какой нейтральный элемент у операции умножения

VI. Нейтральный элемент относительно умножения – единичная матрица (Е)

Единичная матрица – квадратная матрица все элементы которой, расположенные на гланой диагонали равны 1, а остальные 0.

VII. Умножение на нулевую матрицу

VIII. Возведение матрицы в степень

Квадратная матрица – матрица у которой i=j.

Определитель матрицы – число.

Теорема разложения.

Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Вывод правила треугольников.

Свойства определителя n-го порядка

1. Если у определителя поменять 2 строки, то определитель изменит знак.

2. Если есть нулевая строка, то определитель равен 0.

3. Если все элементы строки умножить на число, то определитель увеличиться на это число.

4. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

5. det(AB)=detA*debt(без док)

6. , если i≠j.

Обратные матрицы

Вырожденная матрица – матрица определитель которой равен 0

(1/Δn)* * =(1/Δn)* = =(1/Δn)* =

Предположим, что есть 2 обратных матрицы для А..

Матричные уравнения

A – матрица коэффициентов, X – столбец неизвестных.

Системы n уравнений

Формула Крамера.

, Δ_i-определитель полученный из матрицы А если в ней столбец заменить на столбец свободных членов. Вывод

Теорема Крамера.

Система из n линейных уравнений м n неизвестными, определитель которой отличен от 0, имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера.

Минор матрицы

Ранг матрицы

1. Если в матрице А выделить k строк и k столбцов, то определитель составленный из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов называется минором k-го порядка матрицы А. Ранг матрицы – наивысший порядок минора отличный от 0

2. Элементы S₁, S₂…S_n называются линейно зависимыми, если существует набор чисел n₁, n₂…n_n такой что n₁S₁+n₂S₂+…+n_nS_n=0 и хотя бы одно из чисел n_i≠0. Если это выполняется при всех т=0, то элементы называются не линейно зависимыми. Ранг матрицы – количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы.

Теорема Кронехера-Копелли

Система из m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы, причем:

1. если rA=rÂ=n – 1 решение.

1.А₁-угол между AB и e A₂ – угол между ВС и е острые

1. K>0 => ka||a => угол не меняется

2. K угол между ka и e =Pi-A

Свойства

4. Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот.

5. Связь между длиной вектора и скалярным произведением.

Aa=|a||a|=|a| 2 => |a|=

3. a b с образуют первую тройку векторов

Свойства

1. геометрический смысл S=axb

4. Умножение вектора на число (na)xb=ax(nb)=n(axb)

Источник

Нулевой элемент

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Содержание

Определение

Пусть — множество M с определённой на нём бинарной операцией . Элемент называется нейтральным относительно , если

Иногда различают нейтральный слева элемент , для которого

и нейтральный справа элемент , для которого

Замечания

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	+ (сложение)	число 0
Вещественные числа		число 1
Вещественные числа	a b (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Матрицы размера	+ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера	(матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида	(композиция функций)	Тождественное отображение
Функции вида	* (свёртка)	δ (дельта-функция)
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	(минимум) или (инфимум)
Расширенная числовая прямая	(максимум) или (супремум)
Подмножества множества M	(пересечение множеств)	M
Множества	(объединение множеств)	(пустое множество)
Булева логика	(логическое и)	(истина)
Булева логика	(логическое или)	(ложь)

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Нулевой элемент» в других словарях:

элемент таблицы МOБ — элемент матрицы МОБ См. таблицу к статье Межотраслевой баланс, МОБ. Этот элемент имеет двойной смысл: он выступает, с одной стороны, как часть затрат отрасли, с другой стороны как часть выпуска продукции. Если между двумя отраслями,… … Справочник технического переводчика

Элемент таблицы МOБ — то же: Элемент матрицы МОБ[I. O. matrix element] см. таблицу к статье Межотраслевой баланс, МОБ. Этот элемент имеет двойной смысл: он выступает, с одной стороны, как часть затрат отрасли, с другой стороны как часть выпуска продукции. Если между … Экономико-математический словарь

Значащий элемент матрицы МОБ — [non zero significant element of I.O. matrix] элемент, отличающийся от нуля. В межотраслевом балансе отличие от нуля показывает, что отрасли i и j, «встречающиеся» в элементе xij, имеют между собой технологическую связь: продукция… … Экономико-математический словарь

