R0) и условие получения максимального к. п. д. (R=∞) не совпадают. Более того, при получении от источника максимальной полезной мощности ( режим согласованной нагрузки) к. п. д.составляет 50%, т.е. половина развиваемой источником мощности бесполезно затрачивается внутри него.
В мощных электрических установках режим согласованной нагрузки является неприемлемым, так как при этом происходит бесполезная затрата больших мощностей. Поэтому для электрических станций и подстанций режимы работы генераторов, трансформаторов, выпрямителей рассчитываются так, чтобы обеспечивался высокий к. п. д. ( 90% и более).
Иначе обстоит дело в технике слабых токов. Возьмем, например, телефонный аппарат. При разговоре перед микрофоном в схеме аппарата создается электрический сигнал мощностью около 2 мвт. Очевидно, что для получения наибольшей дальности связи необходимо передать в линию как можно большую мощность, а для этого требуется выполнить режим согласованного включения нагрузки. Имеет ли в данном случае существенное значение к. п. д.? Конечно нет, так как потери энергии исчисляются долями или единицами милливатт.
Режим согласованной нагрузки применяется в радиоаппаратуре. В том случае, когда согласованный режим при непосредственном соединении генератора и нагрузки не обеспечивается, применяют меры согласования их сопротивлений.
Теорема о передаче максимальной мощности
Количество энергии, получаемой нагрузкой, является важным параметром в электрических и электронных приложениях. В цепях постоянного тока мы можем представить нагрузку с резистором, имеющим сопротивление R L Ом. Точно так же в цепях переменного тока мы можем представить его со сложной нагрузкой, имеющей полное сопротивление Z L Ом.
Теорема о максимальной передаче мощности гласит, что источник постоянного напряжения будет подавать максимальную мощность на резистор переменной нагрузки только тогда, когда сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника.
Аналогично, в теореме о максимальной передаче мощности утверждается, что источник переменного напряжения будет поставлять максимальную мощность для переменной комплексной нагрузки только тогда, когда полное сопротивление нагрузки равно комплексному сопряжению полного сопротивления источника.
В этой главе мы обсудим теорему о максимальной передаче мощности для цепей постоянного тока.
Доказательство теоремы о передаче максимальной мощности
Замените любые двухполюсные линейные сети или цепи на левой стороне резистора с переменной нагрузкой, имеющего сопротивление R L Ом, эквивалентной цепью Тевенина. Мы знаем, что эквивалентная схема Тевенина напоминает практический источник напряжения.
Эта концепция проиллюстрирована на следующих рисунках.
Количество мощности, рассеиваемой на нагрузочном резисторе, составляет
Замените I = f r a c V T h R T h + R L в приведенном выше уравнении.
P L = l g r o u p f r a c V T h ( R T h + R L ) r g r o u p 2 R L
R i g h t a r r o w P L = V T h 2 l b r a c e f r a c R L ( R T h + R L ) 2 r b r a c e Уравнение 1
Условие для максимальной передачи мощности
Для максимума или минимума первая производная будет равна нулю. Итак, дифференцируем уравнение 1 относительно R L и сделаем его равным нулю.
f r a c d P L d R L = V T h 2 l b r a c e f r a c ( R T h + R L ) 2 t i m e s 1 − R L t i m e s 2 ( R T h + R L ) ( R T h + R L ) 4 r b r a c e = 0
R i g h t a r r o w ( R T h + R L ) 2 − 2 R L ( R T h + R L ) = 0
R i g h t a r r o w ( R T h + R L ) ( R T h + R L − 2 R L ) = 0
R i g h t a r r o w ( R T h − R L ) = 0
R i g h t a r r o w R T h = R L и л и R L = R T h
Значение максимальной передачи мощности
Замените R_L = R_
Формула полезной мощности
Определение и формула полезной мощности
\[\left\langle P\right\rangle =\frac<\Delta A><\Delta t>\left(1\right).\]
Приняв во внимание, что:
\[\Delta A=\overline
Коэффициент полезного действия
\[P_p=\eta P\ \left(6\right).\]
Формула полезной мощности источника тока
Максимальную полезную мощность (мощность на нагрузке) электрический ток дает, если внешнее сопротивление цепи будет равно внутреннему сопротивлению источника тока. При этом условии полезная мощность равна 50\% общей мощности.
