какой парадокс существует в математике ответ в игре миллионер парадокс тыквы
Разгадка трех известных математических парадоксов
В прошлой статье я рассказал про три математических парадокса. Теперь же пришло время разобраться, как эти парадоксы разрешаются.
1. Парадокс маляра.
Кратко состоит в том, что бесконечный цилиндр можно окрасить конечным числом краски (почему конечным, читайте по ссылке в начале материала).
Так в чем же загвоздка? Ключевой момент: утверждая, что не можем покрасить плоскую фигуру (слева на рисунке), мы говорим о том, что мы хотели бы покрасить её слоем краски одной толщины.
Предлагаемый нами в прошлом материале способ окраски как раз исходит из предположения, что каждый следующий цилиндр будет окрашен всё меньшим слоем краски, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в π см2, будет сходиться к конечному значению.
Кроме того, мы не учитываем, что толщина слоя краски не может быть меньше размера молекулы. Если заливать краску в такой цилиндр, то рано или поздно, когда линейные размеры ступеньки будут меньше размера молекулы краски, краска попросту «не пролезет» ниже. Тогда погруженную в такой сосуд пластинку покрасить полностью не получится. Но это уже в мире физики, в мире математике возможно всё.
№2. Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона
Поразмышляем, за какую самую меньшую цену можно продать сатанинскую бутылку?
Во-первых, очевидно, что продать бутылку дешевле минимальной разменной монеты нельзя. Пусть минимальной монетой будет 1 цент. Получается, что купив её за 1 цент продать с убытком для себя ее будет невозможно.
Во-вторых, бутылку сложно продать и за 2 и за 3, и вообще за конечное число центов, ведь Ваш покупатель, осознавая последствия будет отказываться от такой сделки, рискуя не найти покупателя в дальнейшем.
В-третьих, если цена бутылки достаточно высока, вероятность продать ее есть. Впрочем, она уменьшается с каждой продажей и зависит от убытка с которой она была произведена.
В книге главный герой всеми силами пытается выбраться из «западни», но ответа на главный вопрос: «за какую минимальную цену можно продать бутылку» у него нет.
Таким образом, логически парадокс не разрешим.
3. Парадокс картофеля
Пусть имеется 100 кг картофеля, имеющего 99 процентов воды по массе. Картофель просушивают и получают 98% процентов воды. Какая теперь масса картофеля?
В первую очередь кажется, что масса картошки изменится совсем незначительно. Однако дальнейшие рассуждения показывают обратное.
Действительно, пусть в начале у нас 100 кг картошки, состоящих из 99 кг воды и 1 кг сухого остатка. Таким образом, соотношение вода/сухой остаток = 1/99. Теперь, если процент воды уменьшится до 98%, сухого вещества останется 2% от массы. Соотношение вода/сухой остаток = 1/49. Ключевой момент: масса сухого остатка как была равна 1 кг, так и остается. Таким образом в полученной смеси мы имеем 49 кг воды и 1 кг сухого остатка: в общей сложности 50 кг.
Математический парадокс: самые интересные и противоречивые
Математический парадокс: самые интересные и противоречивые: Pixabay
Математические парадоксы противоречат здравому смыслу и кажутся невероятными. Теоремы, которые основаны на логике, могут быть странными и сложными для понимания. Какие из математических парадоксов вызывают у общества самый живой интерес?
Парадокс выворачивания сферы
В чем суть парадокса выворачивания сферы? Она стоит в том, что чашка эквивалентна тороиду (поверхности вращения), которая внешне напоминает пончик. Это доказывает топология — раздел математики по изучению явления непрерывности, свойств пространства и типов деформаций, которые происходят без разрывов и склеиваний.
Примером объекта, который изучает топология, служит лента Мёбиуса. У ее поверхности только одна сторона и один край. Проще говоря, пончик можно вывернуть так, чтобы он превратился в чашку кофе, используя скручивание и растягивание. Для этого достаточно проделать следующие действия:
Топологи давно пытаются ответить на вопрос, можно ли вывернуть сферу. Это кажется невозможным, но есть видео, наглядно демонстрирующее, что это реально. Способ выворачивания сфер создал французский тополог Бернард Морин.
