какой операции над множествами соответствует рисунок

Электронная библиотека

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Рис. 1.1. Диаграмма Эйлера-Венна для объединения

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Рис. 1.2. Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Рис. 1.3. Диаграмма Эйлера-Венна для разности

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Рис. 1.4. Диаграмма Эйлера-Венна для симметрической разности

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Рис. 1.5. Диаграмма Эйлера-Венна для абсолютного дополнения

Пример 5. С помощью диаграмм Эйлера – Венна проиллюстрируем справедливость соотношения (рис. 6).

Рис. 1.6. Доказательство справедливости соотношения для примера 5

Убедились, что в обоих случаях получаем равные множества. Следовательно, исходное соотношение справедливо.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник

Операции над множествами

Пересечение множеств

Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Друзья Джона = <

Том,
Фред,
Макс,
Джорж >

Друзья Майкла = <

Лео,
Том,
Фред,
Эван >

Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда :

Общие друзья Джона и Майкла

В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

Символ ∩ означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:

Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D

Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.

Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.

Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:

Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.

Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6) :

Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8] :

Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]

Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7] :

Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:

Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Пример 7. Дано множество из одного элемента < 2 >. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)

Множество, состоящее из одного элемента < 2 >, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:

Пересечением множества < 2 >и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента < 2 >, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству < 2 >, так и числовому промежутку (−3; 4)

На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.

Например, чтобы решить систему неравенств , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.

В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)

Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]

А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства

Пример 2. Решить неравенство

Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.

Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:

Пример 3. Решить неравенство

В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:

Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Объединение множеств

Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.

Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B

В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:

Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так:

Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.

В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.

Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.

Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.

Итак, у нас имеются следующие исходные множества:

Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A

Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.

Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Друзья Джона = <

Том,
Фред,
Макс,
Джорж >

Друзья Майкла = <

Лео,
Том,
Фред,
Эван >

Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.

Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.

Все друзья Джона и Майкла

В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.

Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.

Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]

Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2 ; −1] и [4 ; 7].

Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см

Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.

Решение неравенств, содержащих знак ≠

Подставим, например, число 5

5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4

7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:

Пример 2. Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x

Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 5

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)

Решение совокупностей неравенств

Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.

Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.

А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:

Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.

Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6.

Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.

Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3.

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6

Пример 2. Решить совокупность неравенств

Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)

Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Пример 3. Решить совокупность неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности:

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0]

Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0]

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

Источник

Содержание:

Основные понятия:

Кантор описывает множество следующим образом:

Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов пашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S

Рис. 2.1. Множество А называют подмножеством другого множества U или множество А включено во множество U, если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества U. Это обозначается . Выделение подмножеств из множеств можно провести по различным признакам. В результате могут получиться как непересекающиеся подмножества (например, А и В ) так и подмножества, имеющие общие элементы ( В и С). Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным. При этом число элементов множества может быть очень велико или вообще неизвестно. Множество может состоять также из бесконечного количества элементов, тогда оно называется бесконечным.

Свойства включения:

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Множество называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются собственными или истинными. В этом случае, когда говорят, что В строго включено в А (обозначается ):

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степеньюмножества А.

Если А не содержит элементов, т.е. , то его единственным подмножеством является .

Несложно убедиться в том, что множество-степень конечного n-элементного множества (А) состоит из 2″ подмножеств.

Основные операции над множествами

Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком .

Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком . Если , то множества А и В называются непересекающимися.

Два множества называются непересекающимися (или расчлененными) если . Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются классификацией). Разбиением множества А называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества А, что каждый элемент множества А является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.

Разностью множеств А и В или дополнением В до А называется множество, состоящее только из тех элементов А, которые не входят в В. Эта операция над множествами обозначается знаком \.

Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества U. В таком случае разность U \ А (дополнение А до U) обозначают, как, а операцию называют взятием дополнения.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С: .

Обозначается симметрическая разность: .

Для подмножеств данного множества U выполняются следующие законы:

Закон коммутативности (переместительный закон):

Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменой на , U на и наоборот. Такие выражения называются двойственными друг другу.

Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.

Очевидно, что операция разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.

Очевидно, что и — различные множества, т.е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.

Отображения

Элемент называется образом элемента х при отображении , а элемент называется прообразом элемента у при этом отображении. Образом множества X элементов х при отображении называется множество всех элементов вида, принадлежащих области значений Y. Множество X всех элементов, образы которых составляют область значений Y называется прообразом множества Y элементов . Множество X называется областью определения отображения .

Отображение называется сюръективным, когда каждый элемент y множества имеет хотя бы один прообраз х множества , т.е. .

