Разгадка трех известных математических парадоксов
В прошлой статье я рассказал про три математических парадокса. Теперь же пришло время разобраться, как эти парадоксы разрешаются.
1. Парадокс маляра.
Кратко состоит в том, что бесконечный цилиндр можно окрасить конечным числом краски (почему конечным, читайте по ссылке в начале материала).
Так в чем же загвоздка? Ключевой момент: утверждая, что не можем покрасить плоскую фигуру (слева на рисунке), мы говорим о том, что мы хотели бы покрасить её слоем краски одной толщины.
Предлагаемый нами в прошлом материале способ окраски как раз исходит из предположения, что каждый следующий цилиндр будет окрашен всё меньшим слоем краски, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в π см2, будет сходиться к конечному значению.
Кроме того, мы не учитываем, что толщина слоя краски не может быть меньше размера молекулы. Если заливать краску в такой цилиндр, то рано или поздно, когда линейные размеры ступеньки будут меньше размера молекулы краски, краска попросту «не пролезет» ниже. Тогда погруженную в такой сосуд пластинку покрасить полностью не получится. Но это уже в мире физики, в мире математике возможно всё.
№2. Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона
Поразмышляем, за какую самую меньшую цену можно продать сатанинскую бутылку?
Во-первых, очевидно, что продать бутылку дешевле минимальной разменной монеты нельзя. Пусть минимальной монетой будет 1 цент. Получается, что купив её за 1 цент продать с убытком для себя ее будет невозможно.
Во-вторых, бутылку сложно продать и за 2 и за 3, и вообще за конечное число центов, ведь Ваш покупатель, осознавая последствия будет отказываться от такой сделки, рискуя не найти покупателя в дальнейшем.
В-третьих, если цена бутылки достаточно высока, вероятность продать ее есть. Впрочем, она уменьшается с каждой продажей и зависит от убытка с которой она была произведена.
В книге главный герой всеми силами пытается выбраться из «западни», но ответа на главный вопрос: «за какую минимальную цену можно продать бутылку» у него нет.
Таким образом, логически парадокс не разрешим.
3. Парадокс картофеля
Пусть имеется 100 кг картофеля, имеющего 99 процентов воды по массе. Картофель просушивают и получают 98% процентов воды. Какая теперь масса картофеля?
В первую очередь кажется, что масса картошки изменится совсем незначительно. Однако дальнейшие рассуждения показывают обратное.
Действительно, пусть в начале у нас 100 кг картошки, состоящих из 99 кг воды и 1 кг сухого остатка. Таким образом, соотношение вода/сухой остаток = 1/99. Теперь, если процент воды уменьшится до 98%, сухого вещества останется 2% от массы. Соотношение вода/сухой остаток = 1/49. Ключевой момент: масса сухого остатка как была равна 1 кг, так и остается. Таким образом в полученной смеси мы имеем 49 кг воды и 1 кг сухого остатка: в общей сложности 50 кг.
7 умопомрачительных парадоксов
Самый популярный парадокс, который стал поводом для непрекращающейся ругани среди античных философов. Выдвинут этот парадокс древним греком по имени Зенон в V веке до нашей эры. Продемонстрируем его дословной цитатой:
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади нее на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползет еще десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, и Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Интуитивно мы понимаем, что Ахиллес, конечно же, обгонит бедную черепаху, но хитрость состоит в том, что конечное значение расстояния может быть поделено на бесконечное количество раз.
Этот парадокс впервые появился в журнале Scientific American под названием «The Two Children Problem», звучит он примерно так:
Представь себе, что в семье есть двое детей, один из которых — мальчик. Какова вероятность, что другой ребенок также является мальчиком? Очевидный ответ — сказать, что вероятность равна 50%, ведь другой ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой (гермафродитов создатели парадокса не рассматривали). Шансы родителей зачать ребенка мальчика или девочку равны.
Однако на деле существует четыре комбинации детей: два мальчика (ММ), две девочки (ДД), старший мальчик и младшая девочка (МД), и старшая девочка и младший мальчик (ДМ). Мы уже знаем, что один из детей — мальчик, то есть можем спокойно исключить вариант ДД, но это оставляет нам три равновозможных комбинации детей, а именно ММ, МД и ДМ. Значит, вероятность рождения мальчика — порядка 33%, а не 50%.
Авторство этого парадокса приписывают сицилийцу Кораксу, который прославился не только как великолепный оратор, но также как управитель Сиракуз. Снова V век до нашей эры — расцвет софизма. Внимай и запоминай, будешь потом за кружкой пива друзьям рассказывать:
Крокодил выхватывает ребенка из рук матери, которая стояла на берегу. Мать ребенка, разумеется, начинает умолять крокодила вернуть дитя. Рептилия проливает крокодилову слезу и говорит: «Я дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам.» Мать, недолго подумав, ответила: «Ты не отдаешь мне ребенка».
