Что значит целые выражения

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.

Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.

Правило приведения многочлена к стандартному виду:

1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;

2)привести подобные члены.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?

Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.

Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)

Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.

Начнём с определения.

Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.

Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.

Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.

8х + 12 – целое выражение.

Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.

Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Например, так выполняется умножение многочленов.

(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су

Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, так находится сумма многочленов:

(а + с) + (к + х) = а + с + к + х

И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, так находится разность двух многочленов.

(а + с) – (к + х) = а + с – к – х

Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.

Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.

Рассмотрим, как упрощать целое выражение.

Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).

Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =

Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду

= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3

Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.

Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.

Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.

(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к 2 + у 2 – 8х 2 )

Для доказательства этого утверждения упростим выражение.

Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.

Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Составьте целое выражение по тексту задачи.

Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).

Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.

2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х 2

Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.

Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Правило приведения многочлена к стандартному виду:

1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;

2)привести подобные члены.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.

Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)

Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.

Начнём с определения.

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.

Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.

Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.

8х + 12 – целое выражение.

Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.

Например, так выполняется умножение многочленов.

(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су

Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, так находится сумма многочленов:

(а + с) + (к + х) = а + с + к + х

Например, так находится разность двух многочленов.

(а + с) – (к + х) = а + с – к – х

Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.

Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.

Рассмотрим, как упрощать целое выражение.

Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =

Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду

= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3

Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.

Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.

Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.

(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к 2 + у 2 – 8х 2 )

Для доказательства этого утверждения упростим выражение.

Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.

Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Составьте целое выражение по тексту задачи.

Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).

2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х 2

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Числовое значение целого выражения. Тождественное равенство целых выражений

Перечень рассматриваемых вопросов:

Равенство между буквенными выражениями, называют тождество, если оно превращается в верное числовое равенство, при подстановке в него вместо букв любых чисел.

Для доказательств тождеств используются свойства одночленов, многочленов и правила действия над ними.

Нулевые многочлены, равные 0, тождественны.

Ненулевые многочлены, равные 0, не тождественны.

Для любого целого выражения при любых числовых значениях входящих в него букв, соответствующее числовое выражение имеет смысл.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить числовое выражение?

Можно, если вместо букв подставим числа.

(16а – 15х)(3 + 4а) + (х + у)

Сегодня мы узнаем, как это сделать.

Как было сказано ранее, если в целое выражение подставить вместо букв числа, то получим числовое выражение.

Подставим его в выражение (17 + с) и получим:

Пусть а = 1; х = 3; у = –1.

Подставим его в выражение: (16а – 15х)(3 + 4а) + (х + у) и получим:

Результаты вычислений числовых выражений называют числовым значением целого выражения.

Стоит отметить, что для любого целого выражения, при любых числовых значениях входящих в него букв, соответствующее числовое выражение имеет смысл, т. к. не содержит деления на ноль, исходя из определения целого выражения.

Рассмотрим теперь равенство одночленов.

Оно превращается в верное числовое равенство, если в нём заменить буквы числами, т. к. в левой и в правой части будет стоять произведение чисел, но с переставленными множителями, а произведение чисел не зависит от порядка множителей.

3 · 4 · 5 · 5 · 4 · 5 · 5 = 3 · 4 · 4 · 5 · 5 · 5 · 5.

Когда говорят, что в равенстве буквы заменяют числами, то имеют ввиду, что одна и та же буква, где бы она не находилась в равенстве, заменяется одним и тем же числом.

Рассмотрим равенство многочленов.

Равенство между буквенными выражениями называют тождество, если оно превращается в верное числовое равенство при подстановке в него вместо букв любых чисел.

( а + 3) · (а + 3) = (а + 3) 2

Тождество, так как при a = 2 равенство сохраняется:

(2 + 3) · (2 + 3) = (2 + 3) 2

В математике тождества очень часто приходится доказывать. Поэтому, для доказательства тождества используются ранее изученные нами свойства одночленов, многочленов и правила действия над ними.

Стоит отметить, что нулевые многочлены, равны нулю тождественно, т. е при любых числовых значениях букв, числовое значение целого выражения будет равно нулю.

Ненулевые многочлены, равные 0, не тождественны.

Ненулевые многочлены могут обращаться в ноль при определённых числовых значениях букв, а при других значениях букв, многочлен не обратиться в ноль.

а + с, обратится в ноль, только при а = –с,

k – х, обратится в ноль, только при k = х.

х 2 + у 2 + 1, не обратится в ноль ни при каких числовых значениях х и у.

А теперь рассмотрим, как доказывать тождество.

Рассмотрим задание. Докажите тождество:

(7а + с)(16а – 5с) = 112а 2 – 19ас – 5с 2

(7а + с)(16а – 5с) = 7а·16а + 7а·(-5)с + 16ас + с(-5)с = 112а 2 – 35ас + 16ас – 5с 2 = 112а 2 – 19ас – 5с 2

Для доказательства, преобразуем левую часть равенства, применив правило умножения многочленов, затем приведём подобные члены.

В результате преобразования левая и правая часть равенства оказались равны, что и требовалось доказать.

