Расположение координатных четвертей на графике
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Ответ:Во-первых, речь идёт НЕ о графиках функций, а о нумерации четвертей, или квадрантов, при отсчёте углов вращения вокруг неподвижной точки (начала координат), в частности, в связи с тригонометрическими функциями. Во-вторых, в математике принят (во всём мире!) стандарт: вращение ПРОТИВ часовой стрелки считать в положительном направлении.
Соответственно, нумерация четвертей производится ПРОТИВ часовой стрелки, то есть в ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ направлении.
Ответ
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Координатная плоскость — плоскость, в которой построена система координат. Обозначается плоскость как «x0y».
Обращаем ваше внимание на выбор длины единичных отрезков по осям.
Цифры, обозначающие числовые значения на осях можно располагать как справа, так и слева от оси «Oy». Цифры на оси «Ox», как правило, пишут внизу под осью.
Обычно единичный отрезок на оси «0y» равен единичному отрезку на оси «0x». Но бывают случаи, когда они не равны друг другу.
Оси координат делят плоскость на 4 угла, которые называют координатными четвертями. Четверть, образованная положительными полуосями (правый верхний угол), считают первой I.
Отсчитываем четверти (или координатные углы) против часовой стрелки.
Выясним, как в тригонометрии координатные четверти связаны с градусной и радианной мерой углов.
Тригонометрические углы получают в результате поворота луча OP вокруг точки O. Поэтому точка P соответствует углу 0°.
При положительном направлении обхода поворот луча происходит по часовой стрелке. Градусная мера всей окружности равна 360°. Каждая из четвертей занимает угол в 90°.
I координатной четверти соответствуют углы от 0° до 90°,
III — от 180° до 270°,
Переводя градусную меру в радианную, получим аналогичное разбиение окружности по координатным четвертям в радианах:
Углы 0°, 90°, 180°,270°, 360° не принадлежат ни одной из координатных четвертей.
Отрицательные значения углов получают поворотом луча против часовой стрелки. Соответственно, иллюстрация разбиения по координатным четвертям в этом случае выглядит так:
Определить, углом какой четверти является угол:
а) 47° — угол I координатной четверти, так как 0° 
7π/6 — угол II координатной четверти, так как
Сравнение радианной меры угла с 0, π/2, π, 3π/2 и 2π иногда вызывает затруднения. В этом случае можно перевести радианную меру в градусную.
Другой способ: если дробь неправильная, можно найти ближайшее к коэффициенту перед π в числителе число, которое делится нацело на знаменатель, и представить числитель как сумму (или разность) этого целого числа и остатка.
Очевидно, что 7π/6>π. Поскольку π/6 — острый угол, то π/6 
откуда 13π/8 — угол IV координатной четверти.
значит — 9π/5 — угол I четверти.
Следовательно, 19π/4 — угол II четверти.
Этот урок посвящен изучению координатной плоскости. Мы рассмотрим, для чего используются координатные плоскости, разберем основные сведения. Также на уроке мы узнаем способ получения координатной плоскости из обычной и решим задачи, в которых научимся строить точки по заданным координатам и определять координаты точек, изображенных на координатной плоскости.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Связь числа и геометрии. Часть 2. Треугольники. Координаты»
Основные сведения о координатной плоскости
Как известно, на каждом доме указаны его номер и название улицы – это адрес дома. На билете в любой зрительный зал написаны номер ряда и номер места – это адрес кресла. Для определения положения точки на глобусе надо знать долготу и широту – это адрес географической точки (географические координаты). Каждый объект имеет свой упорядоченный адрес (координаты). Таким образом, адрес или координаты – это числовое или буквенное обозначение того места, где находится объект.
Математиками была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале). Такая модель получила название координатная плоскость.
Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо начертить две перпендикулярные прямые, отмечая стрелками направления «вправо» и «вверх» (см. Рис. 1). На прямые наносят деления, как на линейку, причем точка пересечения прямых – это нулевая отметка для обеих шкал. Горизонтальную прямую обозначают и называют осью ординат.
Две перпендикулярные оси с разметкой называют прямоугольной, или декартовой, системой координат. Название «декартова» происходит от фамилии французского философа и математика Рене Декарта, который ее придумал.
