какой многогранник называется выпуклым
Что такое многогранник? Примеры
Примеры многогранников:
1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.
Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.
Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.
Популярное
Почему бумага? Иногда приходится слышать вопрос: «Почему вы выбрали для сборки многогранников такой материал как бумага (или точнее дизайнерский картон)? Это же.
Он круглый, но развёртку деталей для его сборки никто не отменял!
Статья в журнале «Наука и Жизнь» рассказывает о достаточно необычном способе построения многогранников.
Почтовые марки охватывают все значимые события в мире. Не обошли вниманием художники-филателисты и изображения многогранников. Почтовая марка, посвященная Леонарду Эйлеру с.
Что общего между октаэдром и кубом?
Александрийский маяк — одно из 7 чудес света, был построен в III веке до н. э. в египетском городе Александрия, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую.
Что такое многогранник? Примеры
Примеры многогранников:
1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.
Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.
Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.
Популярное
В этой статье мы познакомим вас с технологиями изготовления геометрических тел из металла, которые применяет мастер Иван Кочкин.
Достаточно часто возникает вопрос о практическом применении бумажных развёрток. Какой смысл в бумажном моделировании?
Можно ли проводить дополнительные школьные занятия по геометрии собирая модели многогранников? Конечно же да. Нас пригласили в школу № 2005 (г. Москва), чтобы показать как.
Почтовые марки охватывают все значимые события в мире. Не обошли вниманием художники-филателисты и изображения многогранников. Почтовая марка, посвященная Леонарду Эйлеру с.
Александрийский маяк — одно из 7 чудес света, был построен в III веке до н. э. в египетском городе Александрия, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую.
Находясь в компании модной одежды и аксессуаров, многогранник чувствует себя вполне уверенно.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок № 13. Многогранники
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие многогранники.
Ребра многогранника – стороны граней многогранника.
Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины граней многогранника).
Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.
Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань, делит данный многогранник на две или более частей.
Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (стр. 58, стр. 60 – 61)
Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО, 2000. – 40 с.: ил. (стр. 27 – 31)
Открытые электронные ресурсы:
Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал Квант.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
К определению понятия многогранника существует два подхода. Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.
Б)
Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника
Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.
Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами, ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один пример многогранника — октаэдр (рис. 2)
Рисунок 2 – изображение октаэдра
Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).
Рисунок 3 – Виды многогранников
Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника
Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника
Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.
Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.
Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.
Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид
Б) пространственная фигура
Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б
Выпуклый многогранник
Выпуклый многогранник — пересечение конечного числа замкнутых полупространств Евклидова пространства.
Часто дополнительно предполагается, что выпуклый многогранник ограничен. В этом случае выпуклый многогранник можно также определить как выпуклую оболочку конечного числа точек.
Типы выпуклых многогранников
Смотреть что такое «Выпуклый многогранник» в других словарях:
ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК — выпуклая оболочка конечного числа точек в евклидовом пространстве En. Такой В. м. есть ограниченное непустое пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Бесконечным В. м. называют пересечение конечного числа замкнутых полупространств,… … Математическая энциклопедия
МНОГОГРАННИК — геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т.… … Большой Энциклопедический словарь
МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера
Многогранник — В Викисловаре есть статья «многогранник» … Википедия
многогранник — а; м. Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Правильный м. * * * многогранник геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются рёбрами… … Энциклопедический словарь
Выпуклый многоугольник — Пентаграмма вписанная в правильный выпуклый пятиугольник: все диагонали лежат внутри Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его… … Википедия
Многогранник — в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от… … Большая советская энциклопедия
МНОГОГРАННИК — совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что: 1) каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); 2) от любого из многоугольников,… … Математическая энциклопедия
МНОГОГРАННИК — полиэдр, геом. тело, огранич. со всех сторон плоскими многоугольниками гранями. Стороны граней наз. рёбрами, а концы рёбер вершинами. По числу граней различают 4 гранники. 5 гранники и т. д. М. наз. выпуклым, если он весь расположен по одну… … Большой энциклопедический политехнический словарь
МНОГОГРАННИК — геом. тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, наз. гранями. Стороны граней наз. рёбрами М., а концы рёбер вершинами М. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д. М, наз. выпуклым, если он весь расположен… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Лекция по математике на тему «Многогранники»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Понятие многогранника. Виды многогранников.
Выпуклые и невыпуклые, правильные и неправильные
Преподаватель: Горячева А.О.
Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
Выпуклые и невыпуклые многогранники.
Правильные (Платоновы тела) и неправильные многогранники.
Если данное утверждение не выполняется, многогранник будет являться невыпуклым (рис. 2б).
«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» (Л.Кэрролл).
Всего существует пять правильных многогранников (рис. 3).
Если посчитать количество граней, ребер и вершин указанных многогранников, получим (таб. 1):
Тип правильного многогранника
Число сторон у грани
Число рёбер, примыкающих к вершине
Общее число вершин
Общее число граней
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создавались философские школы. Большое значение в этих школах приобрели рассуждения, с помощью которых удалось получить новые геометрические свойства.
Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел: Вселенная – додекаэдр, Земля – куб, Огонь – тетраэдр, Вода – икосаэдр,
Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон) и все многогранные углы равны.
Существует тринадцать полуправильных многогранников, которые носят название Архимедовых тел: усеченный тетраэдр (рис. 4а), усеченный октаэдр (рис. 4б), усеченный икосаэдр (рис. 4в), усеченный куб (рис. 4г), усеченный додекаэдр (рис. 4д), кубооктаэдр (рис. 4е), икосододекаэдр (рис. 4ж), усеченный кубооктаэдр (рис. 4з), усеченный икосододекаэдр (рис. 4и), ромбокубооктаэдр (рис. 4к), ромбоикосододекаэдр (рис. 4л), плосконосый куб (рис. 4м), плосконосый додекаэдр (рис. 4н), призма (рис. 4о) и антипризма (рис. 4п). Антипризма – это многогранник, у которого две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники.
Тетраэдр и гексаэдр (куб) не имеют звёздчатых форм, так как их грани при продлении через рёбра более не пересекаются.
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр (рис. 5а), большой додекаэдр (рис. 5б), большой звёздчатый додекаэдр (рис. 5в). Первые две из них были открыты И. Кеплером в 1619 году, а третью почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1809г). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм. Одна из этих звёздчатых форм, называемая большим икосаэдром (рис. 6), является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.
Кроме правильных звездчатых многогранников существуют и другие звездчатые формы, получающиеся продолжением граней правильных и полуправильных многогранников.
На рисунке 7 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром.
Продолжения граней кубооктаэдра приводят к четырем звездчатым многогранникам. Первый из них (рис. 8а) получается достраиванием на гранях кубооктаэдра пирамид и представляет собой соединение куба и октаэдра.
Следующая звездчатая форма кубооктаэдра представлена на рисунке 8б. Она образована из соединения куба и октаэдра добавлением 24 бипирамид.
Третья звездчатая форма кубооктаэдра (рис. 8в) представляет собой соединение шести четырехугольных пирамид, основаниями которых служат квадраты.
Последняя звездчатая форма кубооктаэдра (рис. 8г) является соединением звезды Кеплера и трех правильных четырехугольных призм, общей частью которых служит исходный куб.
Икосододекаэдр имеет 19 звездчатых форм, некоторые из которых представлены на рисунке 9.