Тема 2.5. Изгиб
Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается поперечная нагрузка, лежащая в плоскости проходящей через продольную ось (рис.1). Брус, работающий при изгибе, называется балкой.
Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.1).
Рис.1. Прямой изгиб
Если изгибающий момент Mx является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.2). При наличии поперечной силы Qy изгиб называется поперечным. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.
Далее будем рассматривать плоский изгиб, то есть все силы будем прилагать в плоскости симметрии балки.
Рис.2. Чистый изгиб
Осваивать расчет балок и рам удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:
— Определение внутренних усилий в балках и построение эпюр внутренних усилий.
— Проверка прочности балок.
— Определение перемещений и проверка жесткости балок.
§2.Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента
Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.
Эпюра внутренней силы – график, показывающий изменение этой силы по длине балки.
Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.
Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения поперечной силы и изгибающего момента. Затем по этим выражениям в пределах каждого участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.
Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 3 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 3,б) и подвижной (рис. 3,в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6.5,а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 3,б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис.3,в).
Рис.3. Опорные реакции: а – в заделке; б – в шарнирно-неподвижной опоре;
в – в шарнирно-подвижной опоре.
После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений.
Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).
Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.
Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.
Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным. Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным.
Поперечная сила Q в каком-либо поперечном сечении балки численно равная алгебраической сумме на ось у внешних сил действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент M равен алгебраической сумме моментов сил, относительно центра тяжести сечения.
Взаимосвязь между нагрузкой и очертаниями эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M:
Указанные закономерности позволяют упростить построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (в сложнoзагруженных балках) и обойтись без составления уравнений для каждого участка.
Для определения максимальных значений изгибающих моментов дополнительно подсчитываются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Построение без составления эпюр уравнений дает особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой, имеющих много участков нагружения.
Техническая механика
Сопротивление материалов
Расчеты на устойчивость при продольном изгибе
Понятие продольного изгиба
Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.
Расчеты на прочность и жесткость, выполняемые для большинства видов деформаций основываются на предположении, что между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами существует устойчивая форма равновесия, при которой малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения конструкции от первоначальной формы.
Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние), называют критическими нагрузками.
Примером явления продольного изгиба может послужить длинная школьная линейка, к одному из концов которой приложена сжимающая сила. Сначала материал линейки сопротивляется нагрузке, и линейка работает, как обычный сжимаемый брус. Затем, по достижении определенной нагрузки, линейка начинает прогрессирующе изгибаться без существенного увеличения сжимающей силы и теряет устойчивость (т. е. гнется без заметных усилий вплоть до поломки).
Если предположить, что материал стержня идеально соответствует принимаемым в сопромате допущениям и гипотезам, а сжимающая сила приложена строго к центру тяжести сечения вдоль оси стержня, то такой стержень будет работать на простое сжатие, и разрушится не из-за потери устойчивости, а из-за превышения предельных прочностных характеристик для сжатия. Если же стержень имеет сечение в виде сложной фигуры, то решающую роль при потере устойчивости играет отклонение продольной нагрузки от главной центральной оси этой фигуры.
Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных конструкций, стержней, пластинок и оболочек.
Таким образом, искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба.
При сжимающих силах, даже немного превышающих критическую силу, напряжения изгиба могут непосредственно угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние конструкции считается недопустимым.
где: [sy] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.
Очевидно, что устойчивость стержня обеспечена, если [sy] > 1.
Значение коэффициента запаса устойчивости зависит от назначения стержня и его материала. Обычно для сталей [sy] = 1,8….3; для чугунов [sy] = 5….5,5; для дерева [sy] = 2,8….3,2.
Формулы Эйлера и Ясинского для расчетов стержней на устойчивость
Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведены академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707-1783 г.г.). В дальнейшем большая работа в области теоретического и экспериментального следования вопросов устойчивости была проведена русским ученым, профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским (1856-1899 г.г.), опубликовавшим в 1893 году научную работу «Опыт развития продольного изгиба».
Л. Эйлер почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года и до конца жизни был академиком Петербургской академии наук. С 1741 по 1766 год работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии).