Зенон вообще мастер апорий (логически верные ситуации, которые не могут разрешиться в реальном мире). Сам парадокс довольно непрост для гуманитарного понимания: он направлен против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц, точек пространства и моментов времени. Парадокс также представляет большой интерес для современной физики, где вопрос о природе времени стоит особо остро. Итак, вот как он звучит:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение.
Если всё время состоит из мгновений, то стрела должна остаться неподвижной на протяжении всего времени.
masterok
masterok Мастерок.жж.рф
Хочу все знать
Представь себе, что у тебя на балконе хранится мешок картошки в 100 килограмм, имеющего 99 процентов воды по массе. Допустим, что картофель состоит на 99% из воды (хотя по науке там 90-95% воды).
Как вы думаете, какова будет масса этого мешка, если картофель высушивается до значения 98 процентов воды? Если не охота точно считать, предположите примерно, на килограмм, два, десять изменится вес мешка?
Большинство людей тотчас говорят, что вес картофеля упадет на пару кило — со 100 кг до 98 кг. Самые смелые прикидывают в уме 95-96 кг. Однако это далеко не так.
Парадоксом эту задачу зовут не потому, что она нарушает какие-то математические законы (с ними, как всегда, все отлично), а потому, что требует от отвечающего смириться с непривычным восприятием мира.
Учебник The Universal Book of Mathematics Дэвида Дарлинга определяет задачу так:
«Фред приносит домой 100 фунтов картофелин, которые (будучи идеальными математическими картофелинами) на 99 процентов состоят из воды. Он оставляет их на ночь сушиться снаружи, так, что те содержат 98 процентов воды. Каков их новый вес? Неожиданный ответ — 50 фунтов»
Итак, изначально у нас 100 килограмм картофеля, в которых 99 кг воды и 1 кг мякоти. То есть соотношение воды и еды — 1/99.
После сушки мы получим что? Правильно, соотношение 2/98, как и просила бабушка. Дробь 2/98 выглядит некрасиво, мы ее сокращаем, как нас учили в начальной школе, до вида 1/49. А это означает, что на 1 кг мякоти придется 49 кг воды. Ведь количество мякоти по условию задачи не меняется — как был 1 кг, так и остался, все сходится!
Одним словом, 1% — это одна сотая. А 2% — одна пятидесятая. Вот так работают проценты!
Согласны с логикой рассуждения?
Есть еще и более сложные объяснения этого парадокса, которые вы можете почитать вот тут.
masterok
Мастерок.жж.рф
Хочу все знать
Учёные и мыслители с давних времён любят развлекать себя и коллег постановкой неразрешимых задач и формулированием разного рода парадоксов. Некоторые из подобных мысленных экспериментов сохраняют актуальность на протяжении тысяч лет, что свидетельствует о несовершенстве многих популярных научных моделей и «дырах» в общепринятых теориях, давно считающихся фундаментальными.
Предлагаем вам поразмыслить над наиболее интересными и удивительными парадоксами, которые, как сейчас выражаются, «взорвали мозг» не одному поколению логиков, философов и математиков.
1. Апория «Ахиллес и черепаха»
Парадокс Ахиллеса и черепахи — одна из апорий (логически верных, но противоречивых высказываний), сформулированных древнегреческим философом Зеноном Элейским в V-м веке до нашей эры. Суть её в следующем: легендарный герой Ахиллес решил посоревноваться в беге с черепахой. Как известно, черепахи не отличаются прыткостью, поэтому Ахиллес дал сопернику фору в 500 м. Когда черепаха преодолевает эту дистанцию, герой пускается в погоню со скоростью в 10 раз большей, то есть пока черепаха ползёт 50 м, Ахиллес успевает пробежать данные ей 500 м форы. Затем бегун преодолевает следующие 50 м, но черепаха в это время отползает ещё на 5 м, кажется, что Ахиллес вот-вот её догонит, однако соперница всё ещё впереди и пока он бежит 5 м, ей удаётся продвинуться ещё на полметра и так далее. Дистанция между ними бесконечно сокращается, но по идее, герою так и не удаётся догнать медлительную черепаху, она ненамного, но всегда опережает его.
