Множество X вещественных чисел (X ⊂ \(\mathbb\)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть $$ \exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ C.\label $$
Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref, называется верхней гранью числового множества X.
Аналогично, множество X ⊂ \(\mathbb\) называется ограниченным снизу, если $$ \exists C’\in\mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ C’.\label $$
Всякое вещественное число С ‘, удовлетворяющее условию \eqref, называют нижней гранью числового множества X.
Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>\(\Leftrightarrow\left\ <\exists C’\in \ \mathbb\ \exists C\in\mathbb: \ \forall x\in X \ \rightarrow \ C’ \ \leq \ x \ \leq \ C\right\>\).
Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = <C — верхняя грань множества X ⊂ \(\mathbb\)>.
По условию \(B=\left\<\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ C\right\>\). Поэтому $$ \rceil B=\left\<\forall C \ \in \ \mathbb: \ \exists x_C \ \in \ X \ \rightarrow \ x_C Определение 1.
Число M называется точной верхней гранью числового множестваX, если выполняются следующие условия:
Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.
Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.
Число m называется точной нижней гранью числового множестваX, если выполняются следующие условия:
Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.
Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:
Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref. Пусть C=c0,c1c2…cn…; тогда c0— неотрицательное целое число, причем C x’.\label$$
Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a0,<an>. Чтобы проверить выполнение условия \eqref, рассмотрим три произвольных случая:
$$x\not\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$
$$x\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$
$$\exists m: \ x\in X_, \ x\not\in X_\label$$
Из \eqref следует, что \(a_0 удовлетворяет произвольный элемент \(\widetilde x\in X_m\), так как
Из неравенства \eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.
Булевы операции и функции, значения inf и nan
Продолжаем знакомство с операциями над массивами и посмотрим как они ведут себя с булевыми операциями. Предположим, имеется одномерный массив:
и мы хотим определить все числа, которые больше 5. Мы с вами уже выполняли такую операцию и для этого сначала формировали булевый массив, а затем, выделяли элементы, у индексов которых стоит значение True:
На выходе получим массив из трех элементов, которым соответствуют позиции True:
Видите, как это может быть удобно: выделить нужные элементы, не используя ни одного оператора цикла языка Python. А, значит, такая конструкция будет работать достаточно быстро (так как внутри реализована на языках Си и Fortran).
Конечно, эту запись можно еще упростить и записать в виде:
Результат будет тем же. По аналогии работают и другие булевы операторы:
Проверка на равенство
Проверка на неравенство
Проверка, что a больше b
Проверка, что a больше или равно b
array([[inf, inf], [inf, inf], [inf, inf]])
Здесь NumPy нас лишь предупредил, что встретилось деление на ноль, но расчеты были завершены и все элементы равны inf.
Что это за значение inf? Это сокращение от английского слова infinity – бесконечность. Действительно, при делении на 0 получаем бесконечность. Именно это и указано в значениях элементов массива. Благодаря использованию этого специального значения, NumPy избежал ошибки деления на 0. Причем, inf – это полноценный элемент массивов. Его можно непосредственно задать при определении:
И, далее, он может участвовать в вычислениях. Например, умножим b на ноль и посмотрим, что получится:
Последний элемент превратился в nan. Это еще одно сокращение от английского:
not a number (не число)
То есть, значение nan указывает, что в результате арифметической операции третий элемент перестал быть каким-либо числовым значением. Причем, это определение оказывается «прилипчивым». Например, сложим все элементы массива:
То есть, любые арифметические операции с nan приводят к nan.
Функции isnan и isinf
Так как элементы inf и nan не относятся к числам, то для их идентификации, проверки, что текущий элемент массива принимает одно из этих значений, существуют функции isnan() и isinf(). Они возвращают True, если элемент равен nan и inf и Flase – в противном случае. Посмотрим как можно их использовать в программе. Пусть имеется массив:
к которому применим эти две функции:
На выходе имеем массив с булевыми значениями и True стоит на местах inf (при вызове isinf) и nan (при вызове isnan). Далее, используя этот массив можно исключить нечисловые элементы из массива, например, так:
Здесь исключаются все элементы inf, а операция
indx инвертирует булевы значения. Аналогично можно отфильтровать значения nan.
Дополнительные функции: isfinite, iscomplex, isreal
Часто, при работе с массивами требуется определить: являются ли его элементы конечными числами. Для этого используется еще одна функция – isfinit():
Соответственно, все не числовые элементы помечены как False, а числовые – как True.
Далее, мы можем уточнять тип числа: комплексное или действительное, с помощью функций iscompex() и isreal(). Например:
Обратите внимание, несмотря на то, что тип данных у всех элементов массива complex128 (посмотреть можно через a.dtype), последний элемент функция iscomplex() пометила как False, так как мнимая часть равна нулю.
Аналогично работает функция isreal():
Только теперь True помечены действительные числа, а False – все остальные. Но, применяя эту функцию к массиву b:
получим все значения True. То есть, специальные значения nan и inf отмечаются как действительные.
Функции logical_and, logical_or, logical_not и logical_xor
В NumPy можно выполнять стандартные булевы операции И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ, применительно к данным массивов. Например, зададим два массива так, чтобы попарно элементы образовывали все возможные комбинации:
И, затем, применим к ним логические операции:
Получили вполне ожидаемые результаты в соответствии с таблицами истинности этих операций.
Все те же операции можно проводить и с числовыми значениями, полагая, что 0 – это False, а любое другое число – True. Например, два таких массива:
Будут вести себя идентично массивам X, Y при булевых операциях:
Видео по теме
#2. Основные типы данных. Создание массивов функцией array() | NumPy уроки
#3. Функции автозаполнения, создания матриц и числовых диапазонов | NumPy уроки
#4. Свойства и представления массивов, создание их копий | NumPy уроки
#5. Изменение формы массивов, добавление и удаление осей | NumPy уроки
#6. Объединение и разделение массивов | NumPy уроки
Мы видим, что у этого множества есть min (наименьшее значение). Оно равно нулю. Если такая точка есть, что она же будет и inf (точной нижней гранью).
