Значение слова «градиент»
[От лат. gradiens, gradientis — шагающий]
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.
Например, если взять в качестве
высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.
С математической точки зрения на градиент можно смотреть как на:
1. Коэффициент линейности изменения значения функции многих переменных от изменения значения аргумента
2. Вектор в пространстве области определения скалярной функции многих переменных, составленный из частных производных
3. Строки Матрицы Якоби содержат градиенты составных скалярных функций из которых состоит векторная функция многих переменных
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным (безразмерным).
Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.
Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры
Понятие производной по направлению
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.
Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:
Величину отрезка MM 1 можно обозначить 
.
Функция u = f(M) при этом получит приращение
.
Определение производной по направлению. Предел отношения 
при 
, если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается 
, то есть
.
Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:
.
Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.
Примеры нахождения производной по направлению
Пример 1. Найти производную функции 
в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора 
.
Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
Пример 3. Найти производную функции 
в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора 
.
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
.
Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных 
, 
, 
этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Для градиента функции двух переменных формула короче:
.
Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:
.
5.6. Производная по направлению. Градиент. Линии уровня функции
Определение. Предел отношения 
, если он существует, называется Производной функции Z=F(M) в точке M(X; Y) по направлению вектора L .
Обозначение. 
Если функция F(M) дифференцируема в точке М(х; у), то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L, исходящему из М; вычисляется она по следующей формуле:
(8)
Пример 46. Вычислить производную функции Z=X2+Y2X в точке М(1; 2) по направлению вектора ММ1, где М1 – точка с координатами (3; 0).
Решение. Найдем единичный вектор L, имеющий данное направление:
Откуда Cos=
; Cos=-.
Вычислим частные производные функции в точке М(1; 2):
По формуле (8) получим 
Пример 47. Найти производную функции U = Xy2Z3 в точке М(3; 2; 1) В направлении вектора MN, где N(5; 4; 2).
Решение. Найдем вектор 
и его направляющие косинусы:
Вычислим значения частных производных в точке М:
Следовательно, 
Определение. Градиентом Функции Z=F(M) в точке М(х; у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным 
и
, взятым в точке М(х; у).
Обозначение. 
Пример 49. Найти величину и направление градиента функции 
в точке 
Решение. Найдем частные производные и вычислим их значения в точке М:
Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных U=F(X, Y, Z), выводятся формулы
Вводится понятие градиента 
Подчеркнем, что Основные свойства градиента функции важнее для анализа экономических оптимизационных задач: в направлении градиента функция возрастает. В экономических задачах находят применение следующие свойства градиента:
1) Пусть задана функция Z=F(X, Y), имеющая частные производные в области определения. Рассмотрим некоторую точку М0(х0, у0) из области определения. Значение функции в этой точке пусть равно F(X0, Y0). Рассмотрим график функции. Через точку (X0, Y0, F(X0, Y0)) трехмерного пространства проведем плоскость, касательную к поверхности графика функции. Тогда градиент функции, вычисленный в точке (х0, у0), рассматриваемый геометрически как вектор, приложенный в точке (X0, Y0, F(X0, Y0)), будет перпендикулярен касательной плоскости. Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 34.
2) Градиент функции F(X, Y) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в точке М0. Кроме того, любое направление, составляющее с градиентом острый угол, является направлением роста функции в точке М0. Другими словами, малое движение из точки (х0, у0) по направлению градиента функции в этой точке ведет к росту функции, причем в наибольшей степени.
Рассмотрим вектор, противоположный градиенту. Он называется Антиградиентом. Координаты этого вектора равны:
Антиградиент функции F(X, Y) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого убывания функции в точке М0. Любое направление, образующее острый угол с антиградиентом, является направлением убывания функции в этой точке.
3) При исследовании функции часто возникает необходимость нахождения таких пар (х, у) из области определения функции, при которых функция принимает одинаковые значения. Рассмотрим множество точек (X, Y) из области определения функции F(X, Y), таких, что F(X, Y)=Const, где запись “Const” означает, что значение функции зафиксировано и равно некоторому числу из области значений функции.
Определение. Множество линий уровня называют Картой линий уровня.
Хорошо известны примеры линий уровня – уровни одинаковых высот на топографической карте и линии одинакового барометрического давления на карте погоды.
Определение. Направление, вдоль которого скорость увеличения функции максимальна, называется «предпочтительным» направлением, или Направлением наискорейшего роста.
«Предпочтительное» направление задается вектором-градиентом функции. На рис. 35 изображены максимум, минимум и седловая точка в задаче оптимизации функции двух переменных при отсутствии ограничений. В нижней части рисунка изображены линии уровня и направления наискорейшего роста.
Решение. Уравнение семейства линий уровня имеет вид X2+Y2=C (C>0). Придавая С различные действительные значения, получим концентрические окружности с центром в начале координат.
Пример 51. Рассмотрим следующую экономическую ситуацию. Пусть производство продукции описывается Функцией Кобба-Дугласа F(X, Y)=10х1/3у2/3, где Х – количество труда, У – количество капитала. На приобретение ресурсов выделено 30 у. ед., цена труда составляет 5 у. ед., капитала – 10 у. ед. Зададимся вопросом: какой наибольший выпуск можно получить в данных условиях? Здесь под «данными условиями» имеются в виду заданные технологии, цены на ресурсы, вид производственной функции. Как уже отмечалось, функция Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей по каждой переменной, т. е. увеличение каждого вида ресурса ведет к росту выпуска. В данных условиях ясно, что увеличивать приобретение ресурсов можно до тех пор, пока хватает денег. Наборы ресурсов, стоимость которых составляет 30 у. ед., удовлетворяют условию:
Т. е. определяют линию уровня функции:
С другой стороны, с помощью линий уровня Функции Кобба-Дугласа (рис. 36) можно показать возрастание функции: в любой точке линии уровня направление градиента – это направление наибольшего возрастания, а для построения градиента в точке достаточно провести касательную к линии уровня в этой точке, построить перпендикуляр к касательной и указать направление градиента. Из рис. 36 видно, что движение линии уровня функции Кобба-Дугласа вдоль градиента следует производить до тех пор, пока она не станет касательной к линии уровня 5х + 10у = 30. Таким образом, с помощью понятий линии уровня, градиента, свойств градиента можно выработать подходы к наилучшему использованию ресурсов с точки зрения увеличения объемов выпускаемой продукции.
СОДЕРЖАНИЕ
Мотивация
Обозначение
Определение
Когда функция также зависит от параметра, такого как время, градиент часто относится просто к вектору только его пространственных производных (см. Пространственный градиент ).
Декартовы координаты
В трехмерной декартовой системе координат с евклидовой метрикой градиент, если он существует, задается следующим образом:
Цилиндрические и сферические координаты
В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент задается следующим образом:
В сферических координатах градиент определяется как:
Общие координаты
Последнее выражение соответствует приведенным выше выражениям для цилиндрических и сферических координат.
Связь с производной
Связь с полной производной
С вычислительной точки зрения, учитывая касательный вектор, вектор можно умножить на производную (в виде матриц), что равносильно взятию скалярного произведения с градиентом:
( d f p ) ( v ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋯ ∂ f ∂ x n ( p ) ] [ v 1 ⋮ v n ] = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) v i = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋮ ∂ f ∂ x n ( p ) ] ⋅ [ v 1 ⋮ v n ] = ∇ f ( p ) ⋅ v <\displaystyle (df_
)(v)=<\begin
Дифференциальная или (внешняя) производная
Наилучшее линейное приближение дифференцируемой функции
Градиент связан с дифференциалом формулой
Если R n рассматривается как пространство векторов-столбцов (размерности n ) (действительных чисел), то можно рассматривать df как вектор-строку с компонентами
Линейное приближение к функции
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ( ∇ f ) x 0 ⋅ ( x − x 0 ) <\displaystyle f(x)\approx f(x_<0>)+(\nabla f)_
Связь с производной Фреше
Как следствие, обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной:
Другие свойства и применения
Наборы уровней
В более общем смысле, любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть вырезана уравнением вида F ( P ) = 0 таким, что dF нигде не равно нулю. Тогда градиент F нормален к гиперповерхности.
Консервативные векторные поля и градиентная теорема
Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) поле градиента всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть вычислен с помощью градиентной теоремы (основная теорема исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.
Обобщения
Якобиан
Градиент векторного поля
Поскольку полная производная векторного поля является линейным отображением векторов в векторы, это тензорная величина.
(где используется обозначение суммирования Эйнштейна, а тензорное произведение векторов e i и e k является диадическим тензором типа (2,0)). В целом это выражение равно транспонированной матрице Якоби:
В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на изогнутом многообразии градиент включает символы Кристоффеля :
Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f может быть определен связностью Леви-Чивиты и метрическим тензором:
Римановы многообразия
где X j обозначает j- й компонент X в этой координатной карте.
Итак, локальная форма градиента принимает вид:
Градиент функции что это
Определение. Вектор с координатами 
называется градиентом функции u=f(x,y,z) и обозначается
С помощью оператора Гамильтона ( или набла-оператора)
можно кратко записать градиент функции:
Градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.
Модуль градиента 
определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u=f(x,y,z).
Как найти градиент
Решение. Для функции двух переменных градиент находим по формуле
2) Подставляем в формулу, получаем градиент функции в произвольной точке
Найти градиент функции можно также с помощью калькулятора
3) Подставляем координаты точки M(-5;7), получаем
4) Находим модуль градиента в точке M(-5;7) по формуле:
Вывод: Если движение происходит в направлении градиента функции (50;-140), то получаем скорость максимального изменения функции 148,66 в точке M(-5;7).
Производная по направлению
Если движение будет происходить в других направлениях, то скорость будет меньше. Покажем это на примере.
Решение. Пункты 1),2) и 3) совпадают с решением примера 1.