Конечно, с точки зрения физики парадокс не имеет смысла — если Ахиллес движется намного быстрее, он в любом случае вырвется вперёд, однако Зенон, в первую очередь, хотел продемонстрировать своими рассуждениями, что идеализированные математические понятия «точка пространства» и «момент времени» не слишком подходят для корректного применения к реальному движению. Апория выявляет расхождение между математически обоснованной идеей, что ненулевые интервалы пространства и времени можно делить бесконечно (поэтому черепаха должна всегда оставаться впереди) и реальностью, в которой герой, конечно, выигрывает гонку.
2. Парадокс временной петли
Парадоксы, описывающие путешествия во времени, давно служат источником вдохновения для писателей-фантастов и создателей научно-фантастических фильмов и сериалов. Существует несколько вариантов парадоксов временной петли, один из самых простых и наглядных примеров подобной проблемы привёл в своей книге «The New Time Travelers» («Новые путешественники во времени») Дэвид Туми, профессор из Университета Массачусетса.
Представьте себе, что путешественник во времени купил в книжном магазине экземпляр шекспировского «Гамлета». Затем он отправился в Англию времён Королевы-девы Елизаветы I и отыскав Уильяма Шекспира, вручил ему книгу. Тот переписал её и издал, как собственное сочинение. Проходят сотни лет, «Гамлета» переводят на десятки языков, бесконечно переиздают, и одна из копий оказывается в том самом книжном магазине, где путешественник во времени покупает её и отдаёт Шекспиру, а тот снимает копию и так далее… Кого в таком случае нужно считать автором бессмертной трагедии?
3. Парадокс девочки и мальчика
В теории вероятностей этот парадокс также называют «Дети мистера Смита» или «Проблемы миссис Смит». Впервые он был сформулирован американским математиком Мартином Гарднером в одном из номеров журнала «Scientific American». Учёные спорят над парадоксом уже несколько десятилетий и существует несколько способов его разрешения. Поразмыслив над проблемой, вы можете предложить и свой собственный вариант.
В семье есть двое детей и точно известно, что один из них — мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже имеет мужской пол? На первый взгляд, ответ вполне очевиден — 50 на 50, либо он действительно мальчик, либо девочка, шансы должны быть равными. Проблема в том, что для двухдетных семей существует четыре возможных комбинации полов детей — две девочки, два мальчика, старший мальчик и младшая девочка и наоборот — девочка старшего возраста и мальчик младшего. Первую можно исключить, так как один из детей совершенно точно мальчик, но в таком случае остаются три возможных варианта, а не два и вероятность того, что второе чадо тоже мальчик — один шанс из трёх.
4. Парадокс Журдена с карточкой
Проблему, предложенную британским логиком и математиком Филиппом Журденом в начале XX-го века, можно считать одной из разновидностей знаменитого парадокса лжеца.
Представьте себе — вы держите в руках открытку, на которой написано: «Утверждение на обратной стороне открытки истинно». Перевернув открытку, вы обнаруживаете фразу «Утверждение на другой стороне ложно». Как вы понимаете, противоречие налицо: если первое утверждение правдиво, то второе тоже соответствует действительности, но в таком случае первое должно оказаться ложным. Если же первая сторона открытки лжива, то фразу на второй также нельзя считать истинной, а это значит, первое утверждение опять-таки становится правдой… Ещё более интересный вариант парадокса лжеца — в следующем пункте.
5. Софизм «Крокодил»
Отрицательный ответ женщины всё значительно усложняет — если он оказывается верным, похититель должен выполнить условия сделки и отпустить дитя, но таким образом ответ матери не будет соответствовать действительности. Чтобы обеспечить лживость такого ответа, крокодилу нужно вернуть ребёнка матери, но это противоречит договору, ведь её ошибка должна оставить чадо у крокодила.
Стоит отметить, что сделка, предложенная крокодилом, содержит логическое противоречие, поэтому его обещание невыполнимо. Автором этого классического софизма считается оратор, мыслитель и политический деятель Коракс Сиракузский, живший в V-м веке до нашей эры.
6. Апория «Дихотомия»
Ещё один парадокс от Зенона Элейского, демонстрирующий некорректность идеализированной математической модели движения. Проблему можно поставить так — скажем, вы задались целью пройти какую-нибудь улицу вашего города от начала и до конца. Для этого вам необходимо преодолеть первую её половину, затем половину оставшейся половины, далее половину следующего отрезка и так далее. Иначе говоря — вы проходите половину всего расстояния, затем четверть, одну восьмую, одну шестнадцатую — количество уменьшающихся отрезков пути стремится к бесконечности, так как любую оставшуюся часть можно разделить надвое, значит пройти весь путь целиком невозможно. Формулируя несколько надуманный на первый взгляд парадокс, Зенон хотел показать, что математические законы противоречат реальности, ведь на самом деле вы можете без труда пройти всё расстояние без остатка.