значащий элемент матрицы МОБ — Элемент, отличающийся от нуля. В межотраслевом балансе отличие от нуля показывает, что отрасли i и j, «встречающиеся» в элементе xij, имеют между собой технологическую связь: продукция отрасли i выступает в качестве одного из видов затрат на… … Справочник технического переводчика

химический элемент нулевой группы — — [http://www.eionet.europa.eu/gemet/alphabetic?langcode=en] EN element of group 0 A group of monatomic gaseous elements forming group 18 (formerly group 0) of the periodic table: helium (He), neon (Ne), argon (Ar), krypton (Kr), xenon (Xe) … Справочник технического переводчика

Фосфор, химический элемент — (хим.; Phosphore франц., Phosphor нем., Phosphorus англ. и лат., откуда обозначение P, иногда Ph; атомный вес 31 [В новейшее время атомный вес Ф. найден (van der Plaats) такой: 30,93 путем восстановления определенным весом Ф. металлического… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Список вымышленных элементов, материалов, изотопов и атомных частиц — описывает химические элементы, материалы, изотопы, атомные и субатомные частицы, которые существуют только в произведениях художественной литературы (как правило, фэнтези или научная фантастика). Некоторые из предметов описаний, перечисленных… … Википедия

Кольцо (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… … Википедия

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Некоторые алгебраические структуры

Существует два подхода к изложению основ теории групп в учебном курсе высшей алгебры. Первый — чисто формальный, «сверху-вниз»: этот объект, его обобщения и обеспечивающая их терминология излагаются в начале курса, а впоследствии на формально введенном языке формулируются результаты из конкретных разделов алгебры. Я придерживаюсь противоположного подхода: теория групп — это «надстройка над несколькими блоками фундамента», и построение курса алгебры надо начинать именно с закладки отдельных блоков — изложением конкретных разделов (целые числа, полиномы, матрицы). И только потом устанавливать связи между ними, «перебрасывать мостики» и «навешивать узоры». Не собираясь обосновывать здесь правильность выбранной методологии (см. ☞ Правила пользования настоящим ресурсом ), я сейчас просто проясняю причину по которой, например, в разделе ПОЛИНОМ говорится о «полиноме над множеством», а не о «полиноме над полем».

А в завершение этого комментария привожу ☞ ЦИТАТУ.

Бинарная операция

Пример. Приведем несколько случаев некоммутативности:

Определение группы

Пример. На множестве четных чисел не существует нейтрального элемента относительно умножения.

Примеры групп

Аддитивная группа целых чисел

Является ли это множество полугруппой?

Классы вычетов

Корни из единицы

Образует ли множество матриц

Монотонные функции

Отображения плоских фигур

Перестановки

Образующие элементы группы

Простейший случай — это группа с одной образующей.

Доказать, что циклическая группа всегда абелева.

Разумеется, подгруппа может порождаться и не одним образующим.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Образует ли группу относительно умножения множество матриц

Факторгруппа

Таблица умножения

Какая информация необходима для полного задания группы как математического объекта?

Для абелевой группы таблица умножения будет симметричной относительно главной диагонали, т.е. диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол таблицы.

Перечислим теперь некоторые свойства таблицы умножения.

Остальные свойства будем нумеровать

2. Каждая строка таблицы образована какой-то перестановкой элементов нулевой строки (и аналогичное утверждение справедливо относительно столбцов).

Для второго множества из теоремы доказательство аналогично. ♦

4. Аксиома об обратном элементе переформулируется следующим образом: если в таблице сложилась конфигурация

5. Рассмотрим следующую конфигурацию, сложившуюся в таблице умножения:

Доказательство. Пусть конфигурация соответствует следующему расположению элементов группы в нулевых строке и столбце:

Изоморфизм групп

Может ли группа быть изоморфна собственной подгруппе?

Доказать, что любые две циклические группы одинакового порядка (конечного или бесконечного) изоморфны.

Кольцо

В предыдущих пунктах мы анализировали множества с точки зрения одной определенной бинарной операции. Однако, часть рассмотренных примеров составляли множества, в которых были определены и другие операции.

Идеал

В этом обозначении случилась коллизия с обозначением циклической группы; однако альтернативные варианты, принятые в литературе, приводят к другим коллизиям.

В отличие от линейных пространств, на базисные элементы не накладывается ограничений типа линейной независимости.