Парадокс ограниченности групп орнаментов
В чем суть математического парадокса ограниченности групп орнаментов? Если варианты рисунков на обоях кажутся людям неограниченными, то это заблуждение. В архитектуре и декоративном искусстве существует всего семнадцать групп орнаментов (групп плоской симметрии, плоских кристаллографических групп).
Говоря математическим языком, количество геометрических шаблонов конечно. Сгруппировать по этим шаблонам можно разные рисунки, это могут быть:
Группы орнаментов — это двумерные группы симметрии. Неважно, какого размера, цвета, стиля или ориентации рисунок, он все равно легко впишется в одну из семнадцати групп.
Группа плоской симметрии : Pixabay
Парадокс кучи
В чем суть математического парадокса кучи? Он состоит в том, что невозможно точно определить, в какой момент одно зернышко становится кучей или, наоборот, когда куча перестанет быть кучей, если удалять из нее по одному зерну.
Получается, что добавление по одному зернышку к совокупности не становится неоспоримой предпосылкой для образования кучи. Так в какой момент времени одно зернышко становится тем, что называют кучей?
Этот логический математический парадокс в IV веке до нашей эры впервые сформулировал древнегреческий философ Евбулид. Другое название парадокса кучи — парадокс сорита. На основании этого Евбулид сформулировал другие парадоксы. Среди них парадокс лысого, который в форме вопроса звучит так: «Если волосы на голове выпадают по одному, то с какого момента человек считается лысым?».
Парадокс Галилея
В чем суть математического парадокса Галилея? Натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел. Пример: во множестве 1, 2, 3, 4 содержится столько же элементов, как и во множестве, которое было образовано при возведении цифр первого множества в квадрат: 1, 4, 9, 16.
Галилей описал парадокс в своей последней работе «Две науки», в которой привел суждения, которые противоречат друг другу:
Выходит, что точных квадратов вместе с обычными числами должно быть больше, чем самих точных квадратов. Галилей нашел противоречие своей же теории, описанной им ранее в «Науках». Его теорию доработал немецкий математик Георг Кантор, введя понятие «мощность множества».
Парадокс Галилея : Pexels
Парадокс спирали простых чисел
В чем суть математического парадокса спирали простых чисел? Американский и польский математик Станислав Улам на одном скучном докладе решил развлечь себя рисованием. Он расчертил лист бумаги вертикальными и горизонтальными линиями, решив набросать шахматный этюд. Но передумал и начал нумеровать клетки. Центральную обозначил единицей и стал писать цифры в порядке возрастания по спирали влево.
Вскоре он обнаружил закономерность: если записывать целые числа по спирали, простые числа (делятся на единицу и на себя), выстраиваются вдоль диагональных линий. При этом они лежат на одних диагоналях, но их практически нет на других. Интересно, что закономерность наблюдается вне зависимости от того, с какого числа начать писать цифровую спираль.
Парадокс скатерть Улама был назван в честь человека, который ее открыл. Вместе с единомышленниками Майроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом математик продолжал изучение спирали простых чисел. Позже появились другие вариации «скатерти Улама»:
Парадокс дней рождения (принцип Дирихле)
Принцип Дирихле впервые в 1939 году изучил австрийский математик и механик Рихард Мизес. Он был основан на принципе здравого смысла, который сформулировал немецкий математик Петер Густав Дирихле. На примере готовых математических расчетов парадокс дней рождения рассмотрел Джозеф Мазур в книге «Игра случая. Математика и мифология совпадения».
В чем суть математического парадокса дней рождения? Если взять произвольную группу из 23+ человек, то вероятность совпадения дат дня рождения у 2 членов группы превысит 50%. Когда число людей в группе станет более 60, вероятность совпадения достигнет 99%. В группе численностью более 367 человек у 2 человек обязательно будут дни рождения в один и тот же день.
