Что делать если корень под корнем
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.
Начнём с самой простой. Вот она:
Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.
Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.
Как умножать корни?
Да очень просто. Прямо по формуле. Например:
Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?
Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.
Как внести число под корень?
Предположим, что у нас есть вот такое выражение:
Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?
Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:
Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.
Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.
Как сравнивать корни?
Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.
Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)
Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?
Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:
И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.
Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.
Как извлекать корни из больших чисел?
Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:
Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!
Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:
Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.
Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?
Как вынести множитель из-под корня?
Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:
Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается. Что делать?!
Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:
Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:
Применим знания к практике? Начнём с простенького:
Внесение под знак корня
В данной публикации мы рассмотрим, как число (множитель) или букву внести под знак квадратного и более старших степеней корня. Информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
Правило внесения под знак корня
Квадратный корень
Чтобы внести число (множитель) под знак квадратного корня, его следует возвести во вторую степень (другими словами, в квадрат), затем полученный результат написать под знаком корня.
Пример 1: внесем число 7 под квадратный корень.
Коротко внесение под знак корня можно записать так:
Примечание: Если речь идет про множитель, его мы умножаем на уже имеющееся подкоренное выражение.
Пример 2: представим произведение 3√ 5 полностью под корнем второй степени.
Корень n-ой степени
Чтобы внести число (множитель) под знак кубического и более старших степеней корня, мы возводим это число в заданную ступень, затем переносим результат в подкоренное выражение.
Пример 3: внесем число 6 под кубический корень.
Пример 4: представим произведение 2 5 √ 3 под корнем 5-ой степени.
Отрицательное число/множитель
При внесении отрицательного числа/множителя под корень (неважно какой степени), знак “минус” обязательно остается перед знаком корня.
Пример 5
Внесение под корень буквы
Чтобы внести букву под знак корня, поступаем так же, как и с числами (в т.ч. с отрицательными) – возводим эту букву в соответствующую степень, после чего добавляем в подкоренное выражение.
Пример 6
1. Сперва внесем выражение в скобках под знак корня.
2. Теперь согласно формуле сокращенного умножения возведем выражение в квадрат.
Примечание: первый и второй шаг можно поменять местами.
3. Остается только выполнить умножение под корнем с раскрытием скобок.
Вынесение из под знака корня
В данной публикации мы рассмотрим, как выносить числа (множители) и буквы из-под знака корня второй и более старших степеней. Информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
Правило вынесения из-под корня
Квадратный корень
Вынести число (множитель) из-под знака корня – это значит извлечь корень из подкоренного выражения (т.е. того, что находится под знаком корня).
Если a 2 = b, то √ b = a.
Примечание: чтобы было проще выносить числа и множители из-под знака квадратного корня, рекомендуется выучить квадраты натуральных чисел, хотя бы до 20.
Корень n-ой степени
Для вынесения подкоренного выражения из-под корня третьей и более старших степеней, извлекаем корень в соответствующей степени.
Решение:
В данном случае извлечь квадратный корень можно только из числа двадцать пять, что мы и сделаем.
Решение:
1. Сперва разложим подкоренное выражение (число 45) на множители. В нашем случае – это 9 и 5.
2. Из полученных чисел извлечь квадратный корень можно только из девяти. Таким образом получаем:
Допустимые действия под корнем
Если требуется вынести из-под корня выражение, то это можно сделать только в отношении произведения.
За исключением первого варианта, в остальных случаях сперва необходимо выполнить действия под корнем, а потом уже извлечь его.
Вынесение буквы
Вынести букву из-под корня – это то же самое, что и возвести ее в дробь, где в числителе – степень подкоренного выражения, в знаменателе – самого корня.
Примечание: этой же формулой можно пользоваться, подставляя вместо буквы конкретные числа.
Что такое квадратный корень
Что такое квадратный корень
Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x 2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0
Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.
Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.
Попробуем найти корень из √-16
Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.
Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.
Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.
Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.
Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением
Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:
Это два нетождественных друг другу выражения.
Из выражения x 2 = 16 следует, что:
Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.
В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.
Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:
Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.
Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.
Даны два выражения:
Первое выражение — квадратное уравнение.
Второе выражение — арифметический квадратный корень.
Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.
Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня
Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.
Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.
Примеры иррациональных чисел:
Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.
Дано уравнение: x 2 = 2.
Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.
Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:
1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.
Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.
Извлечение корней
Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.
Таблица квадратов
Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:
Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.
Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.
Ищем в таблице число 7396.
Ищем в таблице число 9025.
Ищем в таблице число 1600.
Извлечением корня называется нахождение его значение.
Свойства арифметического квадратного корня
У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.
Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.
Умножение арифметических корней
Для умножения арифметических корней используйте формулу:
 |
Примеры:
Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.
Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:
Деление арифметических корней
Для деления арифметических корней используйте формулу:
 |
Примеры:
Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.
Возведение арифметических корней в степень
Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:
 |
Примеры:
Эти две формулы нужно запомнить:
Повторите свойства степеней, чтобы без труда решать такие примеры.
Внесение множителя под знак корня
Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.
А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.
Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.
Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.
В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.
Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.
Вы помните, что (√a) 2 