8 класс. Урок Логические операции. Построение таблиц истинности-09.11.2021
Перед уроком
Добрый день! Входите, садитесь. Сегодня мы продолжим тему «Логические операции» и более подробно поговорим про «Построение таблиц истинности».
Сегодня вам необходимо:
1) Посмотреть видеоурок
2) Составить конспект
3) Пройти тест на оценку
Тема урока «Логические операции. Построение таблиц истинности»
Добрый день! Мы продолжим изучение темы «Логические операции» — §1.3. в учебнике.
После просмотра проведите зарядку для глаз.
Самое главное:
Сегодня мы узнаем, какие существуют правила для построения таблицы истинности для логических выражений, в которых количество логических операций больше одной. Также познакомимся со свойствами логических операций.
Прежде всего давайте вспомним логические операции, которые мы с вами изучали на прошлом уроке. К ним относятся инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. Рассмотрите внимательно таблицу с обозначениями логических операций, которые мы будем использовать в дальнейшем.
Конъюнкция – это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно новое, которое будет являться истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Дизъюнкция – это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно новое, которое будет являться ложным тогда и только тогда, когда ложны оба исходных высказывания.
Инверсия – это логическая операция, которая преобразует исходное высказывание в новое, значение которого противоположно исходному.
Логические выражения могут состоять из более чем двух логических операций. В тоже время, для любых логических выражений можно построить таблицу истинности, в которой мы сможем увидеть, какие значения принимает выражение. Логические операции выполняются в следующем порядке: инверсия, конъюнкция и дизъюнкция.
Итак, для начала рассмотрим, какие действия следует выполнить для построения таблицы истинности:
Мы с вами знаем, что переменные обозначаются с помощью букв латинского алфавита.
2. Подсчитать общее число логических операций в выражении.
Количество логических операций: 2
То есть нам нужно сосчитать сколько в нашем выражении инверсий, конъюнкций и дизъюнкций.
3. Установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов. Как мы с вами знаем, сначала выполняются операции в скобках, затем инверсия, конъюнкция и дизъюнкция.
4. Определить число столбцов в таблице: число переменных плюс число операций. То есть нам нужно сложить количество переменных и логических операций. Мы получим число столбцов в таблице.
Количество столбцов: 5.
5. Заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции в соответствии с последовательностью, установленной в пункте три. То есть мы сначала пишем в шапке таблицы все наши переменные. Затем операции в порядке их следования.
6. Определить число строк в таблице (не считая шапки таблицы):
m – это количество строк. n – число переменных в выражении. То есть, если наше логическое выражение будет состоять, например, из трёх переменных, то количество строк m = 23 = 8. Шапка не входит в количество этих строк.
7. Выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой ряд целых n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2^n – 1. Здесь мы должны написать все возможные входные переменные, как мы делали при построении таблиц истинности.
8. Провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью. То есть произвести логические операции с входными данными в зависимости от логической операции.
А теперь давайте разберёмся на примере. Необходимо построить таблицу истинности для следующего логического выражения: (A & B) & A v B.
Исходя из первого пункта плана построения таблицы истинности, нам нужно посчитать число переменных в выражении. Их у нас две: n = 2. А и B.
Общее число логических операций 3.
А сейчас давайте установим последовательность выполнения логических операций. Сначала будут выполняться логическая операция в скобках – конъюнкция. То есть первым будет выполнятся действие А & B.
Вторая логическая операция снова конъюнкция. И третья логическая операция – дизъюнкция.
Так как у нас 2 переменных и 3 логических операции, значит столбцов у нас будет 5. Так как в четвёртом пункте указан именно такой способ подсчёта столбцов.
Заполним теперь шапку таблицы. Сначала будут идти переменные А и B. Затем логические операции в порядке их выполнения.
Определимся с количеством строк. Нам дана формула для вычисления строк:
Теперь необходимо выписать наборы входных данных. То есть заполнить два первых столбца.
Нам необходимо заполнить столбцы числами от 0 до 3. Так как все операции мы производим в двоичной системе счисления, то представим числа от 0 до 3 в двухразрядном двоичном коде. Получим следующие числа:
00 это 0
01 это 1
10 это 2
11 это 3
Теперь занесём эти числа в первый и второй столбцы. По одной цифре в ячейку.