Само утверждение может показаться неочевидным, но математические расчеты подтверждают его справедливость, и в этом состоит суть парадокса дней рождения.
Парадокс дней рождения (принцип Дирихле): Pixabay
Парадокс Тристрама Шенди
В чем суть математического парадокса Тристрама Шенди? Следуя логике главного героя незаконченного юмористического романа «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» Лоренса Стерна, можно сказать следующее: если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.
В книге герой сетует на то, что для изложения первого дня жизни ему понадобился целый год, и столько же он потратил на описание второго дня. Он считает, что автобиографический материал будет накапливаться быстрее, чем он будет его обрабатывать и излагать на бумаге. Так его биография никогда не будет завершена.
Апеллируя к его аргументам, британский философ, логик, математик и общественный деятель Бертран Рассел вывел утверждение, что если бы он даже жил вечно и не устал от написания автобиографии, он смог бы дописать книгу своей жизни в полном объеме. Это подтверждает Н. Бурбаки (псевдоним группы французских математиков) в книге «Теория множеств».
Дихотомия Зенона, или парадокс математической модели движения
В чем суть математического парадокса теории движения? Для преодоления всего пути необходимо пройти его половину. Но чтобы преодолеть данную половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины. И так будет продолжаться до бесконечности. Вывод: движение невозможно.
Этот парадокс был назван дихотомией Зенона, в честь древнегреческого философа Зенона Элейского, известного своими апориями — парадоксальными утверждениями. Дихотомия Зенона легла в основу фантастического рассказа «О неутомимой лягушке» писателя Филипа Дика.
Парадокс математической модели движения: Pixabay
Парадокса маляра
В чем суть математического парадокса маляра? Фигура с бесконечной площадью поверхности может быть окрашена конечным количеством краски. Как объясняет А. А. Панов, утверждение строится на том факте, что вся фигура покрывается слоем краски неодинаковой толщины. В этом и состоит суть малярного парадокса.
Предполагается, что каждый последующий сегмент фигуры будет покрыт все более тонким слоем краски. Это возможно, если фигура будет образованна в результате вращения вокруг горизонтальной оси кривой функции y=1/х (рог или конус).
Используя расчеты площади и объема такой фигуры, можно прийти к выводу, что бесконечно длинный рог имеет конечный объем, и он равен 2π. Площадь поверхности такой фигуры будет бесконечной.
Математические парадоксы хороши тем, что заставляют задуматься. Они наглядно демонстрируют, что математика — интересная наука, которая применима к повседневности. Изучая интересные математические парадоксы можно расширить мировоззрение, найти ответы на вопросы и стать автором новых научных открытий.
Узнавайте обо всем первыми
Подпишитесь и узнавайте о свежих новостях Казахстана, фото, видео и других эксклюзивах.
Кто хочет стать миллионером 17.04.2021 ответы в игре
В этот субботний вечер мы всей семьей собрались у голубых экранов, ведь в эфире замечательная интеллектуальная игра Кто хочет стать миллионером и ее ведущий Дмитрий Дибров. В этой игре пара игроков благодаря собственной эрудиции может заработать до трех миллионов рублей.
Игра интерактивная и телезрители так же могут принять в ней участие при помощи пульта от собственного телевизора. Ну а мы поможем вам выиграть – ведь у нас есть правильные ответы на вопросы в игре Кто хочет стать миллионером от 17.04.2021 года. В студии сегодня безлюдно, и похоже теперь это новый формат программы надолго с нами.
Борис Каморзин и Юрий Чурсин
(200 000 – 0 рублей)
Игроки берут подсказку «Замена вопроса»
К сожалению, игроки неправильно ответили на этот вопрос. Далее в игру вступают Юрий Тарасов и Егор Клейменов, которые выбрали в качестве несгораемой сумму в 100 000 рублей.