Отображение называется инъективным, когда каждый элемент множества является образом лишь одного элемента х множества , т.е. образы любых двух различных элементов множества X различны, т.е. из следует .

Отображение называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно ипъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X.

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают (X = U и Y= V), причем .

Произведение двух отображений и можно определить как отображение , которое каждому элементу х множества ставит в соответствие элемент множества .

Для преобразований одного и того же множества X справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными. Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение А = В), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет большую мощность.

Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу а множества А был поставлен в соответствие его порядковый номер „ Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Отношения эквивалентности и упорядоченности

В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар <х,у), где .

Часто приходится рассматривать несколько элементов множества как эквивалентные, потому что по определенным признакам один элемент может быть заменен другим. Так, например, по признаку величины дроби эквивалентны. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Понятие эквивалентности подразумевает выполнение следующих условий:

Особенности природы элементов множества в большинстве случаев позволяют установить между ними отношения полного (или совершенного) порядка. Это отношение по определению обладает следующими свойствами:

Если между элементами множества определено также и отношение эквивалентности, то между элементами устанавливается отношение неполного или нестрогого порядка:

Возможны случаи, когда некоторые элементы множества не сравнимы. Такие множества называются частично упорядоченными.

Способы задания множеств

Как в повседневной, так и в научной жизни часто говорят о чертах какого-либо коллектива, совокупности некоторых объектов. Так, например, можно говорить о студентах группы некоторого института, о совокупности точек внутри некоторого круга и т.д.

Понятие множества в математике выведено из понятия совокупностей, образуемых из предметов, сведенных в одно целое. Предметы, собранные во множество, называются элементами множества. Понятие множество и элемент считаются основным понятиями и не сведены к другим понятиям путем применения формального определения. Таким образом, под множеством, мы будем понимать любое объединение в одно целое М определенных вполне различимых объектов m из нашего восприятия или мысли, которые называются элементами М

Каждое множество считается самостоятельной осмысленной вещыо, как бы осмысленной оболочкой его элементов. Множество

считается известным, если заданы его элементы; множество определяется раз и навсегда заданием его элементов; множества не зависят or времени.

Следовательно, множество однозначно определяется его элементами.

Множество, у которого ни один предмет не является элементом, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается символом .

Для обозначения множеств обычно применяются заглавные латинские буквы. Выражение обозначает, что объект m является элементом М (читается: «m является элементом М или m принадлежит М»).

Выражение : «m не является элементом М или m не принадлежит М». Элементами множества могут быть и множссгва.

Теорема 1.1.1. Два множества тождественны (равны) тогда и только тогда. если их элементы одинаковы.

Доказательство. Если два множества тождественны (равны), то на основе понятия тождественности элементы обоих множеств одинаковы.

С другой стороны, если о двух множествах нам известно, что их элементы тождественны, то эти два множссгва тождественны, так как множество однозначно определяется его элементами.

В определениях, касающихся геометрических мест, всегда присутствует отождествление множеств, заданных двумя разнымиопределениями.

Например. Перпендикулярная липия, пересекающая отрезок прямой, является геометрическим местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от двух концов озрезка. Это означает следующее: В плоскости множество точек перпендикулярной линии, пересекающей в середине отрезок прямой, тождественно множеству точек, расположенных на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка.

Множество часто задается в следующем виде: элементы множества заключаются внутри фигурных скобок: <. >. Подобной записью может быть конкретное перечисление элементов множества или задание такого определения, которым элементы множества однозначно задаются.

Заметим, что один предмет в одном множестве является элементом только один раз, даже если предмет повторяется несколько раз.

Тождественные множества связываются знаком равенства (=):

Множество А считается подмножеством В, если каждый элемент А является и элементом В, что обозначается выражением .

Понятие части (подмножества) в теории множеств отличается от обычного понятия части. В обычном понимании часть всегда меньше целого. А по понятию части в теории множеств целое также входит в понятие части, т.е. каждое множество является элементом самого себя, гак как каждый элемент А является элементом А, значит . Пустое множество является частью каждого множества.

Множество А является действительным подмножеством множества B, если А является частью В, но не тождественно с ним, что обозначается .

Примеры:

Не существует никакого ограничения в отношении того, насколько много (или мало) элементов может быть в одном множеств: в одном множестве может быть любое, даже бесконечное количество элементов.

Сравнивать множества можно, используя понятие взаимно однозначного соответствия между элементами.

Если каждому элементу множества А по некоторому закону ставится в соответствие определенный элемент множества В и если при этом каждый элемент множества В оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Особую роль в теории множеств играет универсальное множество, которое часто называют просчранством. Это некоторое множество, фиксированное в рамках данной математической теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории.

