Какой логической операции соответствует употребление или в высказывании все или ничего
pomosch.onlain@yandex.ru
1. Какой логической операции соответствует употребление «или» в высказывании: «Либо мы летим сегодня на самолете, либо завтра едем на поезде.»?
• импликация
• альтернативная дизъюнкция
• эквивалентность
• конъюнкция
3. Укажите основные логические законы:
• неассоциативность дизъюнкции
• недистрибутивность дизъюнкции по отношению к конъюнкции
• коммутативность дизъюнкции
• идемпотентность
4. Укажите, какое из следующих выражений является символьной записью высказывания: «(В тогда, когда А) и (без В нет и А)»:
• (B⇒A)&( B&A)
• (A⇒B)&( B&A)
• (A⇒B)&( B⇒A)
• (В⇒А)&( B⇒A)
5. Конъюнктивная нормальная форма для А⇒В≡С равна:
• (А∨B∨С)& (А∨B)&(A∨C)
• (A∨ В∨C)& (В∨C)&A
• (А∨В)&(В∨А) &(C∨A∨ В)
• (A∨C)&(B∨C) &(А∨B∨С)
• (В∨А)& (С∨А)
6. Укажите, какое из следующих выражений является тавтологией (тождественно истинной):
• А∨С&А &В
• А&В∨С&А
• А∨ А
• А&А∨ С&А
7. Выражение (А∨В)&С∨А&(В∨С)&В при В=И равносильно:
• C
• А&В
• А
• С∨А
8. Формула ∃х∀у∃z∀uA равносильна формуле:
• ∀х∃у∀z∃u A
• ∀ х∀у∃z∀u A
• ∀х∀у∀z∀u A
• х∃у∀z∃u A
• ∃х∀у∃z∀u A
9. Формула ((∃хА)&∀хD) равносильна формуле:
• (∃х А)&∀х D
• (∃х А)⇒∀х D
• (∀х А)&∃х D
• (∀х А)≡ ∃х D
• (∀х А)∨∃х D
10. Предложение «Для каждого х выполнимо Р(х), но не существует х, что Q(x)» в символическом виде представимо в виде:
• ∀хР(х)≡ ∃хQ(x)
• ∀хР(х)≡∃х Q(x)
• (∀хР(х))& ∃хQ(x)
• (∀хР(х))∨∃х Q(x)
11. Булевы функции (от любого числа переменных), принимающие значение 1 независимо от значений аргументов, называются:
• однозначными
• псевдоложными
• противоречиями
• тождественно-истинными
12. Две формулы называются равносильными, если они:
• не представляют булевы функции.
• представляют одну и ту же булеву функцию.
• представляют разные булевы функции.
13. Пусть х, у и z переменные со значениями из (-∞,∞). Укажите какое из следующих выражений является высказыванием:
• 2×2=5
• x+2 >y
• x+y=z
• x+у >0
14. Булевы функции (и реализующие их формулы), всегда принимающие значение 0, называются:
• противоречиями
• псевдоложными
• тождественно-истинными
• однозначными
15. В алгебре логики, если А и В – формулы, то также формулами являются:
• А ∨ В)
• А
16. Какой логической операции соответствует употребление «или» в высказывании: «Мне разрешили купить или мороженое, или шоколад»?
• альтернативная дизъюнкция
• эквивалентность
• конъюнкция
• импликация
17. Упростите следующую форму: А∨А∨А∨(В⇒С)&B&А∨С и укажите, с какой из следующих форм совпадает результат:
• B∨С
• В&А∨C
• (В⇒C)∨C
• А∨С
18. Пусть х и у переменные со значениями из (-∞,∞). Укажите какое из следующих выражений не является высказыванием:
• 2×2=5
• 2×2=4
• 5>10
• sin(x) >у
19. Какой логической операции соответствует употребление «или» в высказывании: «Все или ничего!»?
• конъюнкция
• дизъюнкция
• эквивалентность
• импликация
20. Формула ∃х∀уA равносильна формуле
• ∀х∀у A
• ∃х∀у A
• ∀х∃у A
• ∀х∃у A
Какой логической операции соответствует употребление или в высказывании все или ничего
Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.