Поле из полиномов

Алгебра

Источник

Моноиды, полугруппы и все-все-все

Если ты на практике используешь ООП, то хорошо разбираешься в таких вещах, как «паттерны проектирования». А знаешь ли ты, что есть множество полезных паттернов, которые не укладываются в этот стандартный список? К сожалению, многие из них связаны с «функциональным программированием», которое, согласно легенде, сложное и заумное. Если десять раз сказать слово «моноид», можно вызвать Дьявола.

Mark Seeman расскажет о функциональном программировании просто и быстро. Для этого он начал писать цикл статей, посвященных связи между паттернами проектирования и теорией категорий. Любой ООПшник, у которого есть 15 минут свободного времени, сможет заполучить в свои руки принципиально новый набор идей и инсайтов, касающихся не только функциональщины, но и правильного объектно-ориентированного дизайна. Решающим фактором является то, что все примеры — это реальный код на C#, F# и Haskell. Этот хабрапост — перевод самого начала цикла, первых трех статей, слитых воедино для удобства понимания.

Кроме того, с Марком можно пообщаться вживую, посетив конференцию DotNext 2017 Moscow, которая состоится 12-13 ноября 2017 г. в Москве, в «Славянская Рэдиссон». Марк прочитает доклад на тему «From dependency injection to dependency rejection». Билеты можно взять здесь.

Вступление. Моноиды, полугруппы и все-все-все

Этот текст является частью новой серии о связях между паттернами проектирования и теорией категорий.
Функциональное программирование обычно критикуют за особый заумный жаргон. Термины типа зигохистоморфный препроморфизм никак не помогают донести суть новичкам. Но прежде чем бросаться камнями, вначале мы должны выйти из собственного стеклянного домика. В объектно-ориентированном проектировании используются названия типа Bridge, Visitor, SOLID, связность и другие. Слова звучат знакомо, но можете ли вы объяснить или реализовать в коде паттерн Visitor или описать, что такое «связность»?

Слово «bridge» само по себе не делает объектно-ориентированную терминологию лучше. Возможно, оно даже делает ее хуже. В конце концов, слово стало многозначным: имеем ли мы в виду настоящий физический объект, объединяющий два разных места, или разговариваем о паттерне проектирования? Конечно, на практике, мы поймем это из контекста, но это не отменяет факта — если кто-то говорит о паттерне bridge, вы совершенно ничего не поймете, если заранее не выучили его. То, что слово звучит знакомо, еще не делает его полезным.

Многие объектно-ориентированные программисты открыли для себя полезность «операции, которая возвращает тот же тип, какой она получила в качестве аргумента». Но тем не менее, такое описание, такой словарь — очень неудобны. Не лучше ли описать эту операцию одним словом? Может быть, это моноид или полугруппа?

Объектно-ориентированные озарения

Кое-какие enterprise разработчики просто хотят «сделать дело и двигаться дальше», их совершенно не беспокоит математика. Для них идея делать код более «математичным» кажется очень спорной. Тем не менее, даже если вам «не нравится математика», вы точно понимаете смысл сложения, умножения и т.п. Арифметика — мощная метафора, поскольку все программисты ее понимают.

В своей знаменитой книге «Test-Driven Development: By Example» Кент Бек, похоже, эксплуатировал ту же самую идею. Хотя не думаю, что он где-то напрямую об этом написал.

То, о чем писал Эванс — это моноиды, полугруппы и похожие на них концепции из абстрактной алгебры. Справедливости ради, я недавно с ним общался, и сейчас он уже отлично разбирается во всех этих вещах. Разбирался ли он в них в 2003 году, когда была написана DDD — не знаю, но я — точно нет. Моя задача здесь не тыкать пальцами, а показать, что очень умные люди вывели принципы, которые можно использовать в ООП, задолго до того, как эти принципы получили собственные имена.

Как все это связано

Моноиды и полугруппы относятся к большей группе операций, называющейся магмами. Об этом мы поговорим позже, а сейчас начнем с моноидов, продолжим полугруппами и только потом перейдем к магмам. Все моноиды являются полугруппами, обратное не верно. Другими словами, моноиды формируют подмножество полугрупп.

Они описывают бинарные операции в форме: операция, которая берет на вход два значения Foo и возвращает значение типа Foo на выходе. Обе категории описываются (интуитивно-понятными) законами. Разница в том, что законы моноидов строже, чем законы полугрупп. Не зависайте на терминологии: слово «закон» может звучать, как будто здесь замешана серьезная сложная математика, но эти «законы» — простые и интуитивные. О них мы поговорим в следующих частях (которых будет около 15 штук).

Несмотря на то, что все они тесно связаны с математикой, они предназначены для того, чтобы, в том числе, дать множество идей для хорошего объектно-ориентированного проектирования.

Резюме

Для обычного объектно-ориентированного программиста термины типа моноид или полугруппа за версту пахнут математикой, академией и башнями из слоновой кости, заселенными архитектурными астронавтами. Но на самом деле, это простые и удобные идеи, которые может понять каждый, кому не лень потратить на это 15 минут.

Часть 1. Моноиды

Суть: введение в моноиды для ООП-программистов.
Данный раздел является частью цикла статей о моноидах, полугруппах и связанных с ними концепциях. Изучив этот раздел, вы поймете, что такое моноид и чем он отличается от полугруппы.

Моноиды образуют подмножество полугрупп. Правила, по которым работают моноиды, строже, чем для полугрупп. Можно даже решить, что лучше вначале разобраться с полугруппами и уже на их основе продвигаться к моноидам. Строго говоря, с точки зрения иерархии, это имеет смысл. Но я думаю, что моноиды куда более интуитивны. Увидев первый же пример моноида, сразу понимаешь, что они описывают вещи из повседневной жизни. Легко найти пример для моноида, а вот чтобы подобрать хороший пример полугруппы — придется постараться. Поэтому мы начнем именно с моноидов.

Законы моноида

Что общего имеет сложение ( 40 + 2 ) и умножение ( 6 * 7 )?
Обе эти операции

Это все, что нужно для образования моноида. Ассоциативность и существование нейтрального элемента называют «законами моноида» или «моноидными законами» (в английском языке — monoid laws). Стоит отметить, что моноид — это комбинация типа данных и операции. То есть, это не просто тип, а скорее функция (или метод), которая работает над этим типом. Например, сложение и умножение — это два разных моноида, работающих на числах.

Бинарность

Давайте начнем с самого простого. Операция является «бинарной», если она работает над двумя значениями. Возможно, при упоминании слова «бинарный» вам в первую очередь представляются бинарные данные, типа 101010, но это слово взялось из латинского языка, и означает что-то связанное с «арностью два». Астрономы тоже иногда говорят о двойных звездах (binary stars), но сейчас это слово в основном используется в контексте компьютеров: кроме бинарных данных, вы, скорее всего, слышали и о бинарных деревьях. Говоря о бинарных операциях, мы подразумеваем, что оба входящих значения имеют один и тот же тип, и что возвращаемый тип также совпадает со входящим типом. Другими словами, в C# метод типа этого является корректной бинарной операцией:

С другой стороны, вот это уже не является бинарной операцией:

Несмотря на то, что оно принимает два входящих аргумента, они имеют разные типы, и возвращаемый тип тоже отличается.

Поскольку все аргументы и возвращаемые значения совпадают по типу, бинарная операция представляет собой то, что Эрик Эванс в Domain-Driven Design называл Closure of Operations.

Ассоциативность

Для образования моноида бинарная операция обязательно должна быть ассоциативной. Это означает попросту то, что порядок вычислений не важен. Например, для сложения это значит, что:

Аналогично для умножения:

Нейтральный элемент

Третье правило моноида заключается в том, что должен существовать нейтральный элемент. Обычно его называют единицей (не самое подходящее имя, но лучше, чем громоздкое «нейтральный элемент»). В дальнейшем будем называть его так.

Простое упражнение: догадайтесь, чем является единица для умножения.

В приведенной выше записи суммы подразумевается, что единица должна нейтрально работать и когда ее применяют слева, и когда ее применяют справа. Для наших объектов Foo это можно записать так:

Существует пара моноидов, работающих над булевскими значениями: all и any. Как думаете, как они работают? Какие у них единицы?

Поразмышлять над all и any (или нагуглить их) вы можете в качестве упражнения. В следующих разделах я покажу другие, более интересные моноиды. В этом хабрапосте рассматриваются только строки, списки и последовательности — остальные статьи все еще пишутся.

Резюме

Моноид (не путать с монадой) — это бинарная операция, которая удовлетворяет двум законам моноида: операция должна быть ассоциативной и должен существовать нейтральный элемент (единица). Основными примерами моноида являются сложение и умножение, но существуют и многие другие.

Часть 2. Моноид строк, списков и последовательностей

Суть: строки, списки и последовательности, по сути, являются одним и тем же моноидом.
Данный раздел является частью цикла статей о моноидах.
Вкратце, моноид — это ассоциативная бинарная операция с нейтральным элементом (известным как единица, или в английской терминологии —identity).

