Основные свойства логарифмов
Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.
Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Сложение и вычитание логарифмов
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.
Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.
Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.
Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Вынесение показателя степени из логарифма
Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 49 6 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12
Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]
[Подпись к рисунку]
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.
Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Переход к новому основанию
Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
[Подпись к рисунку]
[Подпись к рисунку]
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 2 4 = 4log5 2; log2 25 = log2 5 2 = 2log2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
[Подпись к рисунку]
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.
Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
[Подпись к рисунку]
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
[Подпись к рисунку]
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]
Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
[Подпись к рисунку]
Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.
Логарифм в показателе степени
Для преобразования выражений, содержащих логарифм в показателе степени числа (или выражения), используют основное логарифмическое тождество.
Рассмотрим на примерах, как упростить выражение, содержащее в показателе степени логарифмы.
По свойству степени
от степени с суммой в показателе переходим к произведению степеней
От степени с рациональным показателем переходим к корню; основание степени преобразовываем, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество:
Применим свойство степени
Значение выражения можно найти двумя способами.
Логарифмы, стоящие в показатели степени, приведем к одинаковым основаниям:
показатель степени, стоящей в основании логарифма, вынесем за знак логарифма, затем внесём в показатель степени числа, стоящего под знаком логарифма:
Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Затем применим основное логарифмическое тождество:
Перейдем к произведению степеней, затем каждый множитель преобразуем отдельно:
Выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами:
Логарифмы и их свойства
Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.
Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:
Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.
Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.
Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_<2>(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:
Аналогично, глядя в таблицу получим, что:
Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.
Теперь дадим определение логарифма в общем виде:
Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)
Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:
Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:
Или логарифм шести по основанию 4:
На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!
Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_<4>(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:
Значит \(log_<4>(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:
Как посчитать логарифм
Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).
При этих ограничениях логарифм существует.
В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.
Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:
Давайте разберем на примерах.
Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_<3>(9)\)
Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac<1><125>\) по основанию \(5\): \(log_<5>(\frac<1><125>)\)
Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_<64>(4)\)
Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_<8>(1)\)
Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_<5>(15)\)
Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.
\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.
Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.
Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.
Десятичный логарифм
Натуральный логарифм
Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.
У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.
Свойства логарифмов
Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.
Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.
Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.
Пример 10. Формула \(5,6\). Свойства степени.
Логично, что будет выполняться и такое соотношение:
Пример 11. Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.
Логарифм. Свойства логарифма (степень логарифма).
Свойства логарифма получаются из его определения. Общеизвестный факт, что логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Из формулировки получаем очевидные равенства loga1 = 0 так как а 0 =1 и, logaа = 1 так как а 1 =а.
Рассмотрим ситуации, когда в основании или аргументе логарифма стоит степень. Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
Конечно же, все эти формулы будут иметь смысл при соблюдении области действующих значений логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: ими всеми можно пользоваться не только слева направо, но и наоборот, а значит разрешено перемещать числа, стоящие перед знаком логарифма в сам логарифм. Собственно это чаще всего и делается.
Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания:
Или если сказать проще, в данном случае показатель степени выносится как сомножитель, в результате трудоемкое действие возведения в степень меняем на более элементарную операцию умножения.
При отрицательных значениях х формула становиться бессмысленной. Так, запрещено писать log2(- 4) 2 = 2log2 (- 4), так как выражение log2(- 4) не определено. Однако обратим внимание, что выражение, стоящее в левой части этой формулы, все же имеет смысл:
Логарифм. Как вычислить логарифм?
Логарифмом положительного числа \(c\) по основанию \(a\) \((a>0, a\neq1)\) называется показатель степени \(b\), в которую надо возвести основание \(a\), чтобы получить число \(c\) \((c>0)\), т.е.
Объясним проще. Например, \(\log_<2><8>\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_<2><8>=3\).
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Как вычислить логарифм?
а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:
в) В какую степень надо возвести \(\sqrt<5>\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
г) В какую степень надо возвести \(\sqrt<7>\), чтобы получить \(\sqrt<7>\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
\(\log_
Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^
Основания равны, переходим к равенству показателей
Умножим обе части уравнения на \(\frac<2><5>\)
Получившийся корень и есть значение логарифма
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^
А теперь решите уравнение: \(3^
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_<3><8>\).
\(4^<5x-4>\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма:
\(a^=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
Поделим уравнение на 5
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg\).
Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
Пример: Найдите значение выражения \(36^<\log_<6><5>>\)
Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_<2><4>\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_<2><4>\).
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_<2><8>\), или как \(\log_<3><27>\), или как \(\log_<4><64>\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