Юрий Тарасов и Егор Клейменов
(100 000 – 50 000 рублей)
Игроки берут подсказку «Замена вопроса»
Игроки решили забрать 50 тысяч рублей. Далее в игру вступают Евгений Князев и Александр Олешко, которые выбрали 200 000 рублей в качестве несгораемой суммы.
Евгений Князев и Александр Олешко
(200 000 – 0 рублей)
Игроки берут подсказку «Замена вопроса»
К сожалению, игроки неправильно ответили на этот вопрос, и ушли из студии без выигрыша.
Какой парадокс существует в математике ответ в игре миллионер парадокс тыквы
Ещё в древние времена учёные и философы заметили, что есть утверждения, к которым непонятно как относиться. И что удивительно — непонятно до сих пор. Это не загадки, потому что у них нет разгадок. Подобные утверждения называют парадоксы.
Эта статья была опубликована в журнале OYLA №2(18). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.
Многие парадоксы возникли в древности, когда появилась наука под названием логика. Эта наука, в частности, изучает утверждения, которые могут быть либо правдивые (истинные), либо не правдивые (ложные).
Один из самых известных и древних парадоксов — «Парадокс лжеца». Допустим, некто утверждает: «То, что я сейчас говорю — ложь», или короче: «Я лгу». Его слова могут иметь лишь два смысла — либо утверждение истинное (это на самом деле так), либо ложное (на самом деле это не так). Пусть, к примеру, оно будет истинное, то есть, говоря «Я лгу», человек говорит то, что есть на самом деле, то есть правду. Но раз он говорит правду, то значит его утверждение «Я лгу» — ложно. Получается, что если утверждение — истинное, то это приводит к тому, что оно — ложно.
А теперь предположим, что это не так, и его утверждение — ложно. Значит, утверждая «Я лгу», он обманывает. Но тогда выходит, что он на самом деле лжёт, и его утверждение «Я лгу» — истинное. Теперь получается, что наше предположение о том, что утверждение — ложно, приводит к тому, что оно — истинное. Да, как ни крути, такое утверждение приходится признать и истинным, и ложным, причём одновременно. Парадокс, да и только!
На основе парадокса лжеца создано множество парадоксов, все они называются логическими. Вот, например, сказочному персонажу Буратино иногда приписывают интересное свойство: когда он говорил неправду, его нос удлинялся. Попробуй отгадать, что будет с носом Буратино, если он скажет «Мой нос сейчас удлинится»?
Давай рассуждать логично. Если Буратино сказал правду, тогда получается, что его нос не должен удлиняться. Но если нос не вырастет, выходит, Буратино солгал, и нос должен вырасти.
Теперь допустим, что Буратино солгал — тогда его нос вырастет. Но если нос вырастет, то значит, Буратино сказал правду, и его нос не должен расти! И здесь получается, что нос Буратино и должен, и не должен вырасти. Наверное, хитроумный сынишка папы Карло воспользовался этим: так и не решив задачу о парадоксе, его нос заклинило, и он больше не может удлиняться.
Кроме логических, есть ещё парадоксы самоотносимости. Главный герой такого парадокса пытается применить его условия по отношению к самому себе. Вот какой парадокс придумал знаменитый британский философ и математик Бертран Рассел в начале ХХ века, и вовсе не для развлечения, а когда занимался одной из математических теорий.
Бертран Рассел
Выдающийся английский мыслитель, внёсший неоценимый вклад в математическую логику, историю философии и теорию познания. Рассела признают одним из наиболее влиятельных логиков XX века. В 1950 году получил Нобелевскую премию по литературе.
В одной деревне был один-единственный парикмахер-брадобрей. Для работы ему было установлено твёрдое правило: он должен брить только тех жителей деревни, которые не бреются сами. Казалось бы, нормальное правило. Вот только у самого брадобрея тоже растёт борода, и встал вопрос: может ли он сам себя побрить?
Получается, что может и… не может. Посуди сам:
если он себя не бреет, значит, согласно правилу, он себя брить может.
Но если он будет бриться сам, то опять же по правилу он не имеет права себя брить.