7. Апория «Летящая стрела»
Знаменитый парадокс Зенона Элейского затрагивает глубочайшие противоречия в представлениях учёных о природе движения и времени. Апория сформулирована так: стрела, выпущенная из лука, остаётся неподвижной, так как в любой момент времени она покоится, не совершая перемещения. Если в каждый момент времени стрела покоится, значит она всегда находится в состоянии покоя и не движется вообще, так как нет момента времени, в который стрела перемещается в пространстве.
Выдающиеся умы человечества веками пытаются разрешить парадокс летящей стрелы, однако с логической точки зрения он составлен абсолютно верно. Для его опровержения требуется объяснить, каким образом конечный временной отрезок может состоять из бесконечного числа моментов времени — доказать это не удалось даже Аристотелю, убедительно критиковавшему апорию Зенона. Аристотель справедливо указывал, что отрезок времени нельзя считать суммой неких неделимых изолированных моментов, однако многие учёные считают, что его подход не отличается глубиной и не опровергает наличие парадокса. Стоит отметить, что постановкой проблемы летящей стрелы Зенон стремился не опровергнуть возможность движения, как таковую, а выявить противоречия в идеалистических математических концепциях.
8. Парадокс Галилея
В своём труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилео Галилей предложил парадокс, демонстрирующий любопытные свойства бесконечных множеств. Учёный сформулировал два противоречащих друг другу суждения. Первое: есть числа, представляющие собой квадраты других целых чисел, например 1, 9, 16, 25, 36 и так далее. Существуют и другие числа, у которых нет этого свойства — 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и тому подобные. Таким образом, общее количество точных квадратов и обычных чисел должно быть больше, чем количество только точных квадратов. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, а для каждого квадрата существует целый квадратный корень, то есть, количество квадратов равно количеству натуральных чисел.
На основании этого противоречия Галилей сделал вывод, что рассуждения о количестве элементов применены только к конечным множествам, хотя позже математики ввели понятие, мощности множества — с его помощью была доказана верность второго суждения Галилея и для бесконечных множеств.
9. Парадокс мешка картофеля
Допустим, у некоего фермера имеется мешок картофеля весом ровно 100 кг. Изучив его содержимое, фермер обнаруживает, что мешок хранился в сырости — 99% его массы составляет вода и 1% остальные вещества, содержащиеся в картофеле. Он решает немного высушить картофель, чтобы содержание воды в нём снизилось до 98% и переносит мешок в сухое место. На следующий день оказывается, что, один литр (1 кг) воды действительно испарился, но вес мешка уменьшился со 100 до 50 кг, как такое может быть? Давайте посчитаем — 99% от 100 кг это 99 кг, значит соотношение массы сухого остатка и массы воды изначально было равно 1/99. После сушки вода насчитывает 98% от общей массы мешка, значит соотношение массы сухого остатка к массе воды теперь составляет 1/49. Так как масса остатка не изменилась, оставшаяся вода весит 49 кг.
Конечно, внимательный читатель сразу обнаружит грубейшую математическую ошибку в расчётах — мнимый шуточный «парадокс мешка картофеля» можно считать отличным примером того, как с помощью на первый взгляд «логичных» и «научно подкреплённых» рассуждений можно буквально на пустом месте выстроить теорию, противоречащую здравому смыслу.
10. Парадокс воронов
Проблема также известна, как парадокс Гемпеля — второе название она получила в честь немецкого математика Карла Густава Гемпеля, автора её классического варианта. Проблема формулируется довольно просто: каждый ворон имеет чёрный цвет. Из этого следует, что всё, что не чёрного цвета, не может быть вороном. Этот закон называется логическая контрапозиция, то есть если некая посылка «А» имеет следствие «Б», то отрицание «Б» равнозначно отрицанию «А». Если человек видит чёрного ворона, это укрепляет его уверенность, что все вороны имеют чёрный окрас, что вполне логично, однако в соответствии с контрапозицией и принципом индукции, закономерно утверждать, что наблюдение предметов не чёрного цвета (скажем, красных яблок) также доказывает, что все вороны окрашены в чёрный цвет. Иными словами — то, что человек живёт в Санкт-Петербурге доказывает, что он живёт не в Москве.
С точки зрения логики парадокс выглядит безукоризненно, однако он противоречит реальной жизни — красные яблоки никоим образом не могут подтверждать тот факт, что все вороны чёрного цвета.