Превосходно знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.
Некоторые из потомков Л. Эйлера до сих пор живут в России.
где: l – длина стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня.
Определим наименьший радиус инерции imin поперечного сечения стержня:
Перепишем формулу для σкр так:
Формулу Эйлера можно применять только при выполнении условия:
где: σпц – предел пропорциональности материала стержня. Следовательно, должно быть
В тех случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, формула Эйлера становится неприменимой и при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского:
где: а и b – коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам справочников.
Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость
Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стержней – проектный, проверочный и силовой.
Проектный расчет заключается в определении минимального осевого момента инерции поперечного сечения стержня по формуле:
Полученную гибкость сравнивают с предельной для данного материала.
Проверочный расчет заключается в определении действительного коэффициента запаса устойчивости sy и сравнении его с допускаемым:
Силовой расчет заключается в определении допускаемой нагрузки [F] по формуле:
Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие. При расчете применяют следующую формулу:
где: [σс] – допускаемое напряжение на сжатие; φ – коэффициент продольного изгиба (справочная величина, определяемая по таблицам).
Расчеты показывают, что при продольном изгибе наиболее выгодными являются кольцевые и коробочные тонкостенные сечения, имеющие относительно большой момент инерции.
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ
— деформация изгиба прямого стержня при действии продольных (направленных по оси) сжимающих сил. При квазистатич. возрастании нагрузки прямолинейная форма стержня остаётся устойчивой до достижения нек-рого критич. значения нагрузки, после чего устойчивой становится искривлённая форма, причём при дальнейшем возрастании нагрузки прогибы быстро увеличиваются.
В случае неупругого материала критич. сила зависит от соотношения 
между напряжением а и относит, деформацией 
при одноосном сжатии. Простейшие модели упругопластич. П. и. приводят к ф-лам типа Эйлера с заменой модуля упругости E либо на касательный модуль 
, либо на приведённый модуль 
. Для стержня прямоуг. сечения 
=
В реальных задачах оси стержней имеют нач. искривления, а нагрузки приложены с эксцентриситетом. Деформация изгиба в сочетании со сжатием происходит с самого начала нагружения. Это явление наз. продольно-поперечным изгибом. Результаты теории П. и. используют для приближённой оценки деформации и несущей способности стержней с малыми нач. возмущениями.
При динамич. нагрузках формы П. и. и продольно-поперечного изгиба могут существенно отличаться от форм потери устойчивости при квазистатич. нагруже-нии. Так, при очень быстром нагружении стержня, опирающегося своими концами, реализуются формы П. и., имеющие две и более полуволны изгиба. При продольной силе, к-рая периодически изменяется во времени, возникает параметрический резонанс поперечных колебаний, если частота нагрузки 
, где 
— собств. частоты поперечных колебаний стержня, h— натуральное число. В нек-рых случаях параметрич. резонанс возбуждается также при 
Лит.: Лаврентьев М. А., Ишлинский А. Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем «ДАН СССР», 1949, т. 64, №6, с. 779; Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем, М., 1956; Воль мир А, С., Устойчивость деформируемых систем, 2 изд., М. 1967. В. В. Болотин
Полезное
Смотреть что такое «ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ» в других словарях:
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ — в сопротивлении материалов изгиб сжатого (первоначально прямого) стержня вследствие потери им устойчивости. Возникает при достижении напряжениями критических значений … Большой Энциклопедический словарь
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ — изгиб детали сооружения или машины под действием сжимающей силы. П. И. возникает, когда длина детали значительно превосходит ее поперечные размеры. Сила, при которой наступает П. И., называется критической силой. Величина последней зависит от… … Морской словарь
продольный изгиб — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN lateral bendingbuckling … Справочник технического переводчика
Продольный изгиб — – возникновение прогиба изогнутого элемента от действия продольных сил. [Терминологический словарь по бетону и железобетону. ФГУП «НИЦ «Строительство» НИИЖБ им. А. А. Гвоздева, Москва, 2007 г. 110 стр.] Рубрика термина: Теория и расчет… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
продольный изгиб — в сопротивлении материалов, изгиб прямого длинного стержня при действии на него продольных (направленных по оси) сжимающих сил. Возникает при достижении силами некоторого критического значения. * * * ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ, в… … Энциклопедический словарь
