Что значит функция задана неявно

Как найти производную неявной функции?

Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку данный курс носит практическую направленность, мы стараемся избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции. Переменная называется независимой переменнойили аргументом.

Производная функции, заданной неявно

Переменная называется зависимой переменной или функцией. Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция. До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция y в явном виде выражена через независимую переменную x.

Здесь переменные x и y расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др.

Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить: пример неявной функции.

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует(однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права неявной функции соблюдены.

На этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму (без камня перед тремя дорожками).

Источник

Неявные функции

Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция $F(x,y)$ определена в $R^2$. Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label
$$

Множество $G_F$ точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref, было названо графиком уравнения. Через $A_F$ будем обозначать проекцию графика $G_F$ на ось $x$. Будем рассматривать такие уравнения \eqref, графики которых не есть пустые множества.

Так, график уравнения $x^2 + y^2 — 1 = 0$ есть окружность, график уравнения $(x-1)(x+y-1)=0$ есть пара прямых $x = 1$ и $x+y-1=0$ (рис. 28.1).

Рис. 28.1

Если график $G_F$ уравнения \eqref взаимно однозначно проектируется на $A_F$, то существует единственная функция $f: \; A_F\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_F$ ставит в соответствие тот единственный $y$, для которого $F(x,y)=0$. Говорят, что уравнение \eqref определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Меняя местами переменные $x$ и $y$, можно говорить о том, что уравнение \eqref определяет в некотором прямоугольнике переменную $x$ как неявную функцию переменной $y$.

Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref в некотором прямоугольнике.

Тогда существует прямоугольник
$$
K = \<(x,y): \; x_0-a\leq x\leq x_0+a, \; y_0-b\leq y\leq y_0+b\>,\nonumber
$$
в котором уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$. Функция $y=f(x)$ непрерывно дифференцируема на интервале $(x_0-a,x_0+a)$ и
$$
f'(x)=-\frac.\label
$$

$\circ$ Разобьем доказательство на два пункта.

Доказательство существования неявной функции. Из условия $F_y(x_0,y_0)\neq 0$ следует, что либо $F_y(x_0,y_0) > 0$, либо $F_y(x_0,y_0) 0.\label
$$
Если \(F_y(x_0,y_0) 0$.

Так как функция $F_y(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ непрерывна и в силу условия \eqref принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)
$$
K_1=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a_1, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
в котором функция $F_y(x,y) > 0$.

Рис. 28.3

Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция $\psi (y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$, так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия $F(x_0,y_0)=0$
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) 0.\label
$$
Неравенства \eqref в силу непрерывности функции $F(x,y)$ должны сохраняться в некоторых окрестностях точек $(x_0,y_0-b)$ и $(x_0,y_0+b)$. Поэтому существует такое $a\in (0,a_1)$, что для всех $x\in [x_0-a,x_0+a]$ выполнены неравенства
$$
F(x,y_0-b) 0.\label
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Возьмем любую точку $x^*\in [x_0-a,x_0+a]$ и рассмотрим непрерывную на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ функцию одной переменной $\varphi (y)=F(x^*,y)$. В силу условия \eqref эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) 0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка $y^*\in [y_0-b,y_0+b]$, что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$

Так как $\varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0$, то функция $\varphi(y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого $x\in [x_0-a,x_0+a]$ найдется единственный $y\in [y_0-b,y_0+b]$ такой, что $F(x,y) = 0$. Это означает, что в прямоугольнике $K$ уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике $K$ функция $F_y(x,y)$ по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение $\alpha$. Так как $F_y(x,y) > 0$ на $K$, то
$$
F_y(x,y)\geq a > 0,\qquad (x,y)\in K.\label
$$

Непрерывная на $K$ функция $F_x(x,y)$ ограничена на $K$. Поэтому
$$
|F_x(x,y)| Замечание 1.

Если известно, что уравнение $F(x,y)=0$ определяет в прямоугольнике $a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d$ переменную $y$ как неявную функцию $x$, то связь между $dy$ и $dx$ можно установить, формально дифференцируя тождество $F(x,y(x)) = 0$. Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал $d^2y$
$$
F_ dx^2 + 2F_ dx dy + F_ dy^2 + F_y d^2y = 0.\nonumber
$$

Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассмотрим систему $m$ уравнений с $n+m$ неизвестными
$$
\left\<\beginF_1(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0,\\…..\\F_m(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0\end\right.\label
$$

При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если $A$ и $B$ — произвольные множества, то их декартово произведение $A\times B$ есть множество пар $(x,y)$, где $x\in A$, $y\in B$. Так, декартово произведение $[a,b]\times [c,d]$ есть множество пар вещественных чисел таких, что $a\leq x\leq b,$ и $c\leq y\leq d$, то есть прямоугольник в $R^2$.

Легко видеть, что в том случае, когда $K_1(x^0)\subset R^n$ и $K_2(y^0)\subset R^m$ — клеточные окрестности, их декартово произведение $K_1(x^0)\times K_2(y^0)$ есть клеточная окрестность точки $(x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0$ в пространстве $R^$.

Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая $x=(x_1,…,x_n), \; y=(y_1,…,y_m)$, где $y_1=x_,…,y_m=x_$.

Тогда систему уравнений \eqref можно записать в более кратком виде:
$$
F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>.\label
$$

Функции $F_i(x,y) = 0$ будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки $(x^0,y^0)$.

Пусть $K(x^0)\subset R^n$ и $Q(y_0)\subset R^m$ есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений $F_i(x,y)=0, \; i=\overline<1,m>$, определяет в $K(x^0)\times Q(y_0)$ переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$, если для любого $x\in K(x^0)$ найдется единственный $y\in Q(y^0)$ такой, что $F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>$.

Пусть выполнены следующие условия:

Тогда найдутся клеточные окрестности $K(x^0) \subset R^n$ и $Q(y^0) \subset R^m$ такие, что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref определяет переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$. Неявные функции $y_j =\varphi_j(x)$ непрерывно дифференцируемы в $K(x^0)$ и $y_j^0=\varphi_j(x^0), \; j=\overline<1,m>$.

$\circ$ Воспользуемся методом индукции по числу уравнений $m$. При $m=1$ доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).

Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref содержит $m-1$ уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы \eqref из $m$ уравнений.

Так как определитель \eqref отличен от нуля, то, раскладывая его по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров $m-1$-го порядка отличен от нуля. Пусть, например
$$
<\begin\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_>\\…&…&…\\\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_>\end>_<(x^0,y^0)>\neq0\nonumber
$$
(Здесь и в дальнейшем символ $0$ означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом $0$).

Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK_1=\displaystyle\left\<(x,y_m): \; \vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i’, \; i=\overline<1,n>, \; \vert y_m-y_m^0\vert Замечание 2.

Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.

Локальная обратимость регулярного отображения.

Пусть на множестве $E\subset R^n$ заданы $n$ функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).\nonumber
$$

Они задают отображение $f: \; E\rightarrow R^n$, которое каждой точке $x\in E$ ставит в соответствие точку $y=f(x)$, где
$$
y_1=f_1(x),\quad,…,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$

Точка $y=f(x)$ называется образом точки $x$ при отображении $f$. Точка $x$ называется прообразом точки $y$.

Если $\Omega\subset E$, то множество
$$
f(\Omega)=\\nonumber
$$
называется образом множества $\Omega$ при отображении $f$. Если $\omega\subset f(E)$, то множество
$$
f^<-1>(\omega)=\\nonumber
$$
называется прообразом множества $\omega$.

Пусть $G \subset R^n$ есть открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ называется непрерывным в точке $x^0$, если $\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0$ такое, что $\forall x$ таких, что \(\rho(x,x^0) Лемма 1.

Если $G$ есть открытое множество, а $f: \; G\rightarrow R^n$ — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества $\omega\in f(G)$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\Omega= f^<-1>(\omega)$. Возьмем любую точку $x^0\in\Omega$. Тогда $f(x^0)=y^0\in \omega$. Так как множество $\omega$ открыто, то найдется окрестность $S_<\varepsilon>(y^0)\in \omega$. В силу непрерывности отображения $f$ в точке $x^0$ найдется шаровая окрестность $S_<\delta>(x^0)$, для которой выполнено условие \eqref.

Следовательно,
$$
S_<\delta>(x^0)\subset f^<-1>(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и $\Omega$ — открытое множество. $\bullet$

Как обычно, под окрестностью $A(x^0)$ точки $x^0$ будем понимать любое множество $A$, для которого точка $x^0$ внутренняя.

Пусть $G \subset R^n$ — открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции $f_1(x),…,f_n(x)$, задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в $G$. Непрерывно дифференцируемое отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть регулярным, если в области $G$ якобиан отображения $j_f(x)\neq 0$. Якобианом отображения $j_f(x)$ называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin\frac<\partial f_1(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_1(x)><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial f_n(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_n(x)><\partial x_n>\end.\nonumber
$$

Пусть $G$ — открытое множество в $R^n$, а отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ регулярно. Тогда в каждой точке $x^0\in G$ оно локально регулярно обратимо, то есть $\forall x^0\in G$ найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset G$ и $B(y^0)\subset f(G)$, где $y^0= f(x^0)$, что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ будет взаимно однозначным, причем обратное отображение $f^<-1>: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)$ регулярно.

$\circ$ Рассмотрим в $G\times R^n$ систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline<1,n>.\label
$$

Пусть $x^0$ — произвольная точка множества G и $y^0=f(x^0)$. Тогда функции $F_i(x,y)$ непрерывно дифференцируемы в $G\times R^n$ и $y_i^0= f_i(x^0), \; i=\overline<1,n>$. Так как отображение $f$ регулярно, то
$$
<\begin\frac<\partial F_1><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_1><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial F_n><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_n><\partial x_n>\end>_<(x^0,y^0)>=(-1)^nj_f(x^0)\neq0.\nonumber
$$
Для системы уравнений \eqref выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK(x^0)=\left\\right\>,\quad K(x^0)\subset G,\\Q(y^0)=\left\\right\>,\quad Q(y^0)\subset f(G),\end\nonumber
$$
что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref определяет переменные $x_1,…,x_n$ как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных $y_1,…,y_n$:
$$
\beginx_1=\varphi_1(y),\quad …,\quad x_n=\varphi_n(y),\\x\in K(x^0),\quad y\in Q(y^0),\quad x_i^0=\varphi_i(y^0),\quad i=\overline<1,n>.\end\label
$$
Пусть $B(y^0)$ есть внутренность $Q(y^0)$:
$$
B(y^0) = \left\

Если $f: \; G\rightarrow R^n$ есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества $\Omega\subset G$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\omega=f(\Omega)$. Возьмем произвольную точку $y^0\in\omega$ и пусть $x^0$ есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset \Omega$ и $B(y^0) \subset \omega$; что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ регулярно обратимо. Поэтому каждая точка $y^0\in\omega$ принадлежит $\omega$ вместе с некоторой окрестностью $B(y^0)$. Множество $\omega=f(\Omega)$ открыто. $\bullet$

Источник

Что значит функция задана неявно

ПРИМЕР 1. Построение графиков неявных функций одной переменной.

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

ПРИМЕР 2. Вычисление производных функций, заданных неявно.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник