Вычислительная устойчивость
Из Википедии — свободной энциклопедии
В вычислительной математике вычислительная устойчивость является обычно желательным свойством численных алгоритмов.
Точное определение устойчивости зависит от контекста. Один из них — численная линейная алгебра, другой — алгоритмы решения обыкновенных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных с помощью дискретного приближения.
В численной линейной алгебре основной проблемой являются нестабильности, вызванные близостью к различным особенностям(singularity), таким как очень малые или почти совпадающие собственные значения.
С другой стороны, в численных алгоритмах для дифференциальных уравнений проблема заключается в увеличении ошибок округления и/или изначально небольших флуктуаций в исходных данных, которые могут привести к значительному отклонению окончательного ответа от точного решения.
Некоторые численные алгоритмы могут ослаблять небольшие отклонения (ошибки) во входных данных; другие могут увеличить такие ошибки. Расчеты, которые, как можно доказать, не увеличивают ошибки аппроксимации, называются вычислительно устойчивыми. Одна из распространенных задач численного анализа — попытаться выбрать надежные алгоритмы, то есть не дать сильно отличающийся результат при очень небольшом изменении входных данных.
Противоположным явлением является неустойчивость. Как правило, алгоритм включает в себя приближенный метод, и в некоторых случаях можно доказать, что алгоритм будет приближаться к правильному решению в некотором пределе (при использовании на самом деле действительных чисел, а не чисел с плавающей запятой).
Даже в этом случае нет гарантии, что он будет сходиться к правильному решению, потому что ошибки округления или усечения с плавающей точкой могут расти, а не уменьшаться, что приведет к экспоненциальному росту отклонения от точного решения. [1]
Численная устойчивость
Определение
В вычислительной математике большое значение имеет чувствительность решения к малым изменениям входных данных. Задача называется вычислительно неустойчивой, если малые изменения входных данных приводят к заметным изменениям решения. Это отдалённо напоминает непрерывное отображение.
Пример 1: cистема уравнений
Дана система двух линейных уравнений: 
Решением является пара чисел 
«Возмутим» правую часть первого уравнения на 0,01 (вместо 11 напишем 11,01) и получим новую, «возмущённую» систему, решением которой является пара чисел <11,01; 0,00>, не имеющая ничего общего с решением невозмущённой системы. Здесь изменение значения одного параметра на 
привело к совсем другому решению.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Численная устойчивость» в других словарях:
Устойчивость — Устойчивость способность системы сохранять текущее состояние при наличии внешних воздействий. В макроэкономике устойчивость обозначает долгосрочное равновесие между эксплуатацией ресурсов и развитием человеческого общества. В метеорологии… … Википедия
Устойчивость ВоВ — Численная характеристика, косвенно определяющая Устойчивость персонажа. Окончательное значение Устойчивости определяется многими факторами в т.ч. уровнем, классом и навыками персонажа … Википедия
УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ — одно из важных понятий теории разностных (сеточных) методов, характеризующее непрерывную зависимость решений разностных схем но отношению к входной информации. Точнее, пусть разностная схема (разностный или сеточный аналог исходной задачи)… … Математическая энциклопедия
Нравственная статистика — (Moralstatistik, Statistique Morale) изучает массовые проявления человеческой деятельности вне сферы хозяйственных отношений. Вместе с демографией, рассматривающей биологические процессы, в которых человек играет лишь пассивную роль, и… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Чёрная дыра — У этого термина существуют и другие значения, см. Чёрная дыра (значения). Изображение, полученное с помощью телескопа «Хаббл»: Активная галактика M87. В ядре галактики, предположительно, находится чёрная дыра. На сни … Википедия
Психометрия — (психометрика) дисциплина, изучающая теорию и методику психологических измерений, включая измерение знаний, способностей, взглядов и качеств личности. Психометрия является разделом прикладной статистики[источник не указан 300 д… … Википедия
Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведением матриц. Содержание 1 Определение 2 Иллюстрация 3 Мотивировка … Википедия
АТТИТЮДА ИЗМЕРЕНИЕ — (англ. attitude measurement) процедура и результат численной оценки уровня выраженности того или иного аттитюда. А. и. покоится на допущении того, что аттитюды как состояния сознания м. б. объективизированы и охарактеризованы с помощью к. л.… … Большая психологическая энциклопедия
показатель — 3.7 показатель (indicator): Мера измерения, дающая качественную или количественную оценку определенных атрибутов, выведенную на основе аналитической модели, разработанной для определенных информационных потребностей. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Вычислительная устойчивость
Точное определение устойчивости зависит от контекста.