1. Логические выражения и логические операции
Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).
Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.
Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.
С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.
Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.
В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.
Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:
Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).
Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.
Введем перечисленные логические операции.
В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.
Какой логической операции соответствует употребление или в высказывании все или ничего
2) Логическое сложение или дизъюнкция:
Таблица истинности для дизъюнкции
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
3) Логическое отрицание или инверсия:
Таблица истинности для инверсии
| A | ¬ А |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
4) Логическое следование или импликация:
«A → B» истинно, если из А может следовать B.
Обозначение: F = A → B.
Таблица истинности для импликации
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
5) Логическая равнозначность или эквивалентность:
Конспект урока информатики «Логические операции»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выбранный для просмотра документ Орешина.doc
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1
имени 50-летия «Красноярскгэсстрой»
Муниципальный этап республиканского конкурса
«Электронные разработки» в 2009 году
Название конкурсной работы
Логические операции
урок информатики в 9 классе
Автор: Орешина Нина Семеновна,
учитель информатики,
1 квалификационная категория
Технологическая карта урока
Орешина Нина Семеновна
МОУ СОШ №1 имени 50-летия «Красноярскгэсстрой» г. Саяногорска
Информатика, 9 класс
Формирование представления об алгебре высказываний, и основных логических операциях, знакомство с алгоритм построения таблиц истинности.
Обеспечить в ходе урока усвоение и первичное закрепление новых понятий.
Развивать логическое мышление.
Развивать умение выделять существенные признаки и свойства.
Формировать коммуникативные навыки.
Воспитывать культуру труда в процессе выполнения письменных работ.
Презентация Power Point;
Текс товый документ
Необходимое аппаратное и программное обеспечение
Информатика и ИКТ. Учебник. 8–9 класс/ Под ред проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007
Программа по информатике и ИКТ (системно-информационная концепция) к комплекту учебников по информатике и ИКТ 5-11 класс, 2007
Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Часть 3. Техническое обеспечение информационных технологий/ Под ред проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2008
ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА
Актуализация внимания учащихся на урок
Форма организации деятельности учащихся
Восприятие цели урока, настрой на урок
Функции преподавателя на данном этапе
Настроить учащихся на урок, сконцентрировать внимание учащихся на теме урока.
Актуализация знаний учащихся
Основной вид деятельности со средствами ИКТ
Работа по заданиям на карточках.
Проверка осуществляется с помощью демонстрации презентации (2).
Форма организации деятельности учащихся
1 задание – работа по вариантам на карточках
2 задание – индивидуальная работа по разноуровневым заданиям на карточках
Функции преподавателя на данном этапе
Изучение нового материала
Познакомить учащихся с простейшими логическими операциями и этапами построения таблицы истинности
Основной вид деятельности со средствами ИКТ
Демонстрация презентации (3-26 слайд)
Форма организации деятельности учащихся
Функции преподавателя на данном этапе
Изложение нового материала
Снятие локального утомления.
Закрепление новых знаний
Проверить степень понимания нового материала
Основной вид деятельности со средствами ИКТ
Форма организации деятельности учащихся
Самостоятельная работа учащихся в тетради
Функции преподавателя на данном этапе
Подведение итогов. Рефлексия
Обобщить знания учащихся полученные на уроке
Форма организации деятельности учащихся
Функции преподавателя на данном этапе
Оценивание каждого учащегося
Закрепление знаний полученных на уроке
Основной вид деятельности со средствами ИКТ
Демонстрация презентации (33 слайд)
Форма организации деятельности учащихся
Функции преподавателя на данном этапе
План-конспект урока
Предмет: «Информатика и ИКТ»
Тема урока: «Логические операции» ( 1 урок 80 минут)
Формирование представления об алгебре высказываний, и основных логических операциях, знакомство с алгоритм построения таблиц истинности.
Обеспечить в ходе урока усвоение и первичное закрепление новых понятий.
Развивать логическое мышление
Развивать умение выделять существенные признаки и свойства.
Формировать коммуникативные навыки.
Воспитывать культуру труда в процессе выполнения письменных работ.
Мультимедейный проектор; Принтер.