А теперь рассмотрим, как можно доказывать неравенства. Рассмотрим следующее задание.

Докажите, что для любых чисел а и с верно следующее неравенство:

Для любого числа а число а 4 ≥ 0.

Для любого числа с число с 4 ≥ 0.

Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое тождество и как найти числовое значение целого выражения.

Для углублённого изучения материала.

Докажем следующее тождество.

у(2х + у)(2х – у) + 5у 2 = 4х 2 у – у 2 (у – 5)

Для доказательства тождества будем преобразовывать как правую, так и левую часть равенства.

Для этого раскроем скобки, используя правила умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен, затем приведем к стандартному виду полученные выражения.

у(2х + у)(2х – у) + 5у 2 = у(2х2х + 2х(-у) + 2ху – уу) + 5у 2 = у(4х 2 – у 2 ) + 5 у 2 = 4х 2 у – у 3 + 5у 2

4х 2 у – у 2 (у – 5) = 4х 2 у – у 2 у + 5 у 2 = 4х 2 у – у 3 + 5у 2

В результате преобразования левая и правая часть равенства оказались равны, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Вычислите числовое значение выражения при а = х = 1

(3ааааа + 2х) (3а 5 – 2х) + 4х 2

Для решения задания, нужно упростить выражение, используя правило умножения многочлена на многочлен, затем привести полученный многочлен в стандартный вид и привести подобные члены.

(3ааааа + 2х) (3а 5 – 2х) + 9х 2 = (3а 5 + 2х) (3а 5 – 2х) +9х 2 = 3а 5 · 3а 5 + (–2х) · 3а 5 + 2х · 3а 5 – 2х · 2х + 9х 2 = 9а 10 – 6а 5 х + 6а 5 х – 4х 2 + 4х 2 = 9а 10 = 9 · 1 = 9.

2. Найдите периметр закрашенного прямоугольника при а = 40 см, c = 0,8 м, k = 50 см.

Для выполнения задания, нужно вспомнить, что такое периметр – это сумма всех сторон многоугольника. Периметр прямоугольника, это сумма его четырёх сторон а + а + (с + k) + (с + k). Но стоит обратить внимание на сторону с, она выражена в метрах и требует перевода в см, т. е. с = 0,8 м = 8 (см).

Периметр прямоугольника равен:

40 см + 40 см + 80 см + 80 см + 50 см + 50 см = 340 (см).

Источник

Преобразование целых выражений

Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.

Читайте также: dxpserver exe что это

Определение и примеры целых выражений

Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.

Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.

Какие преобразования целых выражений возможны?

Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.

Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида 2 · ( a 3 + 3 · a · b − 2 · a ) − 2 · a 3 − ( 5 · a · b − 6 · a + b ) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · ( − 2 · a ) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b

После чего можем привести подобные слагаемые:

Представить выражение 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) в виде произведения.

6 · y · ( x 2 + 3 · x − 1 ) − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − ( x 3 + 4 · x ) )

Ответ: 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − x 3 − 4 · x )

Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.

8 · x 8 + 4 · x : 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x

Преобразование в многочлен

Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена. Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.

Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.

Разберем умножение. Видно, что 2 · ( 2 · x 3 − 1 ) = 4 · x 3 − 2 и ( 4 · x 2 − 4 · x + 1 ) · ( 3 − x ) = 12 · x 2 − 4 · x 3 − 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3

Выполняем сложение, после чего придем к выражению:

Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.

Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.

Упростить выражение вида ( 2 · a · ( − 3 ) · a 2 · b ) · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( a 2 + 1 + a 2 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) + ( 5 · a · b · ( − 3 ) · b 2 )

− 6 · a 3 · b · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( 2 · a 2 + 1 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + ( 2 · a 3 · b + a · b ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 = = ( − 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b ) + ( − 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3 ) + 6 · a 2 · b + ( 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 ) = 6 · a 2 · b

Ответ: ( 2 · a · ( − 3 ) · a 2 · b ) · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( a 2 + 1 + a 2 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) + + ( 5 · a · b · ( − 3 ) · b 2 ) = 6 · a 2 · b

Источник

Алгебра. 8 класс

Целые выражения – это такие выражения, которые состоят из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.

Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными.

Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.

Дробь – это выражение вида .

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, потому что действия для нахождения значения целого выражения, всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменной может не иметь смысла.

Дробные выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями.

Рациональная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.

Примеры

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Чтобы найти допустимые значения переменных в дроби, необходимо:

Пример 1.
Найти допустимые значения переменной в дроби .

1) x(x + 1) = 0
2) x = 0 или x + 1 = 0
x = 0 или x = –1.
Корни уравнения 0 и – 1.
3) Допустимыми значениями x являются все числа, кроме 0 и –1.

Пример 2.
Найти значения x, при которых дробь равна нулю.

, когда x 2 – 1 = 0 и x + 1 ≠ 0.
1) x 2 – 1 = 0
2) (x – 1)(x + 1) = 0
x = ±1
3) x + 1 ≠ 0
x ≠ –1.
при x = 1.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Источник