Рис. 1. Координатная плоскость
Координаты точки
Для любой точки на координатной плоскости можно указать два числа (координаты). На рисунке 2 показана точка (см. Рис. 2).
Рис. 2. Определение координат точек на координатной плоскости
Можно сделать все и в обратном порядке. То есть изобразить точку на плоскости по известным координатам.
1. Построить точки по заданным координатам
Рис. 3. Построение точек на координатной плоскости по заданным координатам
2. Построить точки по заданным координатам
Для построения точки (см. Рис. 4).
Для построения точки (см. Рис. 4).
Рис. 4. Построение точек на координатной плоскости по заданным координатам
Задача
1. Выписать координаты точек (см. Рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
1. Для определения координат точки (см. Рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Координатные четверти
Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части – четверти. Порядковые номера четвертей принято считать против часовой стрелки (см. Рис. 8).
Рис. 8. Нумерация четвертей координатной плоскости
Например, у точки отрицательная, следовательно, эта точка находится в четвертой четверти.
Другие системы координат
Чтобы присвоить точке числовой «адрес» (координаты), используются и другие системы координат.
Причины использования различных систем координат:
На этом уроке мы рассматривали прямоугольную систему координат на плоскости. Размерность такого пространства равна 2, то есть точка задавалась двумя координатами. Однако пространство может иметь другую размерность, например равную единице, когда точка может менять свое положение только в одном направлении (двигаться вперед-назад или вверх-вниз). В качестве примера можно привести движение автомобиля по ровной дороге или движение лифта. Для указания местоположения точки нужна только одна координата. Эта координата будет означать то расстояние, которое проехал автомобиль (см. Рис. 9), или этаж, на котором находится лифт (см. Рис. 10).
Рис. 9. Координата в данном случае – это расстояние, на которое отъехал автомобиль
Рис. 10. Координата в данном случае – этаж, на котором находится лифт
В математике такая система координат представлена числовой или координатной осью. Чтобы из любой прямой получить координатную ось, необходимо отметить на прямой начало отсчета, масштаб и направление отсчета (см. Рис. 11). По одной координате можно однозначно понять, где находится точка.
Рис. 11. Координатная ось
Размерность пространства может быть равной трем (пространство, в котором мы живем, имеет три измерения). Для указания места положения точки в этом случае нужны три координаты. Например, если в высотном здании на каждом этаже находится кинотеатр, то для указания места в билете должны быть указаны три координаты – этаж, ряд, номер кресла. В математике такая система координат строится точно так же, как на плоскости, только добавляется третья ось 
(см. Рис. 12).
Рис. 12 Декартова система координат в пространстве
2. Другой метод задания координат точки (использование полярной системы координат на плоскости).
Проводится ось (см. Рис. 13).
Рис. 13. Полярная система координат на плоскости
В трехмерном пространстве строятся аналогичные системы, например сферическая или цилиндрическая система координат.
Таким образом, прямоугольная система координат широко применяется в математике, но не является единственной.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт mathematics-repetition.com (Источник)
2. Интернет-сайт youtube.com (Источник)
3. Интернет-сайт exponenta.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Вопросы в конце раздела 45 (§9), задание 1393, 1394, 1396, 1398 (стр. 245-246) – Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 (Источник)
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта. 
Радианная и градусная мера угла
В школьном курсе математики есть два определения основных тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Для решения задачи B11 нужен именно алгебраический подход. Чуть позже мы убедимся, что такие задачи решаются элементарно — буквально с помощью одной формулы. Но для начала научимся быстро (буквально на лету) определять координатную четверть, в которой расположен искомый угол. В этом нам помогут следующие правила.
Переход от радианной меры к градусной
Вспомните: в 8—9 классах мы работали лишь с несколькими стандартными углами. А именно: 30°, 45° и 60°. В особо продвинутых случаях учителя рассказывали еще об углах 90° и 0°. Любые другие значения назывались «сложными», и возникновение таких углов, скорее всего, указывало на ошибку в решении.
С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Здесь я не буду рассказывать, как устроена тригонометрическая окружность — все это подробно описано в любом учебнике по математике. Вместо этого предлагаю обсудить другой вопрос — более важный, но которому почему-то не уделяется достаточно внимания. Речь идет о переходе от радианной меры угла к градусной.
Исторически так сложилось (и небезосновательно), что углы на тригонометрической окружности измеряют в радианах. Например, полный оборот — 360° — обозначается А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен
У многих возникает вопрос: при чем здесь Так вот, чтобы избежать путаницы, запомните простое, но очень важное правило:
Во всех тригонометрических функциях — синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе — можно без ущерба для здоровья заменять на 180°. Пишется это так:
Обратите внимание: данное правило работает только для тригонометрических функций! Например, мы спокойно можем записать Но если мы хотим найти примерную длину придется считать:
Разумеется, существует и обратное правило — переход от градусной меры угла к радианной. Однако нас это сейчас не интересует, поскольку в задачах B11 такой переход не встречается.
Теперь взгляните на конкретные примеры:
Задача. Перейдите от радианной меры угла к градусной (значение тригонометрических функций вычислять не надо):
Итак, вместо непонятного мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам.
Границы координатных четвертей
Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используйте простую и понятную шкалу:
Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. И вы точно не забудете эти числа на ЕГЭ по математике, чего нельзя сказать про радианную меру.
Если же память на числа плохая, могу посоветовать одну хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете. Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°. Взгляните: 180°; 270°; 360°. Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°.
А теперь разберем конкретные примеры. Будем учиться искать координатные четверти быстро, поскольку от этого умения напрямую зависит решение задачи B11.
Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:
Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:
Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол.
Нестандартные углы и периодичность
До сих пор мы рассматривали Но что произойдет, если, например, А как насчет отрицательных углов? Такие углы редко встречаются на ЕГЭ по математике (по крайней мере, в части B), но лучше застраховать себя от подобных «неожиданностей», поэтому предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов.
Итак, что если Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз).
С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:
Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:
Снова переводим все углы из радиан в градусы по правилу: Дальше уменьшаем или увеличиваем аргумент на 360° до тех пор, пока он не окажется на отрезке И только затем выясняем координатную четверть. Получим:
Вот и все! Обратите внимание: во втором пункте пришлось вычитать 360° три раза — и только затем получился нормальный угол. Аналогично, в четвертом пункте пришлось прибавлять два раза по 360°, чтобы выйти на положительный угол. Таким образом, добавлять и вычитать углы иногда приходится много раз — это не должно настораживать.
В заключение хочу добавить, что если вы хорошо знаете математику и быстро ориентируетесь в радианных углах, то совсем необязательно переводить их в градусы. Однако большинство людей (и не только школьники) предпочитают именно градусную меру — знакомую еще со средней школы и, как следствие, более понятную.
Координатные четверти – расположение
Человечество с самого начала своего существования нуждалось в определении своего места положения. Как узнать конкретное расположение точки с точностью до миллиметра? Только с помощью системы координат, об особенностях которой и пойдет речь сегодня.
Что такое система координат?
Система координат это комплекс мер, которые позволяют определить положение точки в пространстве или на плоскости.
В физике помимо комплекса определения положения точки используется еще и прибор для определения времени. В математике достаточно определить положение точки в один момент времени.
Существует две разновидности систем координат:
Полярная система в современности используется крайне редко, она сложнее декартовой системы, а потому утратила свою популярность.
Координатные четверти
Два взаимно перпендикулярных луча образуют четыре координатные четверти. Горизонтальная ось называется осью абсцисс или осью Ох, вертикальная оси называется осью ординат или осью Оу. Начало координат рассекает оси на положительную и отрицательную часть.
Каждая из координатных четвертей имеет свой номер и обозначение в виде римской цифры. Сначала нумеруют верхние четверти, так верхняя правая четверть зовется первой, верхняя левая второй, нижняя левая третье, а нижняя правая четвертой.
Для того, чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, следует опустить от точки перпендикуляры на оси и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты прописываются в скобочках, первой идет координата по оси Ох, второй по Оу.
Разберемся, какие координаты могут быть в осях:
Что мы узнали?
Мы поговорили о системах координат. Выделили две системы координат. Поговорили о координатных четвертях, а также сказали, как определить расположение точки в зависимости от ее координат.
