Рассмотрение свойств объемных фигур является одной из приоритетных задач геометрии. Важными характеристиками всех пространственных фигур являются объем и площадь поверхности. В статье раскрывается вопрос о том, что это — усеченный конус, и приводятся формулы для определения площади его поверхности и объема.
Фигура конус
Вам будет интересно: «Земляк» – это соотечественник и поддержка на чужбине
Расстояние между вершиной фигуры и основанием называется высотой. Если соответствующий перпендикуляр пересекает основание в геометрическом центре, то фигуру называют прямой.
Вам будет интересно: Полиакриловая кислота: способ получения, свойства, структура и практическое применение
Дальше в статье покажем, как, используя прямой круглый конус, получить усеченную фигуру.
Усеченный конус и способы его получения
Предположим, что у нас имеется фигура, которая была показана в предыдущем пункте. Возьмем плоскость, параллельную основанию конуса, и отсечем с помощью нее вершину фигуры. Этот процесс показан на рисунке.
Существует еще один способ получения рассматриваемой фигуры. Предположим, что имеется некоторая трапеция с двумя прямыми углами. Если вращать эту трапецию вокруг стороны, к которой прямые углы прилегают, то она опишет поверхность усеченного конуса. Этот способ получения фигуры демонстрирует схема ниже.
Сторона трапеции, вокруг которой выполнялось вращение, будет являться осью усеченного конуса. Отрезок, который на оси отсекают два основания фигуры, называется высотой. На рисунке отмечены образующая g и радиусы оснований конуса усеченного r и r’.
Наконец, третий способ получения усеченного конуса заключается в увеличении количества ребер усеченной пирамиды до бесконечного числа. Во время этого процесса пирамида постепенно перейдет в конус.
Любопытно отметить, что форма рассматриваемой геометрической фигуры в первом приближении в природе характерна для действующего вулкана, что отчетливо видно на следующей фотографии.
Элементы фигуры и ее линейные характеристики
Все четыре параметра используются для определения площади поверхности и объема.
Поверхность усеченного конуса
Как отмечалось, состоит поверхность фигуры из трех частей. Если отрезать каждое из оснований от фигуры, а затем вдоль образующей разрезать и развернуть боковую поверхность, то мы получим развертку усеченного конуса. Рисунок ниже показывает, как она выглядит.
Площади оснований усеченного конуса находятся по простой формуле для соответствующей величины круга:
С площадью боковой поверхности дело обстоит несколько сложнее. Можно заметить, что она представляет собой сектор круга, некоего радиуса G, у которого вырезали центральную часть радиусом G-g. Если это учесть, то можно получить формулу для площади боковой поверхности Sb. Здесь ограничимся лишь приведением конечного выражения:
Это выражение можно записать через радиусы и высоту h, однако тогда оно будет иметь несколько громоздкий вид.
Складывая записанные выражения, получаем формулу для определения площади S всей поверхности усеченного конуса:
S = So1 + So2 + Sb = pi × r12 + pi × r22 + pi × (r1 + r2) × g =
= pi × (r12 + r22 + (r1 + r2) × g)
Объем фигуры
Как и любая фигура в пространстве, усеченный конус тоже обладает некоторым объемом. Этот объем ограничен двумя основаниями и боковой поверхностью. Здесь не будем приводить подробный вывод соответствующей формулы для V. Запишем, как и в случае с площадью поверхности, лишь конечный результат:
V = h × pi / 3 × (r12 + r22 + r1 × r2)
Эта формула, в отличие от выражения для площади S, в качестве параметров содержит радиусы усеченного конуса и его высоту.
Далее в статье покажем, как следует использовать приведенные формулы для решения конкретной геометрической задачи.
Задача на определение площади и объема усеченного конуса
Ниже на рисунке изображен усеченный конус и приведены его линейные параметры. Необходимой найти площадь поверхности и объем фигуры.
Начнем решать задачу с определения величины V. Ее вычисление не представляет никакого труда, поскольку известны все необходимые параметры. Подставляя их в формулу для V, получаем:
V = h × pi / 3 × (r12 + r22 + r1 × r2) =
= 10 × 3,14 / 3 × (82 + 12 + 8 × 1) ≈ 764,07 см3
Найденное значение соответствует 0,76 литра.
Чтобы найти площадь поверхности S, следует сначала вычислить длину образующей g фигуры. Она будет равна:
Значение образующей g мы округлили до сотых. Теперь можно воспользоваться формулой для площади S:
S = pi × (r12 + r22 + (r1 + r2) × g) = 3,14 × (82 + 12 + (8 + 1) × 12,21) ≈ 549,15 см2
Заметим, что формулы для V и S, которые мы использовали при решении задачи, справедливы только для круглого прямого усеченного конуса. В случае наклонной фигуры или же фигуры с некруглыми основаниями этими формулами пользоваться нельзя.
Исходный полный конус
Прежде чем говорить об усеченном объекте и его характеристиках, следует рассмотреть исходную фигуру, из которой он получается.
Пусть имеется некоторая замкнутая кривая, лежащая в произвольной плоскости. Это может быть окружность, эллипс или любая другая линия с плавными перегибами. Пусть также существует отрезок, который не лежит в плоскости указанной замкнутой кривой. Если в пространстве зафиксировать некоторую точку, а затем соединить ее с любой точкой на кривой, то получится образующая будущего конуса. Если теперь ее перемещать вдоль замкнутой кривой одним своим концом, в то время как другой конец будет зафиксированным в точке, то она опишет коническую поверхность.
Это геометрическое построение позволяет получить объемную фигуру конус, которая состоит из следующих элементов:
Существующие виды
В геометрии известны несколько видов конуса. Каждый из них определяется характером директрисы и расположением относительно нее генератрисы. Выделяют следующие виды фигуры:
Круглая прямая фигура
Получить этот конус несложно. Необходимо взять прямоугольный треугольник, поставить его на один из катетов и вращать вокруг второго катета, который будет являться осью, а его длина — высотой для объемной фигуры. Катет, на котором стоит треугольник, является радиусом круглого основания конуса.
С полученной фигурой легко работать при решении геометрических задач, поскольку для нее существуют довольно простые формулы для площади поверхности и объема.
Площадь S фигуры состоит из двух частей: основания и боковой поверхности. С помощью простых геометрических рассуждений можно показать, что сумма этих частей выражается в виде такой формулы: S = pi*r 2 + pi*g*r, где число pi=3,14, r — радиус окружности в основании, g — длина генератрисы. В разрезе на плоскости коническая поверхность представляет собой сектор круга радиусом g.
Объем рассматриваемого конуса выражается следующей формулой: V = 1/3*pi*r 2 *h. Здесь h — высота фигуры. Можно заметить, что величина V ровно в три раза меньше аналогичной для цилиндра, имеющего то же основание, что и конус. Записанную формулу может вывести любой школьник, который знаком с интегральными вычислениями.
Усеченный геометрический объект
Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной. У усеченной фигуры также имеется две директрисы, ограничивающие каждое из оснований, и одна генератриса, которая опирается на линии направляющих кривых.
Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.
Способы построения
Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:
В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной. Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена. Чем больше она будет, тем ближе окажутся друг к другу значения верхнего и нижнего радиусов в усеченной фигуре, то есть тем ближе она по форме будет походить на прямой цилиндр.
Второй способ получения усеченного конического объекта связан с использованием фигуры трапеции прямоугольного типа. Такая трапеция представляет собой два параллельных отрезка, которые имеют длины a и b. Они соединены одним перпендикуляром h и косым отрезком g.
Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей. Эти четыре линейных характеристики определяют рассматриваемую объемную фигуру. Следует заметить, что для однозначного построения фигуры достаточно лишь трех любых из них, например, высоты и двух радиусов.
Площадь поверхности
Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:
S = S1 + S2 + Sb = pi*r1 2 + pi*r2 2 + pi*g*(r1 + r2).
Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.
Формула объема
Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:
V = 1/3*pi*r1 2 *H — 1/3*pi*r2 2 *(H-h).
Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:
V = 1/3*pi*h*(r1 2 + r2 2 + r1*r2).
Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:
V = 1/3*h*(S1 + S2 + (S1*S2)^0,5).
Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков. Их радиусы будут постепенно уменьшаться от r1 до r2. Этот метод вывода формулы для объема не отличается от аналогичного для полного круглого конуса, изменяются лишь пределы интегрирования.
Пример решения задачи
Из данных задачи можно определить значение каждого радиуса. Для этого необходимо ввести следующее равенство: r1 = 2*r2. Тогда для суммы площадей оснований можно записать выражение:
Откуда получается:
r2 = (S/(5*pi))^0,5 = (100/(5*3,14))^0,5 = 2,52 см.
Тогда радиус большего основания будет равен r1 = 2*r2 = 5,04 см.
Чтобы найти генератрису g усеченного конуса, следует рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован двумя катетами: высотой h и отрезком r1-r2. Его гипотенуза является генератрисой, она равна:
g = ((r1-r2)^2 + h 2 )^0,5 = (2,52 2 + 15 2 )^0,5 = 15,21 см.
Поскольку известны все необходимые линейные параметры усеченной фигуры, можно воспользоваться известной формулой для площади ее боковой поверхности:
Таким образом, усеченный конус является фигурой вращения, поверхность которой состоит из оснований и боковой части. Чтобы воспользоваться формулами для определения его площади и объема, необходимо знать любые три его линейных параметра.
Что такое усеченная пирамида? Свойства и формулы. Пирамиды индейцев майя
Одним из симметричных полиэдров, свойства которого изучает стереометрия, является пирамида. В данной статье рассмотрим подробнее следующие вопросы: что такое пирамида усеченная, как ее можно получить и какими свойствами она характеризуется.
Полная пирамида
Прежде чем раскрывать вопрос, что такое пирамида усеченная, следует дать определение пирамиды в общем случае.
Под пирамидой в геометрии понимают фигуру в трехмерном пространстве, которая состоит из n треугольных граней и одной n-угольной стороны, которая называется основанием. Представить себе пирамиду достаточно просто: необходимо мысленно соединить все углы n-угольника с некоторой одной точкой в пространстве. Рисунок ниже показывает фигуру, которая при этом получается.
Вам будет интересно: Школа №2086: отзывы учеников и родителей, адрес, условия поступления и учебная программа
Здесь мы видим, что углы четырехугольного основания соединены отрезками с одной точкой, которая называется вершиной пирамиды. Боковая поверхность фигуры образована четырьмя разными треугольниками.
Если все треугольники боковой поверхности будут одинаковыми и равнобедренными, то такая фигура называется прямой пирамидой. Если к тому же основание будет представлять правильный n-угольник, например, квадрат, то говорят о пирамиде правильной.
Усеченная пирамида
Рассмотренная выше фигура называется полной пирамидой. Теперь покажем, что такое усеченная пирамида и как ее можно получить из полной.
Пусть у нас имеется полная фигура с пятиугольным основанием. Она показана ниже на рисунке слева.
Заметим, что в данном случае мы выбрали секущую плоскость, которая параллельна основанию исходной фигуры. Полученная из правильной фигуры с помощью параллельного сечения усеченная пирамида также будет называться правильной.
Рисунок также показывает, что основания усеченной пирамиды (пятиугольники в примере) образованы подобными правильными многоугольниками, при этом размер верхнего будет всегда меньше, чем нижнего. Боковая поверхность этой фигуры, в отличие от полной пирамиды, образована равнобедренными трапециями.
Если в основании усеченной пирамиды лежит n-угольник, тогда она имеет 2 × n вершин, 3 × n ребер и n + 2 стороны.
Двумя важными геометрическими параметрами рассматриваемой фигуры являются площадь ее поверхности и объем.
Поверхность пирамиды усеченной
Рассмотрев, что такое усеченная пирамида, перейдем к изучению ее поверхности. Под последней понимают совокупность всех граней, образующих фигуру. Проще всего свойства поверхности изучать на примере развертки. Рисунок ниже показывает развертку для пирамиды с пятиугольными основаниями.