Парадокс картофеля
Парадокс картофеля — пример математического расчёта, результат которого противоречит интуиции. Этот парадокс предполагает высушивание картофеля на незначительную на первый взгляд величину, однако вычисляемое изменение массы оказывается больше интуитивно ожидаемого.
Парадокс формулируется таким образом:
«Имеется 100 кг картофеля, имеющего 99 процентов воды по массе. Картофель высушивается до значения 98 процентов воды. Какова теперь масса картофеля?»
В классификации парадоксов Куайна парадокс картофеля относится к «достоверным».
Одно из объяснений начинает с того, что изначально масса сухого вещества составляет 1 кг, что составляет 1 % от 100 кг. Затем задаётся вопрос: 1 кг — это 2 % от скольких кг? Для того, чтобы эта доля стала в два раза больше, общая масса должен быть вдвое больше.
100 кг картофеля, 99 % воды (по массе), означает 99 кг воды и 1 кг сухого остатка. Это соотношение 1:99.
Если количество воды уменьшится до 98 %, сухое вещество составляет 2 % от массы. Соотношение 2:98 уменьшается до 1:49. Поскольку сухое вещество по-прежнему весит 1 кг, вода должна весить 49 кг, что даёт в ответе суммарную массу 50 кг.
Ответ сохраняется при любом удваивании доли сухого вещества. Например, если картофель изначально содержит 99,999 % воды, снижение процента до 99,998 % по-прежнему требует уменьшения массы вдвое.
Визуализация парадокса картофеля: синие квадратики представляют 99 частей воды, а оранжевый — 1 часть сухого вещества (левый рисунок). Чтобы довести соотношение сухого вещества и воды до 1:49, количество воды уменьшается до 49, чтобы сохранить одинаковое количество сухой части (средний рисунок). Это эквивалентно удвоению концентрации сухой части (рисунок справа)
У Васи есть 2 кг картофана и 198 литров воды.
Вася закидывает всё в цистерну.
-Вася, а что у тебя в цистерне?
-99% воды и 1% картофана.
-А можно я у тебя воды вычерпаю немого, чтобы уменьшить соотношение до 98% воды и 2% картофана?
— Эээ, нет, брат. Чтобы картофана стало не 1%, а 2%, т.е. чтобы его доля увеличилась в 2 раза за счёт уменьшения доли воды, надо уменьшить долю воды в 2 раза, да ещё и вычесть половину массы картофана!
Ты решил у меня спереть 100 литров воды, но меня не проведёшь!
Хорошая попытка, уважаемая продавщица овощного отдела, но пройдёмте, всё-таки, к контрольным весам.
Я понял одно- картошку сушить нельзя.
50 кілаграмау таму што другія 50 беларус з‘ядае сам
Долгие века люди бились над этим парадоксом, пока не пошли в 5 класс средней школы. Там марьванна научила их простым пропорциям и уравнениям с 1 неизвестным. 100-99, х-98.
раньше кило крахмала (иличотам) это было 1%, т.е. 1/100 массы. всего 100 кг.
теперь тот же кило крахмала составляет 2%, т.е. 1/50 массы. раз так, то теперь всего 50 кг.
так что не, не парадокс.
хуйня это, а не парадокс
«Конечно, внимательный читатель сразу обнаружит грубейшую математическую ошибку в расчётах — мнимый шуточный «парадокс мешка картофеля» можно считать отличным примером того, как с помощью на первый взгляд «логичных» и «научно подкреплённых» рассуждений можно буквально на пустом месте выстроить теорию, противоречащую здравому смыслу.»
что бы проще понять что это бред, спроктируйте на себя задачу
«в сусahuhe88 110 кг весу, из них 50% это жир и 50% алкоголя прочих органов и веществ, cycahuh88 пошел в спорт зал и высушил жир до 49% своей туши, что, cycahuh стал весить 55 кг?»
вот вам ещё один «парадокс»
Сапожник сделал сапоги и сказал подмастерью продать их за 25 рублей. К подмастерью на рынке подошло двое инвалидов (у одного нет левой ноги, у другого – правой), и он продал им по сапогу за 12,50 соотвественно. Возвращается, отдает деньги сапожнику и рассказывает, как удачно продал… А сапожник отвечает: «ну что ж ты, инвалидам надо было сделать скидку. Держи 5 рублей, разыщи их и верни по 2,50». А подмастерье решил отдать инвалидам только по рублю, а остальные три рубля пропил. Нашел инвалидов и отдал каждому по рублю.
Вышло, что сапоги обошлись инвалидам по 11,50. 11,50+11,50 = 23 и еще 3 рубля пропиты. Итого: 26 рублей, а было 25. Откуда лишний рубль?