Информатика и ИКТ. Учебник. 8–9 класс/ Под ред проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007.
Программа по информатике и ИКТ (системно-информационная концепция) к комплекту учебников по информатике и ИКТ 5-11 класс, 2007.
Этапы урока
Организационный момент. Постановка цели урока. 3 мин.
Актуализация знаний (работа по карточкам). 10 мин.
Объяснение нового материала. 37 мин.
Физкультминутка. 3 мин.
Закрепление новых знаний. 17 мин.
Подведение итогов. Рефлексия. 7 мин.
Постановка домашнего задания. 3 мин.
Ход урока
Организационный момент
Сообщение темы и постановка целей урока
Сегодня мы продолжим изучение элементов математической логики. Цель нашего урока – познакомиться с основными логическими операциями, научиться строить таблицы истинности для логических высказываний. В конце урока вы выполните практические задания, которые помогут оценить, как вы усвоили новый материал. Надеюсь на взаимопонимание и слаженность в работе.
Актуализация знаний
Работа по карточкам
Далее осуществляем контроль знаний по теме «Основные понятия алгебры логики». Работа в парах по вариантам, ответы учащиеся записывают на листок, который предварительно раздаётся учителем. После выполнения заданий идет проверка в парах с оцениванием. Правильные ответы демонстрируются на кадрах презентации.
Образец для 1 варианта.
В формальной логике понятием называется
А) форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).
Б) форма мышления, в которой отражаются отличительные существенные признаки предметов или явлений.
В) форма мышления, которая что-либо утверждает или отрицает о предметах, их свойствах или отношениях между ними.
Данная диаграмма Эйлера-Венна иллюстрирует отношения между следующими объёмами понятий:
В) А- Молочный продукт;
Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
Б) Посмотрите на доску.
В) Некоторые медведи бурые.
Определите тип высказывания.
А) Париж-столица Китая.
Б) Некоторые люди являются художниками.
В) Тигр – хищное животное.
Какие из приведенных высказываний являются общими?
Не все книги содержат полезную информацию.
Кошка является домашним животным.
Все солдаты храбрые.
Ни один внимательный человек не совершит оплошность.
Некоторые ученики двоечники.
Все ананасы приятны на вкус.
Мой кот страшный забияка.
Любой неразумный человек ходит на руках.
Образец для 2 варианта.
В формальной логике высказыванием называется
А) форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).
Б) форма мышления, в которой отражаются отличительные существенные признаки предметов или явлений.
В) форма мышления, которая что-либо утверждает или отрицает о предметах, их свойствах или отношениях между ними.
Данная диаграмма Эйлера-Венна иллюстрирует отношения между следующими объёмами понятий:
В) А- Молочный продукт;
Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
А) Наполеон был французским императором.
Б) Чему равно расстояние от Земли до Марса?
В) Внимание! Посмотрите направо.
Определите тип высказывания.
А) Все роботы являются машинами.
Б) Киев-столица Украины.
В) Большинство кошек любят рыбу.
Какие из приведенных высказываний являются частными?
Некоторые мои друзья собирают марки.
Все лекарства неприятны на вкус.
Некоторые лекарства приятны на вкус.
А — первая буква в алфавите.
Некоторые медведи — бурые.
Тигр — хищное животное.
У некоторых змей нет ядовитых зубов.
Многие растения обладают целебными свойствами.
Все металлы проводят тепло.
Листок для ответов может выглядеть следующим образом:
Объяснение нового материала.
Объектами булевой алгебры являются высказывания. Если высказывания соединяются логическими операциями, то их принято называть логическими выражениями.
В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому, как в алгебре чисел определены операции сложения, умножения, деления, возведения в степень над числами). При помощи логических операций над простыми высказываниями получаются составные или сложные высказывания. На естественном языке составные высказывания образуются с помощью союзов.
Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Рассмотрим основные логические операции.
Логическое отрицание (инверсия)
Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» или использования оборота речи «неверно, что…».
Логическое отрицание – одноместная операция, так как в ней участвует одно высказывание (один аргумент).
Операция обозначается частицей НЕ (НЕ А), знаком: ¬А (¬А) или чертой над обозначением высказывания (Ā).