И хотя Рассел сформулировал этот парадокс строго математически, брадобрею от этого не легче: придётся ему ехать бриться в другую деревню.
Из школьных уроков математики всем известно, что такое натуральные числа: это 1, 2, 3, 4, 5… и так далее до бесконечности. Только само понятие бесконечности приводит к парадоксальным свойствам этих чисел.
Среди натуральных чисел, как известно, есть чётные. Может сложиться впечатление, что натуральных чисел больше, чем чётных. Вроде бы логично, ведь чётные числа — это только часть натуральных чисел.
Но математика утверждает, что чётных чисел столько же, сколько натуральных! Представь себе две строки чисел, в одной — все натуральные числа, а во второй — чётные, то есть числа, полученные умножением на два каждого числа первой строки (1×2 = 2, 2×2 = 4, 3×2 = 6, 4×2 = 8, 5×2 = 10…):
И если эти две строки с числами продолжать до бесконечности, то под каждым натуральным числом будет стоять чётное число. Выходит, что чётных чисел не меньше, чем натуральных.
На это удивительное свойство бесконечности обратил внимание в XVII веке знаменитый итальянский учёный Галилео Галилей, который одним из первых и сформулировал этот парадокс.
Галилео Галилей
Итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. Галилей — основатель экспериментальной физики. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики.
Парадоксы возникают не только в математике, но и в физике тоже, если смотреть на физические процессы слишком умозрительно. Ещё в древние времена учёные понимали, что органы чувств могут нас обманывать, и не всегда можно полагаться на них при изучении природы. Мы знаем, например, что не Солнце вращается вокруг Земли, а совсем наоборот. Или что молекулы существуют, хотя наши глаза их не видят.
Неудивительно, что у древних учёных при изучении движения тел разумом, а не зрением, возник интересный парадокс.
Человек движется из точки А в точку Б. Древний философ стал рассуждать по этому поводу так: чтобы пройти расстояние от А до Б человек должен пройти сначала половину этого расстояния. Ну, кто бы спорил, так и есть. Но дотошный философ не успокаивается, и утверждает: чтобы пройти половину расстояния, человек должен сначала пройти его четверть (то есть половину этой половины). Да, опять верно. А теперь — дальше рассуждает мыслитель — человеку сначала нужно пройти одну восьмую часть пути (то есть половину четверти). И опять приходится согласиться. И теперь, считает философ, опять делим этот отрезок пополам… Это рассуждение можем продолжать до бесконечности. И значит, человек не сможет сдвинуться с места — потому что так до бесконечности и будет пытаться преодолеть хотя бы один крохотный отрезок пути.
Значит, движения нет, потому что оно невозможно! Только всё в мире движется, невзирая на парадоксы. Так происходит потому, что движение — процесс непрерывный, его не следует представлять как бесконечно большое прохождение отрезков. И это было хорошо известно уже во времена Пушкина, помните, как сказано у поэта: «Движенья нет, сказал мудрец брадатый, другой смолчал и стал пред ним ходить, сильнее бы не мог он возразить; хвалили все ответ замысловатый…».
Существуют и такие парадоксы, которые только на первый взгляд кажутся таковыми, а на самом деле — никакие не парадоксы. Легенда гласит, что когда-то одного философа приговорили к смертной казни. Он сидел в тюрьме и ждал исполнения приговора. И вот, в воскресенье, к нему пришёл начальник тюрьмы, заявив, что его казнят по правилам, то есть: во-первых, казнь состоится в полдень в один из дней на следующей неделе; во-вторых, день казни будет для узника неожиданным.
Философ стал рассуждать. Казнить в воскресенье следующей недели его не могут, потому что казнить, как сказано, его должны на следующей неделе, а если его не казнят ни в один из дней с понедельника по субботу, то день казни не будет для него неожиданным. То есть дожив до вечера субботы следующей недели, философ точно будет знать, что его казнят завтра (в воскресенье). Эффект неожиданности пропадает. А это противоречит правилу. Значит, воскресенье не может быть днём казни.
