Задание 19 из ЕГЭ. Пираты и дукаты
Каждый год в сборниках для подготовки к ЕГЭ я нахожу для себя что-то новое, а в новом — непонятное.
В сборнике «ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты заданий от разработчиков ЕГЭ» под ред. И.В. Ященко нашлась задача про пиратов и дукаты. Условия и решение воспроизвожу по с. 185
19. Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 40 монет достоинством 1 дукат и 40 монет достоинством 5 дукатов.
а) Получится ли поделить все монеты поровну между 16 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
б) Получится ли поделить все монеты поровну между 30 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?
Решение.
а) Каждый пират должен получить (40 + 40 * 5) : 16 = 15 дукатов. Выдадим 13 пиратам по 3 монеты достоинством 5 дукатов, одному — 5 дукатов и 10 монет достоинством 1 дукат, двоим — по 15 монет достоинством 1 дукат.
б) Каждый пират должен получить 240 : 30 = 8 дукатов, поэтому нужно будет выдать каждому не менее трёх монет достоинством 1 дукат, значит всего монет достоинством 1 дукат нужно не менее 90 штук, а в сундуке их только 40. Следовательно, без сдачи и размена поделить все монеты поровну не получится.
в) Если пиратов 12 или больше, то распределим монеты так: 10 пиратов получают по 4 дуката, один — всё остальное, остальные — ничего. Тогда распределить все монеты нельзя будет по тем же причинам, что и в пункте б).
Если же их не больше 11, то всем, кроме одного, будем выдавать их доли монетами достоинством 5 дукатов, пока они не кончатся.
Если монеты достоинством 5 дукатов закончились, то останется 40 монет достоинством 1 дукат, а их можно разделить на любые целые числа. Если же монеты достоинством в 5 дукатов не кончились, то все доли, кроме одной, можно выдать до конца монетами по 1 дукату (поскольку их получат не более 10 человек, значит, израсходуется не более 40 монет достоинством 1 дукат), а последний просто заберёт все оставшиеся монеты.
По пунктам а) и б) вопросов нет, а с пунктом в) полный ступор. Разбираем первый абзац решения. По-моему, здесь описан вариант раздела дукатов в соответствии с условиями задачи. Будем рассуждать про 12 пиратов: 10 пиратов получили по 4 дуката (40 монет по 1 дукату израсходованы), один — всё остальное (40 монет по 5 дукатов), один — ничего. Все 80 монет разделены так, как захотел капитан, ему разрешено условиями задачи делить монеты любым способом, в том числе кому-то дать 0 дукатов. Очевидно, что дать 0 дукатов можно было 13-му, 14-му, … пиратам. Дальше идёт загадочная для меня фраза: «Тогда распределить все монеты нельзя будет по тем же причинам, что и в пункте б)». Как нельзя, если автор решения уже распределил, — спросите вы, — какая здесь связь с пунктом б), относящимся к делению суммы поровну? Может быть, тут есть какая-то глубокая мысль, до которой я не доныриваю?
И потом, если автор получил наибольшее число пиратов 11, то что мешает ему позвать 12-го пирата и дать ему 0 дукатов? Наибольшее число пиратов увеличится? Оставаясь в состоянии задумчивости, даже не обсуждая вопрос о том, как соотносится данная задача с тем, чему учили в школе, с тем, что потребуется для обучения в вузе, я отправил свои сомнения моему коллеге и другу С.В. Дворянинову.
Вот что он ответил.
У А.П. Чехова в рассказе «Жалобная книга» читаем: «Кто писал — не знаю, а я, дурак, читаю». Сейчас, к сожалению, нередко по поводу многих «задач» хочется сказать так: кто писал — не знаю, а я дурак решаю…
Авторы задачи о пиратах и дукатах ставят вопрос о ДЕЛЕНИИ МОНЕТ. Именно МОНЕТ, а НЕ их ДЕНЕЖНОГО ВЫРАЖЕНИЯ. Монеты и их денежное выражение (проще говоря, деньги) — это разные сущности. Поэтому ответ на поставленный вопрос должен быть таким:
а) Монет — 80, пиратов — 16. Каждый получает по 5 монет.
б) 80 на 30 не делится, ответ — не получится.
в) Наибольший целый делитель числа 80 — число 80. Ответ: 80 пиратов, если капитана не считать пиратом. Если же и капитан является пиратом, то ответ: 79.
Любой суд (даже состоящий из полуграмотных пиратов) признает такое деление МОНЕТ отвечающим условию задачи. Мы же в книге видим, что условие задачи — про Фому, а решение — про Ерему.
Салют авторам задачи, путающим МОНЕТЫ и ДЕНЬГИ!
Если кто из читателей донырнёт до глубокой мысли составителей задачи, то прошу написать по адресу: avshevkin@mail.ru.
Дополнение. 18.11.2019. Поступило письмо, объясняющее, что с задачей всё в порядке. Просто в решении авторы задачи ошиблись, рассуждая про 12 и более пиратов. Они хотели предъявить невозможный делёж: 11 пиратов, а не 10, как они написали, получают по 4 дуката (это невозможно), 12- й — остальные дукаты, а все остальные пираты по 0 дукатов.