Чтобы вычислить площадь всей ее поверхности, необходимо сложить площадь двух оснований и площадь всех трапеций. Соответствующая формула имеет вид:
S = So1 + So2 + 1/2 × (Po1 + Po2) × Ap.
Например, для случая с четырехугольной правильной усеченной пирамидой эта формула перепишется в виде:
S4 = B2 + b2 + 2 × (B + b ) × Ap.
Объем усеченной пирамиды
Для определения объема рассматриваемой фигуры необходимо знать ее высоту h, а также площади обоих оснований So1 и So2. Если указанные характеристики известны, тогда для определения объема усеченной пирамиды следует воспользоваться формулой:
V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √ (So1 × So2)).
Например, для четырехугольной правильной фигуры, длины сторон оснований которой равны B и b, приходим к следующему выражению для объема:
V = 1/3 × h × (B2 + b2 + B × b).
Пример решения задачи
Рассмотрев, что такое усеченная пирамида, а также разобравшись с необходимыми для описания ее характеристик формулами, покажем, как их использовать на практике.
Предположим, что имеется шестиугольная усеченная фигура, которая показана ниже.
Необходимо рассчитать ее объем, если известны стороны оснований B и b и апофема Ap.
Для начала рассчитаем площадь каждого из оснований, которая соответствует площади правильного шестиугольника. Имеем:
Для определения объема необходимо вычислить через Ap высоту h фигуры. Рассматривая изображенный на рисунке прямоугольный треугольник и применяя теорему Пифагора, получаем:
Тогда объем этой шестиугольной усеченной пирамиды будет равен:
Пирамиды индейцев майя
Если египетские пирамиды с точки зрения геометрии представляют собой правильные полные четырехугольные фигуры, то аналогичные сооружения индейцев майя являются четырехугольными усеченными пирамидами.
Эти памятники культуры, сохранившиеся до наших дней, некогда выполняли двойную роль для своих жителей: с одной стороны, они служили гробницей вождям, с другой же стороны, на их верхнем основании располагался храм, где жрецы поклонялись богам.
Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.
Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.
Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.
Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.
Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.
Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.
Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.
Свойства усеченной пирамиды.
1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.
2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.
3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.
4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.
5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.
Формулы для усеченной пирамиды.
Для произвольной пирамиды:
Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
h — высота усеченной пирамиды.
Площадь боковой поверхности 
равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.
Для правильной усеченной пирамиды:
Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.
φ — двугранный угол у основания пирамиды.
CH является высотой усеченной пирамиды, P1 и P2 — периметрами оснований, S1 и S2 — площадями оснований, Sбок — площадью боковой поверхности, Sполн — площадью полной поверхности:
Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.
Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.
Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.
Усеченный конус — построение фигуры, формулы и задачи
Исходный полный конус
Прежде чем говорить об усеченном объекте и его характеристиках, следует рассмотреть исходную фигуру, из которой он получается.
Пусть имеется некоторая замкнутая кривая, лежащая в произвольной плоскости. Это может быть окружность, эллипс или любая другая линия с плавными перегибами. Пусть также существует отрезок, который не лежит в плоскости указанной замкнутой кривой. Если в пространстве зафиксировать некоторую точку, а затем соединить ее с любой точкой на кривой, то получится образующая будущего конуса. Если теперь ее перемещать вдоль замкнутой кривой одним своим концом, в то время как другой конец будет зафиксированным в точке, то она опишет коническую поверхность.
Это геометрическое построение позволяет получить объемную фигуру конус, которая состоит из следующих элементов:
Существующие виды
В геометрии известны несколько видов конуса. Каждый из них определяется характером директрисы и расположением относительно нее генератрисы. Выделяют следующие виды фигуры:
Круглая прямая фигура
Получить этот конус несложно. Необходимо взять прямоугольный треугольник, поставить его на один из катетов и вращать вокруг второго катета, который будет являться осью, а его длина — высотой для объемной фигуры. Катет, на котором стоит треугольник, является радиусом круглого основания конуса.