Но тогда его не могут казнить и в субботу, потому что если его не казнят ни в один из дней с понедельника по пятницу, значит, казнь состоится в субботу (так как воскресенье уже исключается), и день казни опять не будет неожиданным.
Так, пойдём дальше. Пятница тоже исключается, по той же самой логике: суббота и воскресенье уже исключены, значит, если не казнят с понедельника по четверг, пятница не будет неожиданным днём казни.
Так он исключил и четверг, а затем и все дни недели, и пришёл к выводу, что по правилам, его не могут казнить ни в один из дней недели. Вот радость-то у него была, и радовался он до самого вторника, когда к нему неожиданно пришли палачи.
Жаль, конечно, что начальник тюрьмы не был так искушён в парадоксах, как несчастный философ, но дело не в этом, а в том, что приговорённый узник, вроде бы логично исключив все дни недели, сам сделал так, что любой из дней недели стал для него неожиданным днём казни! Осторожнее надо с парадоксами.
10 занимательных логических парадоксов
Учёные и мыслители с давних времён любят развлекать себя и коллег постановкой неразрешимых задач и формулированием разного рода парадоксов. Некоторые из подобных мысленных экспериментов сохраняют актуальность на протяжении тысяч лет, что свидетельствует о несовершенстве многих популярных научных моделей и «дырах» в общепринятых теориях, давно считающихся фундаментальными. Предлагаем вам поразмыслить над наиболее интересными и удивительными парадоксами, которые, как сейчас выражаются, «взорвали мозг» не одному поколению логиков, философов и математиков.
1. Апория «Ахиллес и черепаха»
Парадокс Ахиллеса и черепахи — одна из апорий (логически верных, но противоречивых высказываний), сформулированных древнегреческим философом Зеноном Элейским в V-м веке до нашей эры. Суть её в следующем: легендарный герой Ахиллес решил посоревноваться в беге с черепахой. Как известно, черепахи не отличаются прыткостью, поэтому Ахиллес дал сопернику фору в 500 м. Когда черепаха преодолевает эту дистанцию, герой пускается в погоню со скоростью в 10 раз большей, то есть пока черепаха ползёт 50 м, Ахиллес успевает пробежать данные ей 500 м форы. Затем бегун преодолевает следующие 50 м, но черепаха в это время отползает ещё на 5 м, кажется, что Ахиллес вот-вот её догонит, однако соперница всё ещё впереди и пока он бежит 5 м, ей удаётся продвинуться ещё на полметра и так далее. Дистанция между ними бесконечно сокращается, но по идее, герою так и не удаётся догнать медлительную черепаху, она ненамного, но всегда опережает его.
Конечно, с точки зрения физики парадокс не имеет смысла — если Ахиллес движется намного быстрее, он в любом случае вырвется вперёд, однако Зенон, в первую очередь, хотел продемонстрировать своими рассуждениями, что идеализированные математические понятия «точка пространства» и «момент времени» не слишком подходят для корректного применения к реальному движению. Апория выявляет расхождение между математически обоснованной идеей, что ненулевые интервалы пространства и времени можно делить бесконечно (поэтому черепаха должна всегда оставаться впереди) и реальностью, в которой герой, конечно, выигрывает гонку.
2. Парадокс временной петли
Парадоксы, описывающие путешествия во времени, давно служат источником вдохновения для писателей-фантастов и создателей научно-фантастических фильмов и сериалов. Существует несколько вариантов парадоксов временной петли, один из самых простых и наглядных примеров подобной проблемы привёл в своей книге «The New Time Travelers» («Новые путешественники во времени») Дэвид Туми, профессор из Университета Массачусетса.
Представьте себе, что путешественник во времени купил в книжном магазине экземпляр шекспировского «Гамлета». Затем он отправился в Англию времён Королевы-девы Елизаветы I и отыскав Уильяма Шекспира, вручил ему книгу. Тот переписал её и издал, как собственное сочинение. Проходят сотни лет, «Гамлета» переводят на десятки языков, бесконечно переиздают, и одна из копий оказывается в том самом книжном магазине, где путешественник во времени покупает её и отдаёт Шекспиру, а тот снимает копию и так далее… Кого в таком случае нужно считать автором бессмертной трагедии?