Один из них — численная линейная алгебра,
другой — алгоритмы решения обыкновенных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных с помощью дискретного приближения.
В численной линейной алгебре основной проблемой являются нестабильности, вызванные близостью к различным особенностям(singularity),
таким как очень малые или почти совпадающие собственные значения.
С другой стороны, в численных алгоритмах для дифференциальных уравнений
проблема заключается в увеличении ошибок округления и/или изначально небольших флуктуаций в исходных данных,
которые могут привести к значительному отклонению окончательного ответа от точного решения.
Некоторые численные алгоритмы могут ослаблять небольшие отклонения (ошибки) во входных данных; другие могут увеличить такие ошибки.
Расчеты, которые, как можно доказать, не увеличивают ошибки аппроксимации, называются вычислительно устойчивыми.
Одна из распространенных задач численного анализа — попытаться выбрать надежные алгоритмы,
то есть не дать сильно отличающийся результат при очень небольшом изменении входных данных.
Противоположным явлением является неустойчивость.
Как правило, алгоритм включает в себя приближенный метод, и в некоторых случаях можно доказать,
что алгоритм будет приближаться к правильному решению в некотором пределе
(при использовании на самом деле действительных чисел, а не чисел с плавающей запятой).
Даже в этом случае нет гарантии, что он будет сходиться к правильному решению,
потому что ошибки округления или усечения с плавающей точкой могут расти, а не уменьшаться,
что приведет к экспоненциальному росту отклонения от точного решения.
Связанные понятия
В вычислительной математике одной из наиболее важных задач является создание эффективных и устойчивых алгоритмов нахождения собственных значений матрицы. Эти алгоритмы вычисления собственных значений могут также находить собственные векторы.
Спектральные методы — это класс техник, используемых в прикладной математике для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, возможно, вовлекая Быстрое преобразование Фурье. Идея заключается в переписи решения дифференциальных уравнений как суммы некоторых «базисных функций» (например, как ряды Фурье являются суммой синусоид), а затем выбрать коэффициенты в сумме, чтобы удовлетворить дифференциальному уравнению, насколько это возможно.
В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.
Техники спектральной кластеризации используют спектр (собственные значения) матрицы сходства данных для осуществления понижения размерности перед кластеризацией в пространствах меньших размерностей. Матрица сходства подаётся в качестве входа и состоит из количественных оценок относительной схожести каждой пары точек в данных.
В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.
Не путать с «симплекс-методом» — методом оптимизации произвольной функции. См. Метод Нелдера — МидаСимплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве.
В статистике, машинном обучении и теории информации снижение размерности — это преобразование данных, состоящее в уменьшении числа переменных путём получения главных переменных. Преобразование может быть разделено на отбор признаков и выделение признаков.
Вычислительная устойчивость
Определение
В вычислительной математике большое значение имеет чувствительность решения к малым изменениям входных данных. Задача называется вычислительно неустойчивой, если малые изменения входных данных приводят к заметным изменениям решения. Это отдалённо напоминает непрерывное отображение.
Вычислительная устойчивость, например, решения системы уравнений, можно определить следующим образом: допустим мы решили систему уравнения относительно 
, то есть нашли решение 
. Если мы чуть-чуть поменяем значения на 
, то новое решение 
будет в каком-то смысле близким к решению .