Но для такого рассуждения вопрос задачи надо было формулировать иначе: про наибольшее число пиратов, получивших более 0 дукатов при любом возможном способе дележа дукатов. Теперь, кажется, всё стало понятно. Условие задачи и её решение надо поправить.
Задача с секретом о пиратах и дукатах из сборника И. В. Ященко
В сборниках для подготовки к ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко есть замечательная задача про пиратов, которые делили сокровища. Многие пытались с ней справиться, но не у всех получилось.
Это задача № 18 – самая сложная в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.
Решать такие задачи – настолько же увлекательно, как разгадывать тайну старательно спрятанного сокровища. Но представим, что у вас в руках карта, и на ней помечено место, где зарыт увесистый сундук с золотыми монетами. Осталось понять, что именно зашифровано на карте, и для этого нужна логика. А чтобы отправиться на поиски сокровища, потребуется смелость.
Надеюсь, что у вас есть и то, и другое. Я буду вашим проводником!
Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 60 монет достоинством 1 дукат и 60 монет достоинством 5 дукатов.
а) Получится ли поделить все деньги поровну между 18 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
б) Получится ли поделить все деньги поровну между 40 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?
Смело начнем с первого пункта задачи. И сразу получим ответ! Считайте, что вы только начали копать в выбранном месте – и тут же нашли первую золотую монетку, то есть 1 балл за пункт (а)!
а) Получится ли поделить все деньги поровну между 18 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
Да, получится. Каждый пират получит по 20 дукатов. Потому что всего в сундуке дукатов, и 360 отлично делится на 18.
Например, дележка может происходить следующим образом:
– Сначала раздаем все монеты по 5 дукатов. Ровно 15 пиратов получат по 4 таких монеты каждый, то есть по 20 дукатов, а оставшиеся 3 пирата получают по 20 дукатов монетами по 1 дукату.
Главное – чтобы пираты не перессорились и не укокошили друг друга во время раздачи монет. Но это уже проблема капитана пиратов, а не наша.
А мы продолжим нашу «добычу баллов» за задачу 19.
б) Получится ли поделить все деньги поровну между 40 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
Нет, не получится. Если всего 40 пиратов, то каждый из них собирается получить 360 : 40 = 9 дукатов. Однако 9 не делится на 5 нацело. При делении 9 на 5 мы получаем в остатке 4. Это значит, что каждому пирату придется выдать не менее 4 монет по 1 дукату.
Но такого количества монет по 1 дукату в сундуке нет. Предположив, что 40 пиратов смогут разделить сокровище поровну, получаем противоречие с условием.
Что-то подозрительно легко достались нам первые 2 балла. Но 2 монеты – это еще не клад. Копаем дальше?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?
Разберемся с условием задачи.
Вам тоже показалось, что количество пиратов может быть каким угодно? Что мы можем увеличивать его хоть до тысячи чертей, просто добавляя пиратов, которым, согласно условию, будет полагаться 0 монет?
Однако не все так просто.
Предположим, что в команде 40 пиратов. Конечно, капитан может тайно присвоить все 360 дукатов, нейтрализовать с помощью бочки рома остальных пиратов (получивших в итоге по 0 монет), удачно скрыться от них и начать новую, умеренную и добропорядочную жизнь. Однако условие задачи в этом случае не выполнено.
По условию, пиратов должно быть столько, чтобы капитан смог «поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать». Какой же способ для капитана будет самым трудным?
Очевидно, такой, при котором ему не хватит монет достоинством в 1 дукат. Например, поделить 360 дукатов между 40 пиратами поровну не получится. Это доказано в пункте (б).
Вот в чем разница! На вопрос: «Существует ли в этой задаче какой-нибудь способ поделить 360 монет между 40 пиратами?» ответ: «Да». А на вопрос: «Можно ли в условиях задачи поровну поделить 360 монет между 40 пиратами?» – ответ: «Нет».
В пункте (в) речь идет именно о том, чтобы поделить деньги между пиратами любым возможным способом. Лишь бы в сумме получилось 60 монет по 5 дукатов и 60 монет по 1 дукату, и каждый пират получил целое количество дукатов.
Пусть пиратов 15. Даже если деньги распределены так, что каждому из 15 пиратов придется выдать по 4 монеты в 1 дукат, мы сможем это сделать, имея таких монет. Да, похоже, задача составлена по мотивам песни из детской книги «Остров сокровищ»: «15 человек на сундук мертвеца…»
Если пиратов 17, то мы можем подобрать такое распределение денег, что раздать их в условиях задачи будет невозможно. Например, капитан захотел каждому из 16 членов своей команды выдать по 4 дуката, а себе забрать остальное. Сделать этого он не сможет: у него не найдется монет по 1 дукату.
– Не спешите! Мы еще не проверили, что же будет в случае 16 пиратов.