3. Парадокс девочки и мальчика
В теории вероятностей этот парадокс также называют «Дети мистера Смита» или «Проблемы миссис Смит». Впервые он был сформулирован американским математиком Мартином Гарднером в одном из номеров журнала «Scientific American». Учёные спорят над парадоксом уже несколько десятилетий и существует несколько способов его разрешения. Поразмыслив над проблемой, вы можете предложить и свой собственный вариант.
В семье есть двое детей и точно известно, что один из них — мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже имеет мужской пол? На первый взгляд, ответ вполне очевиден — 50 на 50, либо он действительно мальчик, либо девочка, шансы должны быть равными. Проблема в том, что для двухдетных семей существует четыре возможных комбинации полов детей — две девочки, два мальчика, старший мальчик и младшая девочка и наоборот — девочка старшего возраста и мальчик младшего. Первую можно исключить, так как один из детей совершенно точно мальчик, но в таком случае остаются три возможных варианта, а не два и вероятность того, что второе чадо тоже мальчик — один шанс из трёх.
4. Парадокс Журдена с карточкой
Проблему, предложенную британским логиком и математиком Филиппом Журденом в начале XX-го века, можно считать одной из разновидностей знаменитого парадокса лжеца.
Представьте себе — вы держите в руках открытку, на которой написано: «Утверждение на обратной стороне открытки истинно». Перевернув открытку, вы обнаруживаете фразу «Утверждение на другой стороне ложно». Как вы понимаете, противоречие налицо: если первое утверждение правдиво, то второе тоже соответствует действительности, но в таком случае первое должно оказаться ложным. Если же первая сторона открытки лжива, то фразу на второй также нельзя считать истинной, а это значит, первое утверждение опять-таки становится правдой… Ещё более интересный вариант парадокса лжеца — в следующем пункте.
5. Софизм «Крокодил»
Отрицательный ответ женщины всё значительно усложняет — если он оказывается верным, похититель должен выполнить условия сделки и отпустить дитя, но таким образом ответ матери не будет соответствовать действительности. Чтобы обеспечить лживость такого ответа, крокодилу нужно вернуть ребёнка матери, но это противоречит договору, ведь её ошибка должна оставить чадо у крокодила.
Стоит отметить, что сделка, предложенная крокодилом, содержит логическое противоречие, поэтому его обещание невыполнимо. Автором этого классического софизма считается оратор, мыслитель и политический деятель Коракс Сиракузский, живший в V-м веке до нашей эры.
6. Апория «Дихотомия»
Ещё один парадокс от Зенона Элейского, демонстрирующий некорректность идеализированной математической модели движения. Проблему можно поставить так — скажем, вы задались целью пройти какую-нибудь улицу вашего города от начала и до конца. Для этого вам необходимо преодолеть первую её половину, затем половину оставшейся половины, далее половину следующего отрезка и так далее. Иначе говоря — вы проходите половину всего расстояния, затем четверть, одну восьмую, одну шестнадцатую — количество уменьшающихся отрезков пути стремится к бесконечности, так как любую оставшуюся часть можно разделить надвое, значит пройти весь путь целиком невозможно. Формулируя несколько надуманный на первый взгляд парадокс, Зенон хотел показать, что математические законы противоречат реальности, ведь на самом деле вы можете без труда пройти всё расстояние без остатка.
7. Апория «Летящая стрела»
Знаменитый парадокс Зенона Элейского затрагивает глубочайшие противоречия в представлениях учёных о природе движения и времени. Апория сформулирована так: стрела, выпущенная из лука, остаётся неподвижной, так как в любой момент времени она покоится, не совершая перемещения. Если в каждый момент времени стрела покоится, значит она всегда находится в состоянии покоя и не движется вообще, так как нет момента времени, в который стрела перемещается в пространстве.