Алгебраические операции над множествами

Определим операции, выполняемые над множествами.

а) Пересечением множеств Ми N называется множество, которое будет обозначаться М N, состоящее из элементов, принадлежащих как М, так и N, т.е. М N = .

Эта запись означает, что пересечение MN двух множеств состоит из элементов х, одновременно принадлежащих как М, так и

N. Например, если М = <0,1,2,3>, а N = <1,4,3,6>, то МN = <1,3>. Основные тождества этой операции состоят в следующем:

Если А В = А, то действительны следующие соотношения: ,

А В.

Вели , т.е. если А и В не имеют общих элементов, то

А и Б называются посторонними множествами.

Если есть совокупность множеств ,то пересечение всех множеств есть множество , которое состоит из элементов,

принадлежащих одновременно всем множествам совокупности .

6) Объединением двух множеств А и В называется множество A В, состоящее из элементов, по крайней мере, одного из множеств А и В, т. е.

Эта запись означает, что объединение A В двух множеств А и В состоит из элементов х, принадлежащих множеству А или множеству В, или множеством А и В одновременно. Например, если A= <0,1,2,3>а B=<4,5,6,>, то A B = <0,1,2,3,4,5,6>.

Легко увидеть, что если А и В являются ограниченными множествами без общих элементов, то количество элементов AB = (количество элементов А) + (количество элементов В). На основе этих соотношений операция объединения часто называется суммированием множеств. Для операции объединения справедливы следующие тождества:

Так же действительны соотношения: , тогда и только тогда, если A В=В.

В общем случае, когда имеется совокупность множеств ,то объединение всех множеств есть множество , которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств совокупности .

в) Множество элементов Е, не принадлежащих некоторой его части А, называется дополнением (разностью) к А в Е и обозначается через или СА или Е\А, т.е. .

Для операции разности справедливы следующие соотношения:

г) Произведением А х В двух множеств А и В называется множество всевозможных упорядоченных пар (а, Ь), образованных из элементов а множества А и элементов b множества В, т.е. .

Пары (а, b) и (b, а) с считаются различными. Это особенно важно иметь в виду, когда множества Aw В совпадают.

Пример:

Справедливы следующие операции для декартового произведения множеств:

Понятие множества широко используется в экономических исследованиях. Так при изучении системы производства одного предприятия или нескольких, которые потребляют продукты: сырьё, энергию и трудовые ресурсы и производят в соответствии с некоторой технологией другие продукты-изделия, составляется математическая модель, где используется множество

, которое характеризует производственный процесс. Элементами этого множества являются векторы описывающие количество любого продукта, находящегося в системе.

Выпуклые множества. Пересечение выпуклых множеств

В первом пункте мы определили множество, указали способы его задания. Теперь мы укажем некоторые дополнительные свойства множеств. Для этого введем ряд определений.

Окрестностью точки называется множество

точек удовлетворяющих условию: или

Таким образом, окрестность образуют все точки х, удаленные от точки а на расстояние меньшее r.

Точка некоторого множества называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит множеству вместе с некоторой её окрестностью.

Точка пространства называется внешней по отношению к некоторому множеству точек, если она с некоторой окрестностью не принадлежит этому множеству.

Точка пространства называется граничной, если в любой её окрестности имеются точки как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество, содержащее все граничные точки, называется замкнутым.

Например, отрезок является замкнутым множеством.

Множество (тело) называется выпуклым, если оно вместе со своими двумя любыми точками Р и Q содержит все точки отрезка .

Примером выпуклого множества может служить отрезок. Из геометрии известны фигуры: треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, круг, эллипс. Множества точек, ограниченные эти фигурами, являются выпуклыми. В пространстве выпуклыми множествами являются: шар, эллипсоид, конус, цилиндр и другие.

Для выпуклых множеств, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пересечение выпуклых множеств (тел) есть выпуклое множество, если оно не пусто.

Доказательство. Пусть имеется не пустое пересечение выпуклых множеств. Возьмём две произвольные точки Р u Q, принадлежащие этому пересечению. По определению пересечения эти точки принадлежат каждому из множеств, а так как эти множества выпуклы, то вместе с точками Р и Q им принадлежат и все точки отрезка PQ. Следовательно, все точки отрезка PQ принадлежат и пересечению, что и доказывает его выпуклость.

Точка множество называется крайней, если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего множеству.

Так у выпуклого многоугольника крайними точками являются его вершины. Их конечное число. В пространстве многогранником называется множество с конечным числом крайних точек. Следовательно. выпуклый многогранник является замкнутым выпуклым множеством.

