Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ) определяется через функцию ошибок:
.
Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:
.
Содержание
Свойства
где черта обозначает комплексное сопряжение числа .
поскольку — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .
Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
[1]
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.
Применение
Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на , равна .
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
Асимптотическое разложение
При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой
Родственные функции
С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым
Обратная функция к , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,
Обобщённые функции ошибок
Некоторые авторы обсуждают более общие функции
Примечательными частными случаями являются:
После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично). Все с чётными тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на . Все обобщённые функции ошибок с 0″ border=»0″/> выглядят похоже на полуоси 0″ border=»0″/>.
На полуоси 0″ border=»0″/> все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:
0″ border=»0″/>
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
Реализация
В языке Java функции ошибок нет в стандартной библиотеке математических функций java.lang.Math [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от Apache [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.
Matlab[4], Mathematica и Maxima[5] содержат обычную и дополнительную функцию ошибок, а также обратные к ним функции.
В языке Python функция ошибок доступна из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. [6] Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy [7].
В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math, [8].
См. также
Литература
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Функция ошибок» в других словарях:
функция ошибок — интеграл вероятности ошибок — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы интеграл вероятности ошибок EN error function … Справочник технического переводчика
Функция Доусона — вблизи начала координат … Википедия
ФУНКЦИЯ — термин, используемый в математике для обозначения такой зависимости между двумя величинами, при которой если одна величина задана, то другая может быть найдена. Обычно функция (с 17 в.) задается формулой, выражающей зависимую переменную через… … Энциклопедия Кольера
ФУНКЦИЯ ДЕМОМЕТРИЧЕСКАЯ — ФУНКЦИЯ ДЕМОМЕТРИЧЕСКАЯ, количественная характеристика демографич. процесса в когорте, выраженная как функция интервала времени с момента формирования когорты. В качестве аргумента Ф. д. может выступать длительность любого демографич. состояния:… … Демографический энциклопедический словарь
ОШИБОК ТЕОРИЯ — раздел математич. статистики, посвященный построению уточненных выводов о численных значениях приближенно измеренных, величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило,… … Математическая энциклопедия
Ошибок теория — раздел математической статистики (См. Математическая статистика), посвященный построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той … Большая советская энциклопедия
Функция Эрмита — Функции параболического цилиндра общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа,… … Википедия
КОД С ИСПРАВЛЕНИЕМ ОШИБОК — код, корректирующий ошибки, множество сообщений, предназначенных для передачи по каналу связи с шумами, обладающее тем свойством, что окрестность ошибок каждого сообщения (т. е. совокупность искаженных вариантов этого сообщения) не пересекается с … Математическая энциклопедия
Хеш-функция — Хеширование (иногда хэширование, англ. hashing) преобразование входного массива данных произвольной длины в выходную битовую строку фиксированной длины. Такие преобразования также называются хеш функциями или функциями свёртки, а их результаты… … Википедия
Интеграл вероятности
В математике функция ошибок — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
.
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение , определяется через функцию ошибок:
.
.
Содержание
Свойства
Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
[1]
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.
Применение
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
Асимптотическое разложение
При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой
Родственные функции
С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым Φ(x)
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,
Обобщённые функции ошибок
Некоторые авторы обсуждают более общие функции
Примечательными частными случаями являются:
На полуоси x > 0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
Реализация
В языке [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.
