Каков объем понятия : А) однозначное число Б) натуральное число В) луч?
Каков объем понятия : А) однозначное число Б) натуральное число В) луч.
Однозначное число записано одной цифрой
натуральные числа начинаются с 1 и далее по порядку
луч имеет начало и не имеет конца.
Какие натуральные числа лежат на числовом луче между числами 5999 и 6003?
Какие натуральные числа лежат на числовом луче между числами 5999 и 6003.
Запишите натуральные числа расположены на координатном луче между числами 234 и 239?
Запишите натуральные числа расположены на координатном луче между числами 234 и 239.
Понятие о вероятности : Наугад взято двузначное число?
Понятие о вероятности : Наугад взято двузначное число.
Какова вероятность того, что это число является квадратом натурального числа?
Кубом натурального числа?
Четвёртой степенью натурального числа?
Запиши и вычисли произведение наименьшего однозначного натурального числа и наибольшего двузначного числа?
Запиши и вычисли произведение наименьшего однозначного натурального числа и наибольшего двузначного числа.
Между какими натуральными числами на координатном луче расположены смешанные числа 1 5 / 7?
Между какими натуральными числами на координатном луче расположены смешанные числа 1 5 / 7.
Запишите все натуральные числа, какие лежат на координатному луче между числами 996 и 1002?
Запишите все натуральные числа, какие лежат на координатному луче между числами 996 и 1002.
Какие два соседних числа натурального ряда надо сложить, чтобы получить наибольшее однозначное число?
Какие два соседних числа натурального ряда надо сложить, чтобы получить наибольшее однозначное число?
Какие натуральные числа называются однозначными?
Какие натуральные числа называются однозначными?
Выберите из чисел пункта один любое число и разделите его на все однозначные натуральные числа.
В каких случаях числа разделились без остатка?
Мы выбрали число 236.
Определение математических понятий. Объем и содержание понятий. Отношения между понятиями. Способы определения понятий. Корректные и некорректные определения (Глава7. из учебного пособия «Математика» Г.М.Аматовой)
Страницы работы
Содержание работы
АМАТОВА Г. М., АМАТОВ М. А. Математика: учебное пособие для факультетов подготовки бакалавров образования в области начального образования и учителей начальных классов педагогических высших учебных заведений. — М., Московский психолого-социальный институт, 1999. — 488 с.
§7. Определение понятий. (с. 65-71)
7.1. Объем и содержание понятий.
Развитие математики, так же как и любой другой науки, требует введения все новых понятий. На первых этапах познания окружающего мира возникали понятия, охватывающие довольно узкие классы объектов. Каждый шаг вперед в познании связан с введением все более общих понятий, объединяющих в себе множество объектов или отношений.
Термин «понятие» соединяет в себе целый класс объектов или отношений произвольной природы, обладающих определенным характеристическим свойством или целым набором таких свойств. Например, понятие «четырехугольник» обозначает класс всевозможных многоугольников, обладающих свойствами: иметь четыре стороны; иметь четыре вершины; иметь четыре угла и так далее.
Понятия условимся обозначать малыми буквами латинского алфавита: а,b,с, …
Всякое понятие характеризуется объемом и содержанием.
Определение 2.22. Объемом понятия а будем называть множество А объектов или отношений, охватываемых данным понятием.
Определение 2.23. Содержанием понятия а будем называть множество всех свойств, каждое из которых присуще любому элементу множества А.
Примеры: 1. Перечислим свойства, составляющие содержание понятия «биссектриса угла»: а) быть лучом; б) исходить из вершины угла; в) делить угол пополам. 2. Перечислим свойства, составляющие содержание понятия «существительное» : а) быть частью речи; б) обозначать предмет; в) отвечать на вопрос » кто?» или » что?». Свойство » обозначать одушевленный предмет» не входит в содержание понятия » существительное», так как этим свойством обладают не все существительные.
7.2. Отношения между понятиями.
В зависимости от отношений между объемами понятий определяются отношения между самими понятиями.
Определение 2.24. Понятия а и b называются несовместимыми если объемы этих понятий не пересекаются, то есть А
В= Æ
Например, несовместимыми являются понятия: «горная порода» и «атмосфера»; «часть речи» и «знак препинания».
Определение 2.25. Понятия a и b называются совместимыми, если объемы этих понятий находятся в отношении пересечения, то есть АВ ¹ Æ
Примерами совместных являются следующие понятия: «ромб» и » прямоугольник»; » нечетное число» и » простое число»; » хвойное дерево» и «растение».
Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b, то есть, если
3) понятие а есть частный случай понятия b, а понятие b есть обобщение понятия а.
Определение 2.26. Понятия а и b называются тождественными (равносильными), если объемы этих понятий равны, то есть А = В.
Примерами тождественных понятий являются следующие: «окружность» и «граница круга»; «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник».
Например, понятия «четное число» и «нечетное число» противоположны на множестве N натуральных чисел.
7.3. Способы определения понятий.
В первую очередь будем различать вербальные (словесные) и невербальные определения.
В дальнейшем по мере накопления запаса знаний происходит накопление понятий, развивается язык и способность к обобщению. Все это дает возможность определять неизвестные понятия через известные. Так появляются вербальные определения. Во всяком таком определении выделяются определяемое и определяющее понятия.
Между определяемым и определяющим понятиями ставится специальный знак или
Общая схема вербального определения выглядит так:
Натуральные числа
Определение натурального числа
Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.
Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …
Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.
Какие операции возможны над натуральными числами
Записывайтесь на курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Десятичная запись натурального числа
В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.
Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.
Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.
077, 0, 004, 0931 — это неправильные примеры натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. По правилам так нельзя. Это и есть десятичная запись натурального числа.
Количественный смысл натуральных чисел
Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.
Представим, что перед нами банан 🍌. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».
Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, любое дерево из множества деревьев — единица, любой листок из множества листков — единица.
Представим, что перед нами 2 банана 🍌🍌. Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:
| 🍌🍌🍌 | 3 предмета («три») |
| 🍌🍌🍌🍌 | 4 предмета («четыре») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌 | 5 предметов («пять») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 6 предметов («шесть») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 7 предметов («семь») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 8 предметов («восемь») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 9 предметов («девять») |
Основная функция натурального числа — указать количество предметов.
Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «ноль». Напомним, что ноль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Ноль предметов значит — ни одного.
Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа
Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.
Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит, речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит, перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.
По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.
Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.
Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.
Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.
Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.
Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.
Многозначные натуральные числа
Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.
1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.
Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.
Сколько всего натуральных чисел?
Однозначных 9, двухзначных 90, трехзначных 900 и т.д.
Свойства натуральных чисел
Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:
| множество натуральных чисел | бесконечно и начинается с единицы (1) |
| за каждым натуральным числом следует другое | оно больше предыдущего на 1 |
| результат деления натурального числа на единицу (1) | само натуральное число: 5 : 1 = 5 |
| результат деления натурального числа на него самого | единица (1): 6 : 6 = 1 |
| переместительный закон сложения | от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4 |
| сочетательный закон сложения | результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) |
| переместительный закон умножения | от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 × 5 = 5 × 4 |
| сочетательный закон умножения | результат произведения множителей не зависит от порядка действий; можно хоть так, хоть эдак: (6 × 7) × 8 = 6 × (7 × 8) |
| распределительный закон умножения относительно сложения | чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 × (5 + 6) = 4 × 5 + 4 × 6 |
| распределительный закон умножения относительно вычитания | чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5 |
| распределительный закон деления относительно сложения | чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9 : 3 + 8 : 3 |
| распределительный закон деления относительно вычитания | чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 − 3) : 2 = 5 : 2 − 3 : 2 |
Разряды натурального числа и значение разряда
Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.
У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.
Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.
Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.
Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.
Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.
Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.
Десятичная система счисления
Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.
Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.
Вопрос для самопроверки
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:
Понятия. Объем и содержание понятий
Объем и содержание понятий
Термин «понятие» применяется обычно для обозначения целого класса объектов произвольной природы, которые обладают определенным характеристическим (отличительным, существенным) свойством или целым набором таких свойств, т.е. свойств, присущих только элементам этого класса.
С точки зрения логики понятие является особой формой мышления, характерным для которой является следующее: 1) понятие – продукт высокоорганизованной материи; 2) понятие отражает материальный мир; 3) понятие предстает в сознании как средство обобщения; 4) понятие означает специфически человеческую деятельность; 5) формирование понятия в сознании человека неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.
Как возникает в нашем сознании понятие о каком-либо объекте действительности?
Процесс формирования некоторого понятия – постепенный процесс, в котором можно усмотреть несколько последовательных стадий. Рассмотрим этот процесс на простейшем примере – формирование у детей понятия о числе 3.