Высказывание

Математическая логика является современной формой так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследования своего предмета. В формальной логике и, соответственно, математической логике, собраны результаты законов структуры правильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся, без практических исследований. Рассмотрим пример вывода:

Предпосылки: Если будет раздача премии, то мы выполним план.

Будет раздача премии.

Окончательные выводы: Мы выполним план.

Если принять правильность предпосылок, то следует принять и правильность окончательного вывода. Обычно вместо предложений могут быть записаны любые такие изъявительные предложения, значения которых может быть правильно или ложно; следует оставить неизменённым только расположение слов «если» и «то» и расположение предложений, то есть структуру вывода. Структуру вывода можно выразить следующей схемой:

Путем изменения условий могут быть построены различные теории логики. Важнейшими главами математической логики является калькуляция высказываний и калькуляция предикатов.

Определение 1.4.1. Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным.

Высказывание удовлетворяет условиям:

Следовательно, каждое высказывание имеет значение 1 (истинно) или 0 (ложно).

В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосылок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или нескольких высказываний, путем применения некоторого грамматического метода; они называются сложными высказываниями.

Определение 1.4.2. Под термином калькуляция высказываний подразумевается такой метод, с помощью которого из одного или нескольких высказываний получается такое высказывание, правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложсностью членов.

Операции над высказываниями

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Простейшими примерами операций калькуляции высказываний является отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и т.д.

Определение 1.5.1. Под отрицанием высказывания А подразумевается высказывание «Неправильно, что А» или некоторая грамматически преобразованая форма данного высказывания.

По значению выражения «неправильно» отрицание А правильно тогда и только тогда, если самоё А неправильно; следовательно, отрицание действительно есть операция калькуляции высказываний.

Например: отрицание предложения «мотор работает» является предложение «мотор не работает».

Отрицание является (унарной) одночленной операцией. Отрицание А обозначается символом (читается «не А»). Таблица истинности для операции отрицания имеет вид: Таблица 1

Закон двойного отрицания: .

Здесь и в дальнейшем свойство высказываний «правильное» и «ложное» называется логическими значениями и обозначается 1 и О (п. и л.). Тогда операции, проводимые на логических значениях, называются логическими операциями. Для выражения любых логических значений вводятся логические переменные; они обозначаются символами .

Следовательно, логические переменные могут принимать два значения 1 или 0. При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операций обозначается скобками.

В общем случае, n-члснной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений 1 и 0 с длиной выражения n, а значением её является одно из двух логических значений 1 и 0.

Определение 1.5.2. Под конъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А и В».

По значению союза «и» конъюнкция является правильной тогда и только тогда, если оба её члена правильны, т.е. используя логические переменные можно записать:

Таблица значений конъюнкции имеет вид:

Теорема 1.5.1. Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции.

В области логических операций для контроля любого тождества составляется общая таблица операций, представленных по обеим сторонам знака =. Результат операций указывается в столбцах.

Пример:

Решение:

Доказательство данного равенства проведём в табл. 3:

Определение 7.5.3. Под дизъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А или В».

По значению союза «или» дизъюнкция является ложной, если оба её члена ложны, т.е. используя логические переменные можно записать:

Дизъюнкция выражается с помощью операции конъюнкции и отрицания б следующей форме:

Таблица значений дизъюнкции имеет следующий вид:

По аналогии с теоремой 3 можно сформулировать следующую теорему

Теорему 1.5.2. Каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания.

Например, операция конъюнкции выражается с помощью операций дизъюнкции и отрицания в виде: .

Определение 1.5.4. Операция, обозначаемая ,

называется импликацией (с предварительным членом р и с последующим q).

Иначе её обозначение . Она выражается в следующем виде:

и читается: если р, то q из p следует q.

Таблица значений импликации имеет следующий вид: Таблица 5

И конъюнкция, и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания: ,

Поэтому любая логическая операция может быть выражена ( помощью операций импликации и отрицания.

Выражения вида: «если А, то В», «неправильно, что: А и не В» «В если только А», «только тогда А, если В», «Достаточным условием В является А», «Необходимым условием А является В» соответственно обозначаются А В или А В.

Определение 1.5.5. Операция, обозначаемая,

называется эквивалентностью (читается р эквивалентно q). Выражениями данной операции являются следующие:

Так как высказывание тогда и только тогда, когда

p=q, то данная логическая операция соответствует образованию

сложного предложения вида «А тогда и только тогда, когда В». Таблица значений эквивалентности имеет вид:

1) операция взаимоисключающего или (р или же q): . Например, или ты вылечишься до завтрашнего дня, или мы тебя отвезём в больницу;

2) операция «ни-ни» (обозначается ) «ни А ни В»: .

Предикаты и кванторы

Кроме заполнения оставленных свободных мест названиями имеется и другой способ образования высказываний из предикатов: квантификация. Например, из открытого предложения «если х представляет собой дифференцируемую функцию, то функция х-непрерывная функция», подставив перед предложением «Для каждого л», получим следующее: Для каждого х, если х представляет собой дифференцируемую функцию, то x представляет собой непрерывную функцию. Текст «Для каждого x» обозначается символом и называется универсальным квантором.

Существует ещё экзистенциальный квантор, который заменят текст «Имеется такое х» или «Существует такое х» и обозначается .

Для точного анализа вводятся следующие понятия:

Предикаты обозначаются символами и т.д.

Жирными буквами обозначаются предикаты, а строчными буквами- аргументы предиката как функции; количеством последних определяется размерность предиката.

Например. Пусть Н- множество натуральных чисел, тогда предикат неделимого числа Fx определяется следующим образом:

Множества, операции над ними

Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Слова «совокупность», «набор», «система», «объединение» и другие являются синонимами слова «множество». Например, можно говорить о множестве студентов в институте, множестве букв в алфавите, множестве целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать как конечное, так и бесконечное число объектов некоторой природы. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Принадлежность элемента множеству обозначают следующим образом: Если не является элементом множества то пишут: Если — некоторые элементы, то запись означает, что множество состоит из элементов

Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов (обозначение: ). Множество называется подмножеством множества если все элементы множества являются одновременно и элементами множества (обозначение: («множество содержится в множестве ») или («множество содержит множество »). Например, так как всякое натуральное число является целым, то где — множество натуральных чисел, — множество целых чисел.

Множество, не содержащее ни одного элемента, будет называться пустым множеством и обозначаться Это множество является подмножеством любого множества. Пусть — множество, а — какое-либо свойство элементов этого множества. Тогда запись означает совокупность тех элементов множества которые обладают свойством Например, если и — два числа и то встречавшиеся в элементарной математике отрезок, интервал и полуинтервалы можно записать в следующем виде: — отрезок; — интервал;

и — полуинтервалы. Здесь — множество действительных (вещественных) чисел.

Пересечением множеств и называется множество состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как так и т.е.

Объединением множеств и называется множество состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух данных множеств, т. е. или

Разностью множеств и называется множество состоящее из тех элементов множества которые не принадлежат множеству т.е. и

Пусть — некоторое основное множество, тогда дополнением множества называется множество состоящее из всех элементов и не принадлежащих т. е.

Таким образом, все элементы, которые не принадлежат множеству образуют множество Следовательно,

Логические символы

Часто используются также логические символы следствия и равносильности

Грани числовых множеств

Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число что для любого Число в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества

Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным, т. е. существуют два числа и такие, что Эти неравенства показывают, что множество ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на некотором конечном отрезке числовой прямой. Очевидно, что множество ограничено тогда и только тогда, когда существует положительное число такое, что

Множество, не ограниченное сверху или снизу, называется неограниченным.

Если число является верхней гранью множества то и любое число больше тоже является верхней гранью, и, если число -нижняя грань множества то всякое число, меньше будет нижней гранью

Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) граней называется точной верхней (нижней) гранью множества и обозначается символом («супремум ) ( «инфимум

Точные верхняя и нижняя грани множества могут принадлежать или не принадлежать этому множеству. Если множество не ограничено сверху (снизу), то иногда используют обозначение

Теорема 1*. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Предельные точки числового множества. Открытые и замкнутые множества

Множество вещественных чисел удовлетворяющих неравенству т.е. называется окрестностью точки

Множество вещественных чисел удовлетворяющих неравенству называется проколотой окрестностью точки (точка исключена из своей окрестности).

Геометрически окрестность точки есть интервал длиной серединой которого является точка числовой прямой.

Точка называется предельной точкой множества если в любой окрестности точки находятся точки из отличные от . Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству

Точка называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестности нет точек из отличных от

Точка называется внутренней, если существует некоторая окрестность этой точки, целиком содержащаяся в множестве

Точка называется граничной точкой множества если любая окрестность этой точки содержит точки, как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества. Например, если то все точки интервала являются внутренними точками множества а граница этого множества состоит из двух точек: и

Если множество представляет собой область (открытое множество), то множество полученное присоединением к всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник