Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.
теория по математике 📈 планиметрия
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.
Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.
Виды треугольников по углам
Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.
Виды треугольников по сторонам
Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.
| Разносторонний | Равнобедренный | Равносторонний |
| Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС. | Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. | Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС. |
 |  |  |
Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника
Медиана
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.
По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.
Биссектриса
Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.
В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD1, EE1 и CC1.
По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.
Высота
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.
На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН1, ВН2 и СН3.
По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.
Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.
Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.
Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.
Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.
Составим отношение сторон:
Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.
Составим отношение сторон:
Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.
Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Какой отрезок называется высотой треугольника
Здравствуйте!
Помогите найти ответ на два вопроса:
Вопрос первый.
Какой отрезок называется высотой треугольника?
Ответ
Само название «высота» помогает понять, что это расстояние от основания треугольника до его вершины. Таким расстоянием будет являться перпендикулярный отрезок, который соединит вершину треугольника с его основанием.
В случае тупоугольного треугольника для проведения высоты необходимо продлить его основание так, чтобы перпендикуляр мог опустить на это продолжение. Если же треугольник любой другой (то есть остроугольный, прямоугольный, равносторонний, равнобедренный и т.п.), то высота будет проходить внутри него и никакое продление основания не потребуется.
Сформулируем определение высоты треугольника:
Высотой треугольника называют такой перпендикулярный отрезок, который соединяет вершину этого треугольника и прямую, которая содержит противоположную его сторону.
Вопрос второй.
Сколько высот можно провести у треугольника?
Ответ
Поскольку высотой треугольника является перпендикулярный отрезок, который соединяет его вершину с прямой, которая содержит противоположную его сторону, а таких углов и противолежащих им сторон у треугольника три пары, то и высот у любого треугольника может быть проведено три. В этом можно убедиться, если ставить треугольник каждый раз на одну из сторон и проводя при этом его высоту.
Треугольник
Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:
Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:
В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.
У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.
Высота
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.
Отрезок BN — это высота 
ABC. Отрезок EL высота DEF, опущенная на продолжение стороны DF.
Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.
Каждый треугольник имеет три высоты.
Биссектриса
Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.
Отрезок BN — это биссектриса ABC.
Каждый треугольник имеет три биссектрисы.
Медиана
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.
Отрезок BN — это медиана ABC.
Какой отрезок называют высотой треугольника сколько высот имеет треугольник?
Какой отрезок называют высотой треугольника сколько высот имеет треугольник.
Отрезок проведенный из угла треугольника к противоположной стороне под прямым углом.
Треугольник имеет 3 высоты.
Высота это отрезок проведённый из вершины угла на основание.
Всего три высоты имеет треугольник.
Какой отрезок называется медианой треугольника?
Какой отрезок называется медианой треугольника?
Сколько медиан имеет треугольник?
2. Многоугольником называется.
4. Треугольник имеет медиан.
7. Ломаной называется.
2)что называют периметром треугольника?
3)какие существуют виды треугольников в зависимости от вида их углов
4)какой треугольник называют прямоугольным?
5) какие два треугольника называют равными?
8)что называют высотой треугольника?
10)что называют бессиктрисой треугольника?
11)сколько у каждого треугольника высот?
Какой отрезок называется биссектрисой треугольника?
Какой отрезок называется биссектрисой треугольника?
Какой отрезок называют биссектрисой треугольника и сколько всего их можно провести в треугольнике?
Какой отрезок называют биссектрисой треугольника и сколько всего их можно провести в треугольнике.
В треугольниках MNK и MNP MK = MP, NK = NP?
В треугольниках MNK и MNP MK = MP, NK = NP.
Докажите, что отрезок MN содержит высоту треугольника KNP.
1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершинутреугольника с точкой противоположной стороны, называется :а) медианой б) биссектрисой в) высотой2?
1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину
треугольника с точкой противоположной стороны, называется :
а) медианой б) биссектрисой в) высотой
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны, называются :
а) медианой б) биссектрисой в) высотой.
Сколько медиан всего в треугольнике и какой отрезок называют медианом?
Сколько медиан всего в треугольнике и какой отрезок называют медианом.
Являются ли прямые BF и OP параллельными?
OF ^ 2 = FF1 ^ 2 + F1O ^ 2FF1 = 0. 5A1B1 = 2(средняя линия равностороннего треугольника)OF = 0. 5BB1 = 2OF ^ 2 = 4 + 4 = 8OF = sqrt8.
S₁ = 2πRH R = 2 / 2 = 1 H = 2πR = 2π S₁ = 2π·1·2π = 4π² (площадь боковой поверхности) S₂ = 2πR² + S₁ = 2π·1 + 4π² = 2π + 4π².
A = 8x b = 5x p = 140, 4 140, 4 = 2(8x + 5x) 70, 2 = 13x x = 5, 4 a = 43, 2 b = 27.
8х + 8х + 5х + 5х = 140, 4. 26х = 140, 4 х = 5, 4. 5, 4 * 5 = 27 одна сторона 5, 4 * 8 = 43, 2 вторая.
Больше отрезок СД на 43 см, чем отрезок АВ.
Треугольник и его виды. Элементы треугольника
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных между собой отрезками. Точки называются вершинами треугольника, отрезки – сторонами треугольника. Треугольник имеет три вершины и три стороны. Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Внутренние углы треугольника – это углы, образованные его сторонами. Угол А – это угол, образованный сторонами АВ и АС.
Виды треугольников по углам:
Виды треугольников по сторонам:
Элементы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
Биссектриса – это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части. Любой треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Любой треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину. Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.
Основные свойства треугольников
Внутренние углы треугольника относятся как 3:7:8. Найдите отношение внешних углов треугольника.
Чему равна градусная мера одного из углов прямоугольного треугольника?
Если в треугольнике один угол больше суммы двух других углов, то он
Если в треугольнике один внешний угол острый, то этот треугольник
Периметр равнобедренного треугольника равен 11 см, а основание равно 3 см. Найдите боковую сторону треугольника.