1. На первой ступени познания дети знакомятся с различными конкретными множествами, при этом используются предметные картинки и демонстрируются различные множества из трех элементов (три яблока, три книги, три карандаша и т.п.). Дети не только видят каждое из этих множеств, но и могут осязать (потрогать) те предметы, из которых эти множества состоят. Этот процесс «видения» создает в сознании ребенка особую форму отражения реальной действительности, которая называется восприятием (ощущением).
2. Уберем объекты (предметы), составляющие каждое множество, и предложим детям определить, было ли нечто общее, характеризующее каждое множество. В сознании детей должно было запечатлеться число предметов в каждом множестве, то, что везде было по «три». Если это так, то в сознании детей создалась новая форма – представление о числе «три».
3. На следующей стадии, на основе мыслительного эксперимента дети должны усмотреть, что свойство, выраженное в слове «три», характеризует любое множество различных элементов вида
Понятие – это особая форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства предметов или объектов изучения.
Языковой формой понятия является слово или группа слов. Например, «треугольник», «число три», «точка», «прямая», «равнобедренный треугольник», «растение», «хвойное дерево», «река Енисей», «стол» и т. д.
Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура». Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».
Основными характеристиками любого понятия являются следующие: 1) объем; 2) содержание; 3) отношения между понятиями.
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду всю совокупность (множество) объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Объемом понятия называется множество объектов или предметов, к которым применимо данное понятие.
Любой математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Можно указать и другие его свойства, но среди свойств объекта различают существенные (отличительные) и несущественные.
Свойство называется существенным (отличительным) для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать; свойство называется несущественным для объекта, если он может без него существовать.
Например, для квадрата существенными являются все свойства, перечисленные выше. Несущественным для квадрата АВСD будет свойство «сторона АD горизонтальна» (рис. 1). Если этот квадрат повернуть, то сторона АD окажется вертикальной.
Рассмотрим пример для дошкольников, используя наглядный материал (рис. 2):
Диалог:
— Маленький черный треугольник. Рис. 2
— Большой белый треугольник.
Таким образом, дети выясняют существенные и несущественные свойства понятия «треугольник». Существенные свойства – «иметь три стороны и три угла», несущественные свойства – цвет и размеры.
Совокупность всех существенных (отличительных) свойств объекта или предмета, отраженных в данном понятии, называют содержанием понятия.
Например, для понятия «параллелограмм» содержанием является множество свойств: имеет четыре стороны, имеет четыре угла, противоположные стороны попарно параллельны, противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали в точки пересечения делятся пополам.
Между объемом понятия и его содержанием существует связь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» является частью объема понятия «треугольник», а в содержание понятия «равнобедренный треугольник» входит больше свойств, чем в содержание понятия «треугольник», т.к. равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и другими, присущими только равнобедренным треугольникам («две стороны равны», «два угла равны», «две медианы равны» и др.).
По объему понятия подразделяются на единичные, общие и категории.
Понятие, объем которого равен 1, называется единичным понятием.
Например, понятия: «река Енисей», «Республика Тува», «город Москва».
Понятия, объем которых больше 1, называются общими.
Например, понятия: «город», «река», «четырехугольник», «число», «многоугольник», «уравнение».
В процессе изучения основ какой-либо науки у детей формируются, в основном, общие понятия. Например, в начальных классах учащиеся знакомятся с такими понятиями, как «цифра», «число», «однозначные числа», «двузначные числа», «многозначные числа», «дробь», «доля», «сложение», «слагаемое», «сумма», «вычитание», «вычитаемое», «уменьшаемое», «разность», «умножение», «множитель», «произведение», «деление», «делимое», «делитель», «частное», «шар», «цилиндр», «конус», «куб», «параллелепипед», «пирамида», «угол», «треугольник», «четырехугольник», «квадрат», «прямоугольник», «многоугольник», «круг», «окружность», «кривая», «ломаная», «отрезок», «длина отрезка», «луч», «прямая», «точка», «длина», «ширина», «высота», «периметр», «площадь фигуры», «объём», «время», «скорость», «масса», «цена», «стоимость» и многими другими. Все эти понятия являются общими понятиями.
К категориям относятся понятия широкой степени общности («материя», «движение», «причина», «следствие» и т.д.).