А сейчас заполним все остальные столбцы. Первая операция – конъюнкция. Данные будем вносить в третий столбец. Прежде, чем начать заполнение таблицы истинности вспомним правило для конъюнкции: новое высказывание будет истинно тогда и только тогда, когда исходные высказывания истинны. Значит в четвёртой строке для данного столбца будет стоять 1, так как это единственный случай, когда истинны оба исходных высказывания, значит и новое будет истинно. В первых трёх строках этого же столбца будут стоять нули, так как в первой строке ложны оба высказывания, во второй – высказывание А, а в третьей – высказывание B.
Переходим к четвёртому столбцу. Здесь снова логическая операция – конъюнкция. А данные мы будем брать из первого и третьего столбцов. И снова 1 будет стоять только в четвёртой строке для данного столбца, так как оба наших высказывания – истинны. В остальных – будут стоять нули.
Нам осталось заполнить последний, пятый столбец. Логическая операция – дизъюнкция. Правило звучит следующим образом: новое высказывание будет ложно тогда и только тогда, когда ложны исходные высказывания. Рассматривать будем второй и четвёртый столбцы. Значит в первой и третьей строках для данного столбца будут стоять нули, так как оба выражения в данной ситуации ложны. В остальных строках этого же столбца будут стоять единицы.
Мы построили таблицу истинности для нашего логического выражения. Следует обратить внимание, что данные в последнем столбце совпали с данными столбца B.
В такой ситуации говорят, что логическое выражение (A & B) & A v B равносильно логической переменной B.
Задание:
Прочтите параграф 1.3., стр 29-30 и сделайте конспект (он вам очень пригодится). Ответьте на вопрос после параграфа письменно стр. 39 №8.
Тест. Перед тестом обязательно прорешать номера после параграфа. Выполните тест на оценку https://videouroki.net/tests/48622657/
Внимание, важно! Когда будете вводить фамилию, имя и класс – вводите, пожалуйста, настоящие. В конце теста вы увидите свою оценку. Результат теста автоматически отправляется мне. При этом фиксируется время прохождения теста и адрес. Учтите, если вы проходите тест несколько раз, я засчитаю только первый. Поэтому будьте внимательны! На выполнение задания у вас неделя.
Итак, тема, которую мы начали изучать не самая простая. Если вам было что-то непонятно, то на youtube есть очень много видео по этой теме, посмотрите. И, конечно, я всегда готова ответить на ваши вопросы.
Решение письменного номера всем присылать не нужно, я могу попросить некоторых из вас «сдать» тетради на проверку (т.е. прислать фотографии домашней работы).
Какой логической операции соответствует следующее изображение
2) Логическое сложение или дизъюнкция:
Таблица истинности для дизъюнкции
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
3) Логическое отрицание или инверсия:
Таблица истинности для инверсии
| A | ¬ А |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
4) Логическое следование или импликация:
«A → B» истинно, если из А может следовать B.
Обозначение: F = A → B.
Таблица истинности для импликации
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
5) Логическая равнозначность или эквивалентность:
Информатика. 10 класс
Тезаурус
Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые с точки зрения их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.
Логическое высказывание — это повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными. Высказывание, никакая часть которого не является высказыванием, называется элементарным.
Логическая переменная — это переменная, которая обозначает любое высказывание и может принимать логические значения «истина» или «ложь».
Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает составное высказывание при всех возможных значениях образующих его элементарных высказываний.
Инверсия — логическая операция, при которой высказыванию ставится в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.
Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Дизъюнкция — логическая операция, которая двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) — ложно, называется импликацией.
Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно из двух высказываний истинно, называется строгой (исключающей) дизъюнкцией.
Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным, когда оба исходных высказывания истинны или оба исходных высказывания ложны, называется эквиваленцией или равнозначностью.
При преобразовании или вычислении значения логического выражения логические операции выполняются в соответствии с их приоритетом:
Операции одного приоритета выполняются в порядке их следования, слева направо. Скобки меняют порядок выполнения операций.