См. также
Литература
Внешние ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Интеграл вероятности» в других словарях:
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ — интеграл ошибок, функция В теории вероятностей используется не И. в., а функция нормального распределения: так наз. интеграл вероятности Гаусса. Для случайной величины X, имеющей нормальное распределение с математич. ожиданием 0 и дисперсией s2,… … Математическая энциклопедия
Интеграл вероятности — название нескольких связанных друг с другом специальных функций. Интеграл называют интегралом вероятности Гаусса. Для случайной величины X, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией σ2,… … Большая советская энциклопедия
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ — назв. неск. связанных друг с другом спец. ф ций. Напр., И. в. Гаусса … Большой энциклопедический политехнический словарь
интеграл вероятности ошибки — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN error function … Справочник технического переводчика
Интеграл столкновений — Интеграл столкновений выражение, составляющее правую часть кинетического уравнения Больцмана, которое определяет скорость изменения функции плотности распределения частиц вследствие столкновений между ними: Иногда интеграл столкновений… … Википедия
ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ — член в кинетическом уравнении Болъцмана, равный изменению ф ции распределения частиц (или квазичастиц) за единицу времени в элементе фазового объёма вследствие столкновений между ними; его наз. также оператором столкновений. И. с. равен (с… … Физическая энциклопедия
Формулировка через интеграл по траекториям — Формулировка через интеграл по траеториям квантовой механики это описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое обозначение одиночной, уникальной траектории для системы суммой, или… … Википедия
Ток вероятности — В квантовой механике, ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности. Содержание 1 Определение 2 Примеры 2.1 Плоская волна … Википедия
Функциональный интеграл — (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям) запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории … Википедия
Документация
Синтаксис
Описание
Примеры
Функция ошибок для с плавающей точкой и символьных чисел
В зависимости от его аргументов, erf может возвратить или точные символьные результаты с плавающей точкой.
Вычислите функцию ошибок для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой:
Вычислите функцию ошибок для тех же чисел, преобразованных в символьные объекты. Для большинства символьных (точных) чисел, erf отвечает на неразрешенные символьные звонки:
Использование vpa аппроксимировать символьные результаты необходимым количеством цифр:
Функция ошибок для переменных и выражений
Для большинства символьных переменных и выражений, erf отвечает на неразрешенные символьные звонки.
Вычислите функцию ошибок для x и sin(x) + x*exp(x) :
Функция ошибок для векторов и матриц
Если входной параметр является вектором или матрицей, erf возвращает функцию ошибок для каждого элемента того вектора или матрицы.
Вычислите функцию ошибок для элементов матричного M и векторный V :
Специальные значения функции ошибок
erf возвращает специальные значения для конкретных параметров.
Вычислите функцию ошибок для комплексных бесконечностей. Использование sym преобразовывать комплексные бесконечности в символьные объекты:
Обработка выражений, которые содержат функцию ошибок
Вычислите первые и вторые производные функции ошибок:
Вычислите интегралы этих выражений:
Постройте функцию ошибок
Постройте функцию ошибок на интервале от-5 до 5.
Входные параметры
X входной параметр символьное число | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица
Введите в виде символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица символьных чисел, переменных, выражений или функций.
Больше о
Функция ошибок
Следующий интеграл задает функцию ошибок:
e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t
Советы
Вызов erf для номера, который не является символьным объектом, вызывает MATLAB ® erf функция. Эта функция принимает действительные аргументы только. Если вы хотите вычислить функцию ошибок для комплексного числа, использовать sym преобразовывать тот номер в символьный объект, и затем вызывать erf для того символьного объекта.
Алгоритмы
erf(erfinv(x)) = erfc(erfcinv(x)) = x
Ссылки
[1] Gautschi, W. “Функция ошибок и Интегралы Френели”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.
Смотрите также
Открытый пример
У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?
1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.
2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.
4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.
5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.
.
(иногда применяется обозначение 
) определяется через функцию ошибок:
.
, также определяется через функцию ошибок:
. 
.
— сомножитель, превращающий 
-й член ряда в 
-й, считая первым членом 
[1] 
, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на 
, равна 
.
, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается 
и выражается через нормальную функцию ошибок как
все 
с нечётными 
выглядят похоже (но не идентично). Все 
0″ border=»0″/> выглядят похоже на полуоси 
0″ border=»0″/>.
0″ border=»0″/>
.
(иногда применяется обозначение 
, определяется через функцию ошибок:
.
. 
[1] 
