Градусная мера угла
Измерение углов аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный 
части развёрнутого угла. Эта единица измерения углов была введена много веков назад, ещё до нашей эры.
Положительное число, которое показывает, сколхжо раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используется транспортир (рис. 32).
На рисунке 33, а изображён угол АОВ, градусная мера которого равна 150°. Обычно говорят кратко: «Угол АОВ равен 150°» — и пишут: ∠AOB = 150°. На рисунке 33, б угол hk равен 40° (∠hk = 40°). Определённые части градуса носят специальные названия: 
часть градуса называется минутой, часть минуты называется секундой. Минуты обозначают знаком «’», а секунды — знаком «»». Например, угол в 60 градусов, 32 минуты и 17 секунд обозначается так: 60°32’17».
Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры.
Если же один угол меньше другого, то в нём градус (или его часть) укладывается меньшее число раз, чем в другом «угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Так как градус составляет часть развернутого угла, то он укладывается в развёрнутом угле ровно 180 раз, т. е. развёрнутый угол равен 180°.
Неразвёрнутый угол меньше развёрнутого угла, поэтому неразвёрнутый угол меньше 180°.
Углы. Градусная мера угла.
Мерой угла является размер поворота луча около точки как центра вращения.
Что такое градусная мера угла? Градусной мерой угла является число больше нуля, которое показывает,
величина, которая отражает число градусов, минут и секунд между двумя сторонами угла.
У любого угла существует определенная градусная мера, которая больше 0. Развернутый угол = 180°.
Градусная мера угла соответствует сумме градусных мер углов, разбиваемый всяким лучом, который
проходит между его сторонами.
От всякого луча в необходимую полуплоскость есть возможность отложить угол с необходимой градусной
мерой, меньше чем 180°, и только 1.
Мерой плоского угла, который является элементом полуплоскости, является градусная мера угла с теми же
где α – градусная мера дополнительного плоского угла.
2 угла будут называться равными, когда их градусные меры одинаковы.
Свойства углов.
который проходит меж его сторонами.
мерой, меньше чем 180°, и только один.
Как найти градусную меру угла?
1 градус (°) — это угол, равный 1/180 части развернутого угла. Если выразиться по другому, если возьмем
развернутый угол и поделим его на 180 одинаковых меж собой частей-углов, то любой такой маленький угол
будет соответствовать 1 градусу. Размер остальных углов вычисляется тем, какой число этих маленьких
углов возможно разместить внутри угла, который измеряется.
Т.о., развернутый угол = 180°, прямой угол = 90°, острые углы меньше, чем 90°, а тупые — больше,
Если угол невозможно измерить точно в целых градусах, то не обязательно использовать минуты и секунды.
Можно пользоваться дробными значениями градуса. Например, 96,5°.
Известно, что минуты и секунды легко переводятся в градусы, выражая их в долях градуса.
Например, 30′ = (30/60)° или 0,5°. А 0,3° = (0,3 * 60)’ или 18′. Т.о., пользоваться минутами и секундами —
Что такое угол? Виды углов
Определение угла
Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.
Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.
Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точку O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.
Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:
Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.
В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠.
Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.
Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA.
Иногда можно встретить обозначение в виде цифр — так тоже можно.
Для наглядности — все способы обозначения углов:
Что такое вершина и стороны угла:
Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.
Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:
При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.
Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.
Определение смежных и вертикальных углов
Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Таким образом два смежных угла составляют развернутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны, при условии, что смежные углы не равны.
Вертикальные углы — это пара углов, у которых есть общая вершина, при этом стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла.
При пересечении прямых получается четыре пары смежных и две пары вертикальных углов. Вот как это выглядит:
Виды углов
Есть разные типы углов и у каждого своё название:
Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.
Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть
Сравнение углов
Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:
При этом развернутые углы всегда являются равными.
Совмещение углов ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝑀𝑁𝐾 происходит следующим образом:
Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑀𝑁𝐾.
Если нет, то один угол — меньше другого: ∠𝐴𝐵𝐶
Как правильно измерять углы
Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Обозначается — 0.
Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.
Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.
Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается — ´.
Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается — ´´.
Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60′ = 3600′.
Как происходит измерение угла: сначала измеряются стороны угла, а после его внутренняя область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.
Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.
На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135 °.
Угол называется прямым, если он равен 90°, а острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол имеет 180°.
Равные углы имеют равную градусную меру.
Обозначение углов на чертеже
Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать дуги, углы и прочие фигурки, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.
Задачи с углами могут быть разными и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот, что важно запомнить при обозначении лучей и углов:
На чертеже отмечены острые, равные и неравные углы.
Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом необязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Градус – угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.
Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.
Минута – 1/60 часть градуса.
Секунда – 1/60 часть минуты.
Луч – часть прямой, состоящий из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки, которая является началом луча.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.
Вершина угла – общее начало сторон угла.
Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Ранее вы уже познакомились с геометрической фигурой – уголи его составными элементами.
Сегодня мы продолжим изучать углы, познакомимся с их классификацией и будем измерять углы с помощью транспортира.
Измерение углов аналогично измерению отрезков – оно основано на сравнении, только отрезки сравнивались с отрезком, принятым за единицу измерения, а углы с углом, тоже принятым за единицу измерения.
Обычно за единицу измерения углов принимают градус.
Градус – угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.
Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу, называется градусной мерой угла.
Для измерения углов используют транспортир. Вспомним, как проводить измерение углов с помощью транспортира.
Транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах на той же шкале.
Но обычно говорят кратко – угол О равен 50 градусам.
Если масштабныйугол не укладываетсяцелое число раз в измеряемом угле, тоединицу измерения делят ещё на части.
Определённые части градуса носят специальные названия.
Минута – 1/60 часть градуса.
Секунда – 1/60 часть минуты.
Далее, аналогично понятию равные отрезки, ведём понятие равные углы.
Дваугла считаются равными, если градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т.е. равные углы имеют равные градусные меры.
Если один угол меньше другого, то градус в нём (или его часть) укладываются в этом углу меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.
Далее рассмотрим классификацию углов.
Мы уже знаем, что есть развёрнутый угол, его градусная мера сто восемьдесят градусов.
Но есть и другие углы.
Например, прямой угол, его градусная мера девяносто градусов;
острый угол, его градусная мера меньше девяноста градусов;
тупой угол, его градусная мера больше девяноста градусов, но меньше ста восьмидесяти.
Выполним практическое задание – построим биссектрису угла с помощью транспортира.
Мы знаем, что биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
OL – биссектриса ∠АОС.
Поэтому для начала определим градусную меру ∠АОС, она составляет 128°, тогда биссектриса этого угла, исходя из определения, составит 64 °.
Итак, сегодня получили представление о том, как измерять и изображать угол с помощью транспортира. Перейдем к практическим заданиям.
Способы измерения на местности.
Измерение углов на местности проводят с помощью различных приборов. Один из таких – астролябия, она состоит из диска (лимб), разбитого на градусы и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады есть окошечки, которые нужны, чтобы устанавливать её в определённом направлении.
Опишем, как происходит измерение углов с помощью этого прибора. При измерении углов астролябию устанавливают в его вершине, например, точке О, при этом лимб должен находится горизонтально плоскости угла, а отвес, в центе диска, совпадать с вершиной угла.
Затем устанавливаем алидаду вдоль одной из сторон угла, например, АО, отмечаем деление, напротив которого находится указатель алидады.
Далее поворачиваем алидаду по часовой стрелке, пока она не совпадёт со второй стороной угла, у нас это сторона ОВ, отмечаем деление, напротив которого оказался указатель алидады. Теперь можно найти градусную меру измеряемого угла, как разность второго и первого измерения.
1. Луч ВК делит развернутый ∠ОВС на два угла, разность которых равна 56°. Найдите образовавшиеся углы.
Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи.
Обозначим ∠СВК за х, тогда ∠ОВК= х + 56°, исходя из условия задачи (разность углов равна 56°). Развёрнутый угол равен 180°. Составим уравнение и решим его.
Тогда ∠ОВК= х + 56°= 62° +56° = 118°.
Ответ: ∠СВК = 62°; ∠ОВК = 118°.
2. Чему равен ∠ЕОА, если ∠ВОА = 130° 54´, а ∠ВОЕ = 105° 76´?
Решение: Найдём ∠ЕОА = ∠ВОА – ∠ВОЕ, т.к. ОЕ – луч, проведённый из вершины ∠ВОА и делящий этот угол на 2 части. Подставим в выражение градусные меры углов и найдём градусную меру ∠ЕОА. Так как в градусе 60 минут, то 105° 76´ = 106° 16´.
Градусная мера угла
Градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Градусная мера
угла — это положительное число, показывающее сколько раз градус и его части
укладываются в данном угле. Углы измеряют с помощью транспортира.
На рисунке 1 изображен ∠СAB. Градусная мера
которого равна 140°. Обычно записывают кратко: ∠СAB=140°.
Названия определённых частей градуса:
Минута — это 1/60 часть градуса. Секунда — это 1/60 часть минуты.
Минуту обозначают знаком ′, а секунду знаком ″.
Например, угол 45 градусов, 30 минут, 15 секунд обозначают вот так: 45°30′15″.
Равные углы имеют равные градусные меры. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Мы знаем, что градус составляет 1/180 часть развернутого угла, из этого мы можем сделать вывод, что
развернутый угол равен 180°. Мы также знаем, что неразвернутый угол меньше развернутого угла,
поэтому неразвернутый угол меньше 180 градусов.
Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.
Пример на рисунке 2 — ∠CAH + ∠BAH = ∠CAB ⇒ 60° + 120° = 180°.
Углы называют не только развернутыми и неразвернутыми, но и еще называют
прямыми, острыми и тупыми. Прямым называется угол равный 90°. Острым называется
угол меньше 90°. Тупым называется угол больше 90°, но меньше 180°.