Предикат — это утверждение, содержащее одну или несколько переменных. Из имеющихся предикатов с помощью логических операций можно строить новые предикаты.
Таблицу значений, которые принимает логическое выражение при всех сочетаниях значений входящих в него переменных, называют таблицей истинности логического выражения.
Истинность логического выражения можно доказать путем построения его таблицы истинности.
Функцию от n переменных, аргументы которой и сама функция принимают только два значения — 0 и 1, называют логической функцией. Таблица истинности может рассматриваться как способ задания логической функции.
Список литературы
Основная литература по теме урока:
— Л. Л.Босова, А. Ю.Босова. Информатика. Базовый уровень: учебник для 10 класса. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017 (с.174—197)
Дополнительная литература по теме урока:
— К. Ю.Поляков, Е. А.Еремин. Информатика углубленный уровень: учебник для 10 класса: часть 1. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013 (с.159—196)
Открытые электронные ресурсы по теме:
Логические операции. ➞ Что такое конъюнкция, дизъюнкция, импликация
Тот, кто хочет подробно разбираться в цифровых технологиях должен понимать основы такой темы, как алгебра логики. В этой статье будут разобраны основные определения, а также показаны самые важные логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д.
Основные положения
Для начала следует разобраться, для чего нужна алгебра логики – главным образом, этот раздел математики и информатики, нужен для работы с логическими выражениями и высказываниями.
Логическим высказыванием называется утверждение (или запись), которое мы можем однозначно классифицировать, как истинное или ложное (1 или 0 в информатике).
Примером таким высказываний будут являться:
Логические высказывания делятся на два типа — простые и сложные.
В алгебре логики, как простые, так и сложные высказываниями описываются булевыми выражениями.
Булево выражение – это символическое (знаковое) описание высказывания.
Операции
Ниже рассмотрим основные операции, которые применяются в булевой алгебре. Их хватит, чтобы упростить львиную долю всех выражений, которые Вам встретятся.
Конъюнкция
Конъюнкция (булево умножение) — функция, по своему смыслу приближенная к союзу «И». При выполнении конъюнкции результат истинен (равен 1) тогда и только тогда, когда истинны ВСЕ переменные. Если хотя бы одно из высказываний ложно, то ложно и всё выражение (равно 0).
Функция может работать как с двумя операндами (высказываниями), так и с тремя, четырьмя и т.д. В математике обозначается с помощью знаков \( \wedge \) и &. Обозначение в языках программирования AND, &&. Таблица истинности для двух операндов:
Дизъюнкция
Дизъюнкцией называется функция булева сложения. По смыслу дизъюнкция приближена к союзу «ИЛИ». В результате выполнения данной функции результирующие выражение является истинным, когда хотя бы одно из высказываний в этом выражении тоже истинно.
Булево сложение, также как и умножение, может работать с произвольным количеством операндов. В математике обозначается как V, а в программировании с помощью OR или I.
Инверсия
Логическое отрицание – функция, работающая с одним высказыванием, и заменяющая истину на ложь, а ложь на истину. В математике обозначается с помощью черты над значением, а в программирование и информатике с помощью слова NOT.
Импликация
Также называется булевым следованием. В русском языке данной функции соответствует оборот «Если …, то …». Например, если на улице гремит гром, то стоит пасмурная погода.
Эквивалентность
Булева тождественность или равенство. На простом языке будет обозначено как «… эквивалентно (равно) …». Результат будет истинным тогда, когда все значения в выражении будут иметь одинаковую истинность.
Обозначается с помощью трех черточек или ⟺.
Порядок выполнения операций
Логические операции выполняются в следующем порядке:
Если в формуле указаны скобки, то порядок выполнения действий в скобках точно такой же, как написано выше.
Пример
Дано два отрезка B = [2,10], C = [6,14]. Из предложенных вариантов ответа выберите такой отрезок A, что формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) истинна при любом значении z. Варианты ответа:
Решение: Подставим в уравнение \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) =1 значения B и C и составим таблицу истинности:
Получившаяся формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in [2,10])) \vee (z \in [6,14])=1 \). По условию \( z \in A \)=1.
Таблица истинности для всех отрезков:
Ответ: A = [3,11].