На первый взгляд кажется, что и для 16 пиратов можно подобрать такое распределение денег, что капитан не сможет их раздать. Например, поделить нацело 360 монет на 16 пиратов невозможно. Но это и не требуется по условию. Проверим, сможет ли капитан раздать любым способом все 60 монет по 5 дукатов и 60 монет по 1 дукату, так что каждый пират получит целое количество дукатов.
Предположим, что все пираты вместе с капитаном построились в одну шеренгу. Пусть i – порядковый номер пирата в этой шеренге: первый, второй, третий, i-тый… Да, математики говорят именно так: i-тый.
Пусть каждый пират получает в результате сумму денег, равную
Пусть – остаток от деления суммы, полученной i-тым пиратом, на 5. Тогда
Каждый пират получил некоторую сумму кратную 5, и еще остаток от деления на 5, который равен и может быть выдан только монетами по 1 дукату.
Очевидно, что самый сложный для капитана случай – когда остатки от деления всех на 5 равны 4, то есть все равны 4.
Действительно, тогда сумма остатков и у капитана не хватит монет по 1 дукату.
– Значит, все-таки 16 пиратов не смогут разделить деньги, и ответ в пункте (в) – пятнадцать?
– Не спешите! Проверим, возможен ли такой случай, когда все остатки от деления на 5, то есть все равны 4. Сложим все и все Очевидно, что сумма всех равна 360 (общее количество дукатов). В математике это записывается так:
Сумму всех остатков от деления на 5 обозначим R.
360 = 5 N + R, где N – сумма всех
Но тогда R = 360 – 5N.
Правая часть этого уравнения делится на 5. Значит, сумма всех остатков R делится на 5.
Очевидно, для любого распределения монет и при этом R делится на 5.
Значит, Прекрасно! У капитана не будет недостатка в монетах по 1 дукату: их понадобится не больше 60, и в случае, если пиратов 16, трудностей не должно быть.
Как вы думаете – решение задачи закончено или чего-то не хватает?
Конечно, не закончили! Осталось непонятно, как же все-таки нужно раздавать дукаты. С каких монет начинать?
Будем действовать следующим образом.
Сначала вычислим остатки от деления всех на 5. Раздадим эти остатки монетами по 1 дукату. Мы выяснили, что это сделать можно, потому что сумма всех остатков
Оставшаяся сумма кратна 5. Раздаем все 5-дукатные монеты и после этого (если остались) монеты по 1 дукату.
Окончательный ответ: 16.
Мой полный курс по задаче 18 Профильного ЕГЭ по математике – здесь
Задачка про пиратов
Пять пиратов разных возрастов нашли клад в 100 золотых монет.
На корабле они решили поделить сокровище таким образом:
Самый старший пират предлагает, как поделить монеты, а потом ВСЕ пираты (включая самого старшего) голосуют за или против его предложения.
Если 50% или больше пиратов проголосуют «за», монеты так и поделят. В противном случае, пират, предложивший схему, будет выброшен за борт, а делёжка начнётся заново с оставшимися пиратами.
Поскольку практически все пираты кровожадны, то в случае, если пират получит одинаковое количество монет, проголосовав «за» или «против», то он проголосует «против», чтобы предложившего решение выбросили за борт.
Что же произойдёт, учитывая, что все пираты умные, рациональные, жадные и не хотят умирать (а также достаточно хороши в математике для пиратов)?
Самый старший пират предложит разделить монеты 98 : 0 : 1 : 0 : 1, другими словами самый старший пират получит 98 монет, пират среднего возраста получит 1 монету, и самый младший пират получит 1 монету.
Пусть пиратов зовут так (от старшего к младшему): Алекс, Билли, Колин, Дункан и Эдди.
Разберём ситуацию с конца:
2 пирата: Дункан поделит монеты 100 : 1 (заберёт всё золото себе). Его голос – это 50%, а этого достаточно для завершения сделки.
3 пирата: Колин поделит монеты 99 : 0 : 1. Эдди поддержит такое решение (и получит всего 1 монету), потому что знает, что, если он откажется, то останется всего два пирата, и он не получит ничего.
4 пирата: Билли поделит монеты 99 : 0 : 1 : 0. По той же причине, что и в предыдущем примере, Дункан поддержит такое решение. Билли не станет тратить монеты на Колина, поскольку Колин знает, что, если он откажется от предложения, то положит в карман 99 монет, когда Билли выбросят за борт. Билли также не даст ни одной монеты Эдди, потому что Эдди знает, что если он откажется от предложения, то в любом случае получит монету от Колина в следующий раз.
5 пиратов: Алекс поделит монеты 98 : 0 : 1 : 0 : 1. Предлагая одну золотую монету Колину (который в другом случае не получит ничего), он будет уверен, что сделка состоится.
Примечание: В последнем примере Алекс не даст ни одной монеты Билли, который знает, что может прикарманить 99 монет, если проголосует против предложения Алекса, и того сбросят за борт. Точно так же Алекс не даст ни монеты Дункану, поскольку Дункан знает, что, если он проголосует против, Алекса выкинут за борт, и Билли предложит ему ту же одну монету, что и Алекс. При прочих равных условиях Дункан лучше посмотрит, как Алекс полетит за борт, и получит свою монету от Билли.