Примеры задач с решением
Решение. За основу решения задачи примем формулу:
\[P_p=\eta P\ \left(1.1\right).\]
Полную мощность найдем, используя выражение:
Подставляя правую часть выражения (1.2) в (1.1) находим, что:
Вычислим искомую мощность:
\[P_p=\eta IU=0,42\cdot 110\cdot 10=462\ \left(Вт\right).\]
Решение. По закону Ома для цепи с источником тока мы имеем:
При коротком замыкании считаем, что сопротивление внешней нагрузки равно нулю ($R=0$), тогда сила тока короткого замыкания равна:
Максимальная полезная мощность в цепи рис.1 электрический ток даст, при условии:
Тогда сила тока в цепи равна:
Максимальную полезную мощность найдем, используя формулу:
Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Используем уравнения (2.1) и (2.2) выразим внутреннее сопротивление источника тока:
\[\varepsilon=I\left(R+r\right);;\ I_kr=\varepsilon \to I\left(R+r\right)=I_kr\to r\left(I_k+I\right)=IR\to r=\frac
Подставим результаты из (2.7) и (2.8) в третью формулу системы (2.6), искомая мощность будет равна:
При каком условии мощность максимальна докажите
13. Теорема о максимуме отдаваемой мощности
Теорема о максимуме отдаваемой мощности
Теорема о максимуме отдаваемой мощности является не столько средством анализа, сколько помощью в разработке схем. Согласно этой теореме максимум мощности будет передаваться от источника в нагрузку только в том случае, когда сопротивление нагрузки будет равно выходному сопротивлению источника. Если сопротивление нагрузки больше или меньше сопротивления источника, то отдаваемая мощность будет меньше максимальной.
Если в качестве примера мы возьмем эквивалентную схему из Теоремы Тевенина, то увидим, что максимальная мощность источника будет отдана нагрузке только в том случае, когда сопротивление нагрузки будет равно сопротивлению Тевенина (в данном случае 0,8 Ом):
При равенстве значений RТевенина и RНагрузки, величина отдаваемой мощности составит 39,2 ватта:
Если уменьшить сопротивление нагрузки (0,5 Ом вместо 0,8 Ом), то уменьшится и величина отдаваемой мощности:
Из этой таблицы видно увеличение мощности на сопротивлении Тевенина и ее уменьшение на сопротивлении нагрузки. Если мы увеличим сопротивление нагрузки (1,1 Ом вместо 0,8 Ом), то величина отдаваемой мощности все равно будет меньше чем при равенстве сопротивлений Тевенина и нагрузки:
При разработке схемы с максимальной расcеиваемой мощностью на нагрузке эта теорема будет очень полезна. Упростив исходную схему до источника напряжения и сопротивления Тевенина (или источника тока и сопротивления Нортона), вы просто делаете сопротивление нагрузки равным сопротивлению Тевенина (Нортона), добиваясь тем самым максимальной мощности на нагрузке. Практическое применение данной теоремы может включать в себя проектирование оконечного усилителя мощности передатчика (максимальное увеличение подводимой к антенне мощности) или электромобиля (максимальное увеличение мощности, подаваемой на привод двигателя).
Ограничения теоремы о максимуме отдаваемой мощности.
Максимальная отдаваемая мощность не «совпадает» с максимальной «производительностью». Применение данной теоремы к распределению мощности переменного тока не приведет к получению максимального или даже высокого КПД. При распределении мощности переменного тока более важной является высокая производительность, которая достигается относительно низким импедансом генератора по сравнению с импедансом нагрузки.
К примеру, высокое качество звука можно получить при относительно низком выходном импедансе схемы и относительно высоком импедансе динамика (нагрузки). Отношение «выходного импеданса» к «импедансу нагрузки» известно как коэффициент затухания, обычно он находится в диапазоне от 100 до 1000.
Максимальная отдаваемая мощность не совпадает и с целью получения низкого уровня шума. Например, для минимизации шумов между антенной и усилителем радиочастоты приемника. Данная цель так же требует несоответствия импедансов усилителя и антенны.
Условия передачи максимальной мощности от источника энергии к нагрузке.
Практически во всех энергетических и информационных системах происходит передача электрической энергии в той или иной ее форме от некоторого источника к некоторой нагрузке. Как правило, в нагрузку необходимо передать максимально возможную часть мощности источника. В большинстве случаев вообще желательно передать в нагрузку всю мощность, имеющуюся в источнике. Так, например, очевидно, что нет необходимости сохранять какую-либо часть мощности в электростанции. Лучше её всю передать потребителям электроэнергии. Нет необходимости оставлять сколько-нибудь мощности в передатчике радиостанции. Для увеличения дальности и повышения качества связи желательно направить всю его мощность в антенну. Образно говоря, мы хотели бы передать всю мощность из источника в нагрузку, также как мы переливаем жидкость из одного сосуда в другой.
Рассмотрим простую электрическую схему, изображённую на рис. 6.2. Это цепь постоянного тока. Общее сопротивление цепи равно R=RИ+RН. Ток в цепи: I=U/R. Мощность, выделяемая в нагрузке, будет равна:
.