С полученной фигурой легко работать при решении геометрических задач, поскольку для нее существуют довольно простые формулы для площади поверхности и объема.
Площадь S фигуры состоит из двух частей: основания и боковой поверхности. С помощью простых геометрических рассуждений можно показать, что сумма этих частей выражается в виде такой формулы: S = pi*r2 + pi*g*r, где число pi=3,14, r — радиус окружности в основании, g — длина генератрисы. В разрезе на плоскости коническая поверхность представляет собой сектор круга радиусом g.
Объем рассматриваемого конуса выражается следующей формулой: V = 1/3*pi*r2*h. Здесь h — высота фигуры. Можно заметить, что величина V ровно в три раза меньше аналогичной для цилиндра, имеющего то же основание, что и конус. Записанную формулу может вывести любой школьник, который знаком с интегральными вычислениями.
Усеченный геометрический объект
Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной. У усеченной фигуры также имеется две директрисы, ограничивающие каждое из оснований, и одна генератриса, которая опирается на линии направляющих кривых.
Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.
Способы построения
Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:
В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной. Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена. Чем больше она будет, тем ближе окажутся друг к другу значения верхнего и нижнего радиусов в усеченной фигуре, то есть тем ближе она по форме будет походить на прямой цилиндр.
Второй способ получения усеченного конического объекта связан с использованием фигуры трапеции прямоугольного типа. Такая трапеция представляет собой два параллельных отрезка, которые имеют длины a и b. Они соединены одним перпендикуляром h и косым отрезком g.
Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей. Эти четыре линейных характеристики определяют рассматриваемую объемную фигуру. Следует заметить, что для однозначного построения фигуры достаточно лишь трех любых из них, например, высоты и двух радиусов.
Площадь поверхности
Поверхность усеченной фигуры, в отличие от полного конуса, образована тремя частями: два круглых основания и боковая поверхность. Площади круглых оснований вычисляются по известной формуле для круга: pi*r2. Для боковой поверхности следует выполнить следующие действия:
Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:
S = S1 + S2 + Sb = pi*r12 + pi*r22 + pi*g*(r1 + r2).
Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.
Формула объема
Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:
V = 1/3*pi*r12*H — 1/3*pi*r22*(H-h).
Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:
V = 1/3*pi*h*(r12 + r22 + r1*r2).
Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:
V = 1/3*h*(S1 + S2 + (S1*S2)^0,5).
Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков. Их радиусы будут постепенно уменьшаться от r1 до r2. Этот метод вывода формулы для объема не отличается от аналогичного для полного круглого конуса, изменяются лишь пределы интегрирования.
Пример решения задачи
Известно, что сумма площадей двух оснований усеченного прямого круглого конуса составляет 100 см2. При этом радиус большего основания в 2 раза превышает радиус меньшего. Необходимо найти площадь боковой поверхности фигуры, высота которой составляет 15 см.
Из данных задачи можно определить значение каждого радиуса. Для этого необходимо ввести следующее равенство: r1 = 2*r2. Тогда для суммы площадей оснований можно записать выражение:
S = S1 + S2 = pi*r12 + pi*r22 = 4*pi*r22 + pi*r22 = 5*pi*r22.
Откуда получается:
r2 = (S/(5*pi))^0,5 = (100/(5*3,14))^0,5 = 2,52 см.
Тогда радиус большего основания будет равен r1 = 2*r2 = 5,04 см.
Чтобы найти генератрису g усеченного конуса, следует рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован двумя катетами: высотой h и отрезком r1-r2. Его гипотенуза является генератрисой, она равна:
g = ((r1-r2)^2 + h2)^0,5 = (2,522 + 152 )^0,5 = 15,21 см.
Поскольку известны все необходимые линейные параметры усеченной фигуры, можно воспользоваться известной формулой для площади ее боковой поверхности:
Sb = pi*g*(r1 + r2) = 3,14*15,21*(2,52 + 5,04) = 361,1 см2.
Таким образом, усеченный конус является фигурой вращения, поверхность которой состоит из оснований и боковой части. Чтобы воспользоваться формулами для определения его площади и объема, необходимо знать любые три его линейных параметра.
