Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма
Определение параллелограмма
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны
2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны
3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов
4. Сумма всех углов равна 360°
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма
7. Диагонали 
параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением: 
8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник
Признаки параллелограмма
Четырехугольник 
является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны: 
2. Противоположные углы попарно равны: 
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
4. Противоположные стороны равны и параллельны: 
5. 
Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:
Формулы площади параллелограмма смотрите здесь. Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.
Параллелограмм: свойства и признаки
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
Как найти площадь параллелограмма:
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:
Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.
Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение четырехугольника
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Выпуклые четырехугольники
В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:
S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ
где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).
Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.
Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.
Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Параллелограмм
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.
Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.
Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.
Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
Площадь ромба можно найти по трём формулам.
Как произведение стороны ромба на высоту ромба.
Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.
Как полупроизведение диагоналей ромба.
Прямоугольник
Свойства прямоугольника:
Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:
Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.
Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.
Квадрат
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:
Как квадрат стороны.
Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Свойства трапеции:
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2
Площадь трапеции можно найти по двум формулам:
Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.
Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками
Что такое смежные углы параллелограмма. Теоремы параллелограмма
Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых
В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма.
Это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.
1) Построить произвольный луч DE.
2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.
Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.
6) Провести прямую через вершину и I.
1. Определение и основные свойства параллелограмма
Нач-нем с того, что вспом-ним опре-де-ле-ние па-рал-ле-ло-грам-ма.
Рис. 1. Па-рал-ле-ло-грамм
Вспом-ним ос-нов-ные свой-ства па-рал-ле-ло-грам-ма :
2. Первый признак параллелограмма
Рис. 2. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма
До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 2), она раз-би-ла его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках:
по пер-во-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.
Из ра-вен-ства ука-зан-ных тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. Имеем, что:
3. Второй признак параллелограмма
Рис. 3. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма
До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 3), она раз-би-ва-ет его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках, ис-хо-дя из фор-му-ли-ров-ки тео-ре-мы:
по тре-тье-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.
Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что и по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. По-лу-ча-ем:
па-рал-ле-ло-грамм по опре-де-ле-нию. Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.
4. Пример на применение первого признака параллелограмма
Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние при-зна-ков па-рал-ле-ло-грам-ма.
Ре-ше-ние. Изоб-ра-зим Рис. 4.
па-рал-ле-ло-грамм по пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма.
А. 
по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о про-ти-во-по-лож-ных углах, по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о сумме углов, при-ле-жа-щих к одной сто-роне.
Б. 
по свой-ству ра-вен-ства про-ти-во-по-лож-ных сто-рон.
ре-тий при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма
5. Повторение: определение и свойства параллелограмма
Па-рал-ле-ло-грамм об-ла-да-ет целым рядом свойств: про-ти-во-по-лож-ные углы равны (), про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны (
). Кроме того, диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, сумма углов, при-ле-жа-щих к любой сто-роне па-рал-ле-ло-грам-ма, равна и т.д.
6. Третий признак параллелограмма и его доказательство
Если в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то дан-ный че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом.
Для того чтобы до-ка-зать дан-ный факт, необ-хо-ди-мо до-ка-зать па-рал-лель-ность сто-рон па-рал-ле-ло-грам-ма. А па-рал-лель-ность пря-мых чаще всего до-ка-зы-ва-ет-ся через ра-вен-ство внут-рен-них на-крест ле-жа-щих углов при этих пря-мых. Таким об-ра-зом, на-пра-ши-ва-ет-ся сле-ду-ю-щий спо-соб до-ка-за-тель-ства тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма: через ра-вен-ство тре-уголь-ни-ков 
.
7. Пример задачи на третий признак параллелограмма и обобщение
Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма.
Если про-ве-сти ана-лиз тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма, то можно за-ме-тить, что этот при-знак со-от-вет-ству-ет свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма. То есть, то, что диа-го-на-ли де-лят-ся по-по-лам, яв-ля-ет-ся не про-сто свой-ством па-рал-ле-ло-грам-ма, а его от-ли-чи-тель-ным, ха-рак-те-ри-сти-че-ским свой-ством, по ко-то-ро-му его можно вы-де-лить из мно-же-ства че-ты-рёх-уголь-ни-ков.
1. Определение параллелограмма.
Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD;
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD.
Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.
Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB.
Отсюда \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD.
∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.
AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.
Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)СОD.
В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD;
Отсюда следует, что \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB.
В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.
Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Из равенства \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых.
Параллелограмм и его свойства
Свойства параллелограмма:
\(\blacktriangleright\) Противоположные стороны попарно равны;
\(\blacktriangleright\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:
\(\blacktriangleright\) если противоположные стороны попарно равны;
\(\blacktriangleright\) если две стороны равны и параллельны;
\(\blacktriangleright\) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;
\(\blacktriangleright\) если противоположные углы попарно равны.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.
Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.
Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.
Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.