Чтобы найти максимум этой мощности, необходимо найти производную 
по правилу дифференцирования дроби: 
и приравнять её числитель нулю.
Отсюда: 
или RИ = RН
При соблюдении этого условия в нагрузку отдаётся мощность
. Нетрудно видеть, что на внутреннем сопротивлении источника выделяется такая же мощность: 
.
| а) б) Рис. 6.3 Зависимость мощности, выделяемой в нагрузке (а) и КПД системы (б) от отношения сопротивления нагрузки к внутреннему сопротивлению источника |
КПД системы передачи мощности от источника в нагрузку при этом составляет 0,5, поскольку половина мощности выделяется на сопротивлении источника. Таким образом, в наилучшем случае только половина мощности попадёт из источника в нагрузку. Во всех иных случаях доля этой мощности будет ещё меньше. На рисунке 6.3 показана зависимость относительной мощности, передаваемой в нагрузку P/Pmax и КПД системы η от соотношения RН/RИ.
Теперь рассмотрим источник переменного тока, который развивает на произвольной частоте ω напряжение u=Ucosωt и в общем случае имеет комплексное внутреннее сопротивление ZИ=RИ+XИ, где RИ и XИ соответственно активная и реактивная части его внутреннего сопротивления. Сопротивление нагрузки также состоит из активной и реактивной частей ZН=RН+XН (рис.6.4).
| Рис. 6.4 Схема цепи переменного тока |
Общая активная нагрузка, на которую работает источник, будет равна (RИ+RН), а общая реактивная часть этой нагрузки будет равна (XИ+XН). Полное сопротивление этой смешанной активно-реактивной цепи определяется по формуле: 
. Ток в этой цепи равен 
. Тогда активная мощность, выделяемая в нагрузке, будет равна:
Средняя мощность за период:
Сначала определим роль реактивных сопротивлений в получении максимума этой мощности. Очевидно, что при любых значениях RИ и RН активная мощность достигнет наибольшей величины при условии (XИ+XН)=0, т.е. при взаимной компенсации реактивных сопротивлений источника и нагрузки XИ=−XН.
Аналогичная картина возникает в обычном колебательном контуре при резонансе. Когда реактивное сопротивление емкости контура становится равным, но противоположным по знаку реактивному сопротивлению индуктивности, в последовательном контуре создаются условия для получения максимального тока.
При XИ=−XН средняя мощность за период будет равна: 
. Взяв производную этой величины по RН и приравняв ее нулю, мы снова получим условие для выделения максимальной мощности в нагрузке в виде равенства RИ=RН.
Таким образом, для получения максимальной мощности в нагрузке, активные сопротивления источника и нагрузки должны быть равны, а их реактивные сопротивления должны быть равны по абсолютной величине, но иметь противоположные знаки. Для взаимной компенсации напряжения на реактивных сопротивлениях источника и нагрузки должны быть сдвинуты по фазе на 90 0 в разные стороны относительно тока в цепи. Эти напряжения являются, как бы, зеркальным отображением друг друга.
Если представить сопротивления источника и нагрузки в виде комплексных чисел, то нетрудно заметить, что для передачи максимальной мощности от источника в нагрузку сопротивления источника энергии и потребителя энергии должны быть комплексно сопряжёнными ZИ=RИ+iXИ и ZН=RН−iXН.
Следует отметить, что согласование нагрузки и источника является очень широким понятием и проявляется в самых разных областях.
Возьмем более близкий нам пример: электрическая батарея нагревает электрическую плиту. Каким должно быть сопротивление плиты, чтобы она отбирала от батареи максимум мощности? Количество тепла, выделяемого электроплитой, пропорционально току в цепи. Если сделать сопротивление плиты значительно больше, чем сопротивление батареи, то ток в цепи будет мал и тепла в электроплите выделится очень мало. Если сопротивление плиты сделать значительно меньше, чем сопротивление батареи, то ток в цепи станет большим, но тепло будет выделяться, в основном, в электрической батарее, а не в плите. В обоих случаях электроплита дает мало тепла. Наибольшее количество тепла будет выделяться в электроплите, когда сопротивления плиты и батареи будут равны. В этом случае и в батарее и в плите будет выделяться одинаковое количество тепла, равное только 50% от общей мощности батареи.
Для согласования сопротивлений источника и нагрузки существует много способов. В механике для передачи максимума мощности используется рычаг. Расширяющийся раструб рупорной антенны согласовывает волновод со свободным пространством. Врач использует стетоскоп, чтобы согласовать акустические сопротивления своего уха и грудной клетки пациента. Сердце человека также согласовано по сопротивлению с системой артерий и вен, хотя это согласование с возрастом ухудшается.