Теперь посмотрим на другую сторону. Мы видим, что наибольшее значение ни в какой точке не достигается, потому что за каждым числом имеется следующее, и оно больше предыдущего. Значит, max (наибольшее значение) у множества отсутствует. Но оно ограничено сверху: все рассматриваемые числа чего-то не превосходят. Например, верно то, что все они не больше 100. В таком случае число 100 разрешается называть верхней гранью множества. Ясно, что и многие другие числа обладают этим свойством: например, 50, или 2, или 3/2. Всё это верхние грани. Мы хотим выбрать из них «лучшую», то есть наиболее точную. Ясно, что это будет число 1. Все наши числа не превосходят 1, то есть это верхняя грань. При этом она самая маленькая из возможных: уменьшить её уже нельзя. Дело в том, что наши числа подходят к ней всё ближе и ближе. И если мы уменьшим 1 до, скажем, 0,999, то верхней грани уже не получится, так как число 1-1/n выйдет за указанные пределы, оказавшись правее 0,999 при n > 1000.
Точная верхняя грань (строгое определение см. в учебнике, а также условия, при которых она у множества существует), обозначается как sup. В рассмотренном примере max A отсутствует, но sup A = 1.
Если требуются ещё какие-то пояснения, их можно будет добавить.
Учебные материалы для 2 курса
Особенности чисел с плавающей точкой
Множество значений, представимых в типах float, double и long double кроме обычных конечных значений содержит три специальных значения NaN, -Inf, Inf.
Значение NaN
Значение NaN (Not-a-Number) используется для того, чтобы сигнализировать о том, что результат некоторой операции не может быть вычислен из-за неопределенностей различного рода.
Например, операция 0.0/0.0 даст результатом NaN.
На самом деле в вещественных типах представимо целое семейство значений NaN, дополнительная информация о конкретном NaN-значении может быть использована как код ошибки.
Все функции перевода из строкового представления в вещественное значение, такие как *scanf, strtod и т. п. распознают строку NAN (независимо от регистра букв) и возвращают значение NaN.
Все функции перевода из вещественного значения в строковое представление, такие как *printf распознают значение NaN и выводят его в виде строки nan.
Результат операции с числами с плавающей точкой, такой как сложение, умножение и т. д. равен NaN, если один из аргументов операции равен NaN.
Если один из операндов операции сравнения равен NaN, операции сравнения дают следующий результат:
Чтобы проверить вещественное значение на принадлежность к классу NaN можно использовать функции fpclassify или isnan.
В силу свойств значения NaN мы будем полагать, что последовательность чисел с плавающей точкой не может быть упорядочена, если в ней содержится элемент NaN
Значения -Inf, Inf
Эти значения представляют результат «бесконечность» который может возникать при выполнениях различных операций с плавающей точкой.
Например, 1.0/0.0 дает результат Inf, а -1.0/0.0 дает результат -Inf.
Все функции перевода из строкового представления в вещественное значение, такие как *scanf, strtod и т. п. распознают строку [+|-]INF (независимо от регистра букв) и возвращают значение Inf с соответствующим знаком.
Все функции перевода из вещественного значения в строковое представление, такие как *printf распознают значение Inf и выводят его в виде строки inf с соответствующим знаком.
Значения Inf, -Inf в операциях сравнения ведут себя естественным образом, например, следующие условия истинны:
Значение Inf больше любого конечного значения, а значение -Inf меньше любого конечного значения.
Чтобы проверить вещественное значение на принадлежность к классу Inf можно использовать функции fpclassify или isinf.
Отрицательный 0
Множество значений вещественных чисел содержит два нуля: положительный и отрицательный. Когда в результате некоторых вычислений (например, при умножении или делении) получается нулевой результат, его знак вычисляется по обычным правилам и сохраняется. Поэтому в результате может получиться как обычное значение 0.0, так и отрицательное -0.0. Эти значения равны друг другу и, соответственно, больше всех отрицательных чисел и меньше всех положительных чисел.
Last modified: Friday, 21-Jun-2013 16:47:24 MSK Alexander Chernov
Документация
Создайте массив всего Inf значения
Синтаксис
Описание
Примеры
Матрица Inf Значения
Создайте 3х3 матрицу Inf значения.
Трехмерный массив Inf Значения
Создайте массив 2 на 3 на 4 Inf значения и отображение его размер.
Клонирование размера от существующего массива
Создайте массив Inf значения, который одного размера с существующим массивом.
typename тип данных ‘double’ (значение по умолчанию) | single’
p — Прототип массива массив
Прототип создаваемого массива в виде массива.
Типы данных: double | single Поддержка комплексного числа: Да
Расширенные возможности
Генерация кода C/C++ Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.
Указания и ограничения по применению:
Размерности должны быть действительными, неотрицательными, целые числа.
Эта функция полностью поддерживает основанные на потоке среды. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска в Основанной на потоке Среде.
Массивы графического процессора Ускорьте код путем работы графического процессора (GPU) с помощью Parallel Computing Toolbox™.
Указания и ограничения по применению:
Можно задать базовый тип datatype как одна из этих опций:
Распределенные массивы Большие массивы раздела через объединенную память о вашем кластере с помощью Parallel Computing Toolbox™.
Указания и ограничения по применению:
Можно задать базовый тип datatype как одна из этих опций:
Можно также задать p как codistributed или distributed массив.
Смотрите также
Открытый пример
У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?
1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.
2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.
4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.
5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.