Последовательности

Последовательности ассоциативны, потому что последовательность вычисления не изменяет результата. Ассоциативность — свойство моноида, поэтому один из способов продемонстрировать его — использовать property-based testing.

Операция Concat имеет единицу. Единица — это пустая последовательность, что подтверждается следующим тестом:

Иначе говоря, если в начало или конец любой последовательности приклеить пустую последовательность, то изначальная последовательность не изменится.

Поскольку Concat — ассоциативная бинарная операция с единицей, она является моноидом. Доказано. ◼

Связные списки и другие коллекции

В Haskell ленивые последовательности моделируется в виде связных списков. Они ленивы уже потому, что все выражения в Haskell являются таковыми по умолчанию. Законы моноидов выполняются и для списков в Haskell:

В Haskell оператор ++ — примерно то же, что Concat в C#, но эту операцию принято называть сложением или присоединением (append), а не конкатенацией (concat).

В F# связные списки инициализируются агрессивно (не лениво), поскольку все выражения в F# являются таковыми по умолчанию. Списки, тем не менее, продолжают быть моноидами, поскольку все свойства моноида все еще выполняются:

Строки

Никогда не задумывались, почему текстовые значения называются string в большинстве языков программирования? В конце концов, string в английском языке — это веревка, такая длинная гибкая штука, сделанная из волокон.

В программировании текст обычно представляется в памяти как последовательный блок символов. Обычно программа читает такие последовательные блоки памяти до тех пор, пока не достигает чего-то, являющегося признаком конца строки. Таким образом, строки символов упорядочены. Они похожи на последовательности или списки.

На самом деле, в Haskell тип String — это не что-то хитрое, а синоним для [Char] (это значит: список значений Char ). Поэтому все, что вы можете делать со списками любых других типов, можно делать и со String :

Совершенно очевидно, что ++ для String является моноидом в Haskell.

Пришлось вручную объяснить FsCheck, что использовать null не нужно. Как всегда, null вставляет палки в колеса в любые рассуждения о коде.

Свободный моноид

Вспомните, как в предыдущих статьях мы показали, что и сложение, и умножение чисел являются моноидами. Существует еще как минимум один моноид над числами, и это — последовательность. Если существует обобщенная последовательность ( IEnumerable ), она может содержать все, что угодно, включая числа.

Как мы раньше доказали, последовательности являются моноидами, поэтому можно спокойно комбинировать их:

В результате получается последовательность, содержащая оба числа. В данный момент, мы еще не потеряли никакой информации, поэтому как только будет понятен способ комбинирования этих чисел, нужно будет просто вычислить собранные ранее данные. Это называется свободным моноидом.

Например, мы решили, что нужно получить сумму чисел:

А вот так можно получить произведение:

Заметьте, что в обоих случаях значение seed является единицей для соответствующей моноидальной операции: 0 — для сложения, 1 — для умножения. Точно так же, функция аггрегации использует ту бинарную операцию, которая относится к соответствующему моноиду.

Интересно, что это называется «свободным моноидом», аналогично «свободным монадам». В обоих случаях можно собрать все данные, интерпретируя их не сразу, а позже — и потом сгрузить все эти данные в один из многих заранее заготовленных «вычислителей».

Резюме

Хорошо, что C# использует + для конкатенации строк, поскольку, как было показано в предыдущей части, сложение — наиболее интуитивное и «естественное» из всех моноидов. Вы знаете школьную арифметику, поэтому можете мгновенно понять метафору сложения. Тем не менее, моноид — это больше, чем метафора. Это абстракция, которая описывает специальные бинарные операции, одна из которых (так получилось) является сложением. Это генерализация концепции — и это абстракция, которую вы уже знаете.

Заключение

На этом мы завершаем эту статью. Впереди еще очень много информации, которая будет публиковаться так же, как в оригинале — в виде последовательных постов на Хабре, связанных обратными ссылками. Здесь и далее: оригиналы статей — © Mark Seemann 2016, переводы делаются силами JUG.ru Group, переводчик — Олег Чирухин.

Напоминаем, что пообщаться с автором можно вживую, посетив конференцию DotNext 2017 Moscow, которая состоится 12-13 ноября 2017 г. в Москве, в «Славянская Рэдиссон». Марк прочитает доклад на тему «From dependency injection to dependency rejection». Билеты можно взять здесь.

Источник