А= <Аристотель основоположник логики.>
Ā= <Неверно, что Аристотель основоположник логики.>
А= <Сейчас идет урок литературы.>
Ā= <Неверно, что сейчас идет урок литературы.>
В результате операции отрицания логическое значение высказывания меняется на противоположное. Исходные выражения принято называть предпосылками.
Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
Это можно отобразить при помощи таблицы:
Таблица со всеми возможными значениями исходных выражений и соответствующими им результатами операции получила название таблицы истинности.
Если обозначить Ложь – 0, а истину – 1, то таблица будет выглядеть так. Как это показано в учебнике на странице 347.
Таблица 2. Таблица истинности операции логического отрицания
Мнемоническое правило: слово «инверсия» означает, что белое меняется на чёрное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.
Логики при образовании инверсии предпочитают иметь дело с оборотом речи «неверно, что», поскольку тем самым подчёркивают отрицание всего высказывания.
Логическое сложение (дизъюнкция)
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Это двуместная операция, так как в ней участвуют два высказывания (два аргумента). Операция обозначается союзом ИЛИ, знаком \/, а иногда знаком + (логическое сложение).
В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.
Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать приём пищи с просмотром телепередач.)
В высказывании Данное существительное во множественном или единственном числе союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция называется строгой дизъюнкцией.
Определите самостоятельно вид дизъюнкции:
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона.
Студент едет в электричке или читает книгу.
Ты выйдешь замуж или за Петю, или за Сашу.
Ты женишься на Вале или на Свете
Завтра дождь будет или не будет.
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать.
Далее будем рассматривать только нестрогую дизъюнкцию. Обозначение: А
В.
А = «На листьях появились серые пятна«
B = «На листьях появились коричневые пятна»
C = «Растение заболело фитофторой»,
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Таблица 3. Таблица истинности операции логического сложения
А В
Мнемоническое правило: дизъюнкция – это логическое сложение и легко заметить, что равенства 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; верные для обычного сложения, верны и для операции дизъюнкции, но 11=1.
Логическое умножение (конъюнкция)
Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и». Это двуместная операция, так как в ней участвуют два высказывания (два аргумента). Операция обозначается союзом И, знаком /\ или &, иногда *(логическое умножение).
Обозначения: А·В; А^В; А&В.
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
Таблица 4. Таблица истинности операции логического умножения.
Обратите внимание, что в таблице истинности значения входящих высказываний пишутся по возрастанию.
Мнемоническое правило: конъюнкция – это логическое умножение, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0·0=0; 0·1=0; 1·0=0; 1·1=1, верные для обычного умножения, верны и для операции конъюнкции.
Вопрос учителя: Один зажиточный человек боялся грабителей и заказал замок, который открывался двумя ключами одновременно. С какой логической операцией можно сравнить процесс открывания?
Ответ ученика: Логическое умножение. Каждый ключ в отдельности не открывает замок. Только использование двух ключей вместе позволяет его открыть.
Вопрос учителя: Мальчик Вася был рассеянным и всегда терял ключи. Только поставят родители новый замок, как находится старый ключ (под ковриком, в кармане, в портфеле). Придумайте «суперзамок» для Васи, чтобы дверь не мог открыть посторонний человек, а Вася — наверняка.
Ответ ученика: Замок с логическим сложением, чтобы он открывался хотя бы одним оказавшимся под рукой ключом.
Обратите внимание, что операция логического сложения более «сговорчивая» («хотя бы что-нибудь»), а операция логического умножения более «строгая» («все или ничего»). Если учесть этот факт, то легче запомнить знаки логических операций
Операции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции являются основными логическими операциями. Есть и другие (не основные), но их можно выразить через три основные. В качестве примеров рассмотрим операции импликации и эквивалентности.
Логическое следование (импликация)
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…. то…..».
Обозначения: А→В, А
В.
АВ=<Если 2·2=4, то 3·3=10 >.
Пример 2. Если выучить материал, то сдашь зачет (высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, ведь сдать зачет можно и случайно, например, если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой).
Вывод: Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Таблица 5. Таблица истинности операции логического следования.
АВ