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ — изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери им устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. П. и. возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критич. значений. При расчёте конструкций… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Продольный изгиб — в сопротивлении материалов, Изгиб первоначально прямолинейного стержня под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил вследствие потери им устойчивости. В упругом стержне постоянного сечения различным формам потери… … Большая советская энциклопедия
продольный изгиб колонны — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN buckling of string … Справочник технического переводчика
Продольный изгиб судов* — Если судно плавает на воде, то вес его должен равняться вертикальному давлению воды, т. е. весу воды в объеме подводной части судна (водоизмещению). Если же у плавающего судна рассмотреть какой нибудь отдельный отсек abcd (фиг. 1) между двумя… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Продольный изгиб судов — Если судно плавает на воде, то вес его должен равняться вертикальному давлению воды, т. е. весу воды в объеме подводной части судна (водоизмещению). Если же у плавающего судна рассмотреть какой нибудь отдельный отсек abcd (фиг. 1) между двумя… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Какой изгиб называется продольным
ГЛАВА 35. Расчет элементов строительных конструкции, подверженных различным видам деформации
Все рассмотренные выше виды деформаций характеризуются одной общей особенностью: при любом малом возмущении, стремящемся отклонить тело от состояния равновесия, внутренние силы в деформированном теле изменяются так, что оно возвращается к первоначальному состоянию. Такое состояние системы называют устойчивым. Однако бывают случаи, когда тело под влиянием даже малых возмущений значительно отклоняется от расчетного состояния и принимает какое-то новое положение равновесия. Такое состояние системы называют неустойчивым, Рассмотрим его на примере длинной прямой стойки, шарнирно закрепленной по концам и загруженной сжимающей силой Р (рис. 9.41).
| Рис. 9.41. Потеря устойчивости стержнем при продольном изгибе Стойка при небольшой нагрузке Изгиб.Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.
Внутренние силовые факторы при изгибе балки.При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Правило знаков для поперечных сил Q:
Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Правило знаков для изгибающих моментов M:
Дифференциальные зависимости Журавского.Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:
На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:
Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе. 1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а). 3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б). 4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г). 5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение Mmax или Mmin (рис. г). Нормальные напряжения при изгибе.Определяются по формуле:
Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:
Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Касательные напряжения при прямом изгибе.Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:
Расчеты на прочность при изгибе.1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:
2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:
3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:
Далее по полученному значению [Mx] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [Mвнеш]. Условие прочности имеет вид:
Перемещения при изгибе.Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)
Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина. Метод Мора.Порядок определения перемещений по методу Мора: 1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент. 3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:
4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы. Правило Верещагина.Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.
где Af – площадь эпюры изгибающего момента Мf от заданной нагрузки; yc – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мf ; EIx – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (Af*yc) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра Мf должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое «расслоение эпюры»), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.  Привет, друзья! Сегодня мы с вами поговорим о замечательной  Привет, дорогие дети! Сегодня я хочу рассказать вам  Дорогие дети, сегодня мы поговорим о загадочной поговорке «  Привет, дорогие дети! Сегодня мы поговорим о забавной |
будет находиться в устойчивом равновесии. Она не чувствительна к малым возмущениям. Незначительные дополнительные воздействия мало отклоняют стойку от ее прямолинейного состояния и в этой фазе она испытывает простое осевое сжатие. При 
прямолинейная форма сжатой стоки неустойчива. Сколь угодно малые случайные воздействия вызовут большие отклонения. Стойка после удаления возмущений останется в изогнутом состоянии под действием продольной силы. Такое состояние называют продольным изгибом. Неустойчивая форма равновесия в стойке становится возможной лишь при вполне определенной величине силы, называемой критической силой или критической нагрузкой. 
, а те в свою очередь должны быть меньше допускаемых напряжений для данного материала 
, т. е.