Выдающиеся умы человечества веками пытаются разрешить парадокс летящей стрелы, однако с логической точки зрения он составлен абсолютно верно. Для его опровержения требуется объяснить, каким образом конечный временной отрезок может состоять из бесконечного числа моментов времени — доказать это не удалось даже Аристотелю, убедительно критиковавшему апорию Зенона. Аристотель справедливо указывал, что отрезок времени нельзя считать суммой неких неделимых изолированных моментов, однако многие учёные считают, что его подход не отличается глубиной и не опровергает наличие парадокса. Стоит отметить, что постановкой проблемы летящей стрелы Зенон стремился не опровергнуть возможность движения, как таковую, а выявить противоречия в идеалистических математических концепциях.
8. Парадокс Галилея
В своём труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилео Галилей предложил парадокс, демонстрирующий любопытные свойства бесконечных множеств. Учёный сформулировал два противоречащих друг другу суждения. Первое: есть числа, представляющие собой квадраты других целых чисел, например 1, 9, 16, 25, 36 и так далее. Существуют и другие числа, у которых нет этого свойства — 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и тому подобные. Таким образом, общее количество точных квадратов и обычных чисел должно быть больше, чем количество только точных квадратов. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, а для каждого квадрата существует целый квадратный корень, то есть, количество квадратов равно количеству натуральных чисел.
На основании этого противоречия Галилей сделал вывод, что рассуждения о количестве элементов применены только к конечным множествам, хотя позже математики ввели понятие, мощности множества — с его помощью была доказана верность второго суждения Галилея и для бесконечных множеств.
9. Парадокс мешка картофеля
Допустим, у некоего фермера имеется мешок картофеля весом ровно 100 кг. Изучив его содержимое, фермер обнаруживает, что мешок хранился в сырости — 99% его массы составляет вода и 1% остальные вещества, содержащиеся в картофеле. Он решает немного высушить картофель, чтобы содержание воды в нём снизилось до 98% и переносит мешок в сухое место. На следующий день оказывается, что, один литр (1 кг) воды действительно испарился, но вес мешка уменьшился со 100 до 50 кг, как такое может быть? Давайте посчитаем — 99% от 100 кг это 99 кг, значит соотношение массы сухого остатка и массы воды изначально было равно 1/99. После сушки вода насчитывает 98% от общей массы мешка, значит соотношение массы сухого остатка к массе воды теперь составляет 1/49. Так как масса остатка не изменилась, оставшаяся вода весит 49 кг.
Конечно, внимательный читатель сразу обнаружит грубейшую математическую ошибку в расчётах — мнимый шуточный «парадокс мешка картофеля» можно считать отличным примером того, как с помощью на первый взгляд «логичных» и «научно подкреплённых» рассуждений можно буквально на пустом месте выстроить теорию, противоречащую здравому смыслу.
10. Парадокс воронов
Проблема также известна, как парадокс Гемпеля — второе название она получила в честь немецкого математика Карла Густава Гемпеля, автора её классического варианта. Проблема формулируется довольно просто: каждый ворон имеет чёрный цвет. Из этого следует, что всё, что не чёрного цвета, не может быть вороном. Этот закон называется логическая контрапозиция, то есть если некая посылка «А» имеет следствие «Б», то отрицание «Б» равнозначно отрицанию «А». Если человек видит чёрного ворона, это укрепляет его уверенность, что все вороны имеют чёрный окрас, что вполне логично, однако в соответствии с контрапозицией и принципом индукции, закономерно утверждать, что наблюдение предметов не чёрного цвета (скажем, красных яблок) также доказывает, что все вороны окрашены в чёрный цвет. Иными словами — то, что человек живёт в Санкт-Петербурге доказывает, что он живёт не в Москве.
С точки зрения логики парадокс выглядит безукоризненно, однако он противоречит реальной жизни — красные яблоки никоим образом не могут подтверждать тот факт, что все вороны чёрного цвета.