Пример 1: cистема уравнений
Дана система двух линейных уравнений: 
Решением является пара чисел 
«Возмутим» правую часть первого уравнения на 0,01 (вместо 11 напишем 11,01) и получим новую, «возмущённую» систему, решением которой является пара чисел <11,01; 0,00>, не имеющая ничего общего с решением невозмущённой системы. Здесь изменение значения одного параметра меньше чем на 
привело к совсем другому решению.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Вычислительная устойчивость» в других словарях:
Устойчивость системы автоматического управления — Устойчивость системы автоматического управления, способность системы автоматического управления (САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение… … Большая советская энциклопедия
устойчивость — 32 устойчивость Способность подъемника противодействовать опрокидывающим моментам Источник: ГОСТ Р 52064 2003: Подъемники с рабочими платформами. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Вычислительная математика — Имеется викиучебник по теме «Вычислительная математика» … Википедия
Устойчивость — I Устойчивость решений дифференциальных уравнений, понятие качественной теории дифференциальных уравнений, разрабатывающееся особенно в связи с вопросами устойчивости движения (См. Устойчивость движения) в механике; имеет также важное… … Большая советская энциклопедия
устойчивость аппаратуры — 3.4 устойчивость аппаратуры: Способность аппаратуры сохранять свои параметры в пределах установленных допусков во время воздействия механических и климатических факторов. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. Содержание термина В. м. нельзя считать установившимся, так как эта область математики интенсивно развивается в связи с быстро растущими применениями ЭВМ в новых… … Математическая энциклопедия
Вычислительная сложность — В информатике и теории алгоритмов вычислительная сложность алгоритма это функция, определяющая зависимость объёма работы, выполняемой некоторым алгоритмом, от размера входных данных. Раздел, изучающий вычислительную сложность, называется теорией… … Википедия
Численная устойчивость — Определение В вычислительной математике большое значение имеет чувствительность решения к малым изменениям входных данных. Задача называется вычислительно неустойчивой, если малые изменения входных данных приводят к заметным изменениям решения.… … Википедия
ГОСТ 18421-93: Аналоговая и аналого-цифровая вычислительная техника. Термины и определения — Терминология ГОСТ 18421 93: Аналоговая и аналого цифровая вычислительная техника. Термины и определения оригинал документа: 51 амплитудная характеристика (операционного усилителя): Зависимость установившегося значения выходного напряжения… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Алгоритм де Кастельжо — В вычислительной математике алгоритм де Кастельжо, названный в честь его изобретателя Поля де Кастельжо рекурсивный метод определения формы многочленов Бернштейна или кривых Безье. Алгоритм де Кастельжо также может быть использован для разделения … Википедия
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Неустойчивость вычислительного процесса выражается в неограниченном возрастании фазовых координат модели. Для устойчивой технической системы это противоестественно, так как она после прекращения внешнего воздействия всегда стремится к состоянию устойчивого равновесия. Неустойчивость вычислительного процесса для такой системы обусловлена расходящимся итерационным процессом численного метода решения системы уравнений. Но если техническая система обладает физической неустойчивостью, то при соответствующих воздействиях на нее фазовые координаты системы могут неограниченно возрастать. [1]
При малых значениях шага интегрирования Т решение, полученное из разностного уравнения (3.33), имеет малую погрешность. Приближение Т к некоторому критическому значению шага Ткр приводит к быстрому росту погрешности, а затем наступает числовая неустойчивость вычислительного процесса и получаемые нарастающие по модулю значения оказываются весьма далекими от точного решения. [11]
При малых значениях шага интегрирования Т решение, полученное из разностного уравнения (3.33), имеет малую погрешность. Приближение Т к некоторому критическому значению шага ТКр приводит к быстрому росту погрешности, а затем наступает числовая неустойчивость вычислительного процесса и получаемые нарастающие по модулю значения оказываются весьма далекими от точного решения. [12]
Неустойчивость вычислительного процесса выражается в неограниченном возрастании фазовых координат модели. Для устойчивой технической системы это противоестественно, так как она после прекращения внешнего воздействия всегда стремится к состоянию устойчивого равновесия. Неустойчивость вычислительного процесса для такой системы обусловлена расходящимся итерационным процессом численного метода решения системы уравнений. Но если техническая система обладает физической неустойчивостью, то при соответствующих воздействиях на нее фазовые координаты системы могут неограниченно возрастать. [15]