Видео
Заключение
Вот Вы и познакомились с основными логическими операциями и понятиями и знаете, что такое булево сложение и умножение. Если вас заинтересовала данная тема, то можете изучить булевы законы. Эти законы не проходятся в рамках школьной программы и служат для упрощения сложных выражений.
Логические элементы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и их таблицы истинности
Электрическая схема, предназначенная для выполнения какой-либо логической операции с входными данными, называется логическим элементом. Входные данные представляются здесь в виде напряжений различных уровней, и результат логической операции на выходе — также получается в виде напряжения определенного уровня.
Операнды в данном случае подаются в двоичной системе счисления — на вход логического элемента поступают сигналы в форме напряжения высокого или низкого уровня, которые и служат по сути входными данными. Так, напряжение высокого уровня — это логическая единица 1 — обозначает истинное значение операнда, а напряжение низкого уровня 0 — значение ложное. 1 — ИСТИНА, 0 — ЛОЖЬ.
Логический элемент — элемент, осуществляющий определенные логические зависимость между входными и выходными сигналами. Логические элементы обычно используются для построения логических схем вычислительных машин, дискретных схем автоматического контроля и управления. Для всех видов логических элементов, независимо от их физической природы, характерны дискретные значения входных и выходных сигналов.
Логические элементы имеют один или несколько входов и один или два (обычно инверсных друг другу) выхода. Значения «нулей» и «единиц» выходных сигналов логических элементов определяются логической функцией, которую выполняет элемент, и значениями «нулей» и «единиц» входных сигналов, играющих роль независимых переменных. Существуют элементарные логические функции, из которых можно составить любую сложную логическую функцию.
В зависимости от устройства схемы элемента, от ее электрических параметров, логические уровни (высокие и низкие уровни напряжения) входа и выхода имеют одинаковые значения для высокого и низкого (истинного и ложного) состояний.
Традиционно логические элементы выпускаются в виде специальных радиодеталей — интегральных микросхем. Логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и сложение по модулю (И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ) — являются основными операциями, выполняемыми на логических элементах основных типов. Далее рассмотрим каждый из этих типов логических элементов более внимательно.
Таблица истинности для элемента 2И показывает, что на выходе элемента будет логическая единица лишь в том случае, если логические единицы будут одновременно на первом входе И на втором входе. В остальных трех возможных случаях на выходе будет ноль.
На западных схемах значок элемента «И» имеет прямую черту на входе и закругление на выходе. На отечественных схемах — прямоугольник с символом «&».
Таблица истинности для элемента «2ИЛИ» показывает, что для появления на выходе логической единицы, достаточно чтобы логическая единица была на первом входе ИЛИ на втором входе. Если логические единицы будут сразу на двух входах, на выходе также будет единица.
На западных схемах значок элемента «ИЛИ» имеет закругление на входе и закругление с заострением на выходе. На отечественных схемах — прямоугольник с символом «1».
Таблица истинности для инвертора показывает, что высокий потенциал на входе даёт низкий потенциал на выходе и наоборот.
На западных схемах значок элемента «НЕ» имеет форму треугольника с кружочком на выходе. На отечественных схемах — прямоугольник с символом «1», с кружком на выходе.
Таблица истинности для элемента «И-НЕ» противоположна таблице для элемента «И». Вместо трех нулей и единицы — три единицы и ноль. Элемент «И-НЕ» называют еще «элемент Шеффера» в честь математика Генри Мориса Шеффера, впервые отметившего значимость этой логической операции в 1913 году. Обозначается как «И», только с кружочком на выходе.
Изображение в западных схемах — как у «ИЛИ» с дополнительной изогнутой полоской на стороне входа, в отечественной — как «ИЛИ», только вместо «1» будет написано «=1».
Этот логический элемент еще называют «неравнозначность». Высокий уровень напряжения будет на выходе лишь тогда, когда сигналы на входе не равны (на одном единица, на другом ноль или на одном ноль, а на другом единица) если даже на входе будут одновременно две единицы, на выходе будет ноль — в этом отличие от «ИЛИ». Данные элементы логики широко применяются в сумматорах.
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Подписывайтесь на наш канал в Telegram!
Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
