Сходящиеся последовательности
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность
Некоторые свойства сходящихся последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей <х n >и
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей <х n >и
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей <х n >и
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей <х n >и
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей <х n >и
ЛЕММА: Если последовательность 
, которая является ограниченной.
ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей
.
Так как последовательность 
ограничена, а последовательность 
бесконечно мала, то последовательность 
бесконечно малая. Теорема доказана.
Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.
ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности
Элементы сходящейся последовательности 
.
.
.
Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности
Это выполняется, так как а£ x n£ b, то a£ c£ b.
Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
, и того, что 
.
(m, n = 1, 2, 3, … ),
,…
должна либо расходиться к 
, причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.
,
тогда существует конечный предел
,
(n = 1, 2, 3, … ).
(*)
сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:
запишем целое число n по двоичной системе:
.
Применяя теорему (1) для данных:
s 0 =0, s 1 =
, s m-1 =
, s m =
, …, p n0 =0, p n1 =
, …, p n, m-1 =
,
, p n, m+1 =0, …,
заключаем, что 
. Наконец, в силу (*) имеем:
.
Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.
Разобьем числовую прямую на l интервалов точками
.
Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности 
, произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.
, …
заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).
Числовая последовательность, стремящаяся к 
, имеет наименьший член.
Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.
Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.
При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.
Пусть числовые последовательности
обладают тем свойством, что
, 
.
Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства
l n s n >l n-1 s n-1, l n s n >l n-2 s n-2, … l n s n >l 1 s 1,
Будем называть l m “выступающим” членом последовательности, если l m больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:
,… 
,
(*)
отсюда заключаем, что
Если числовая последовательность 
,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³ 1, что n отношений
все не больше А, а бесконечное множество отношений
,…
Имеем 
. Пусть минимум последовательности
u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.
.
.
, 
Пусть, далее, l 1 >A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства
.
Если А® 0, то также n® 0.
Тогда 
. Последовательность
все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L n ) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.
Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения
Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.
Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.
Базовые тезисы
a k является общим или k –ым членом ряда.
Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.
Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.
Мы доказали, что числовой ряд сходится.
Мы доказали, что числовой ряд расходится.
Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.
Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.
Приведем примеры для каждого случая соответственно:
Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.
Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.
Подробно разберем несколько характерных вариантов
Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.
Особенности сходящихся рядов
Проанализируем свойства для определенных случаев
Разложим исходный вариант:
Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся
Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Как определить сходимость знакоположительного ряда.
Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.
Как сравнивать ряды
Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.
Первый признак
Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.
Второй признак
Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.
Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.
Третий признак
Рассмотрим третий признак сравнения.
Признак Даламбера
Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.
Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.
Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0
Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1
Ряд является сходящимся.
Следовательно, ряд является расходящимся.
Радикальный признак Коши
Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.
Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.
Интегральный признак Коши
, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.
При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.
Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.
Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.
Признак Раабе
Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.
Исследование на абсолютную сходимость
Расходимость знакопеременных рядов
Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.
Признаки для условной сходимости
Признак Лейбница
Ряд условно сходится.
Признак Абеля-Дирихле
∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.
Сходящиеся последовательности и их свойства.
Сходящиеся последовательности и их свойства.
Действительное число a называется p r e d e l o m в последовательности
или CP — * — A при p — ^OO. По- Используйте определение бесконечно малой последовательности для достижения другого определения Людмила Фирмаль
сходящейся последовательности, которое соответствует определению 1. О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2. Последовательность
является ее пределом. Теорема доказана. Т Е О Р Е М А3. 10. Сходимость последовательности<ХП>и(УД-это последовательность сходимости предел которой равен разности пределов последовательностей<хп>»<до>. Эта теорема аналогична доказательству теоремы 3.9, вместо соотношения (3.18), где мы получаем соотношение (Б) АП Р». Т Е О Р Е М А3. 11.
Изделия из сходимости последовательности<ХП>и <АП>— последовательность сближения. Его предел равен произведению пределов Людмила Фирмаль
последовательности
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности
Последовательность <аn> называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность <аn – А> является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности: 
.
Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).
Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ?–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.
Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.
Основные свойства сходящихся последовательностей:
1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;
2) сходящаяся последовательность <an> ограниченна;
Следствия:
1) если все члены сходящейся последовательности <an> не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное), 
;
2) если все элементы сходящейся последовательности <an> находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности <an> лежит на данном отрезке, 
;
Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность <an>, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Отсюда следует, что добавление к последовательности конечного числа элементов или исключение из нее конечного числа элементов не влияет на ее сходимость и значение ее предела, изменяется лишь номер, начиная с которого все элементы последовательности попадают в выбранную ^-окрестность точки ft.
Пример 6.3. а:
Убедимся, что для (6.5) В силу очевидного неравенства 2+ (-!)» 3 п п примем N = [3/е]. Тогда при произвольном е > 0 для п > [3/е] будет выполнено условие в (6.7). в.
Предел последовательности
Свойства сходящихся последовательностей. В самом деле, при любом е > 0. Поэтому в (6.7) в качестве N можно выбрать любое натуральное число. Пример в.4. Проверим, что при а > 1 При предположим, что По определению логарифма, loga ап = п.
Отсюда Следствие 6.1. Сходящаяся последовательность, элементы которой знакопостоянны, не может иметь предел другого знака. В самом деле, если бы предел последовательности имел иной знак, то, согласно теореме 6.3, начиная с некоторого номера ее элементы приняли бы знак предела, что противоречит исходному условию. Пусть даны две последовательности <х„>и <уп>. Их суммой, произведением и частным называют последовательности <хп + Уп>, <х„у„>и <хп/у„>, а обратной к <у„>— последовательность <1/уп>, причем последовательности <хп/уп>и <1 /уп>определены лишь при условии уп ф 0 Vn € N. Ясно, что Теорема 6.4.
Если последовательности <хп>и <у„>сходятся соответственно к пределам а и 6, то Обозначим и выберем произвольное € > 0. Тогда: 1) для сходящихся последовательностей, по определению 6.3, что, согласно определению 6.3 предела последовательности, доказывает (6.10); 2) воспользуемся тождеством и с учетом (1.4) запишем по теореме 6.2 об ограниченности сходящейся последовательности и определению 6.2 ограниченной последовательности, для сходящихся последовательностей, согласно определению 6.3.
Ясно, что (6.10) и (6.11) нетрудно обобщить на любое конечное число слагаемых или сомножителей, если в их качестве •взять сходящиеся последовательности. Следствие в.2. При вычислении предела сходящейся последовательности один и тот же постоянный сомножитель в ее элементах можно выносить за символ предела.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
| В случае а = 1 результат очевиден, поскольку |
Выполним предварительно тождественные преобразования а из (6.19) искомый предел равен 1/5. Пример 6.8. Введенные при доказательстве теоремы 6.4 величины Дяп = |а-яп| и Луп = |6-у„| можно рассматривать как абсолютные погрешности приближенных значений хп и уп соответственно величин а и Ь. Тогда полученные в ходе доказательства теоремы соотношения, приближенно заменяя в них а на |хп| и |6| на |уп|, можно использовать для оценки погрешностей, возникающих при суммировании, умножении, обращении и делении приближенных значений, а именно:
Наибольшая возможная (максимальная) погрешность алгебраической суммы равна сумме погрешностей слагаемых, т.е. Бели в качестве погрешностей слагаемых рассматривать ошибки округления, то значение Дтах(яп + Уп) наиболее чувствительно к погрешности наименее точного слагаемого. Поэтому, чтобы избежать лцшних вычислений, не следует сохранять в более точном слагаемом лишние значащие цифры.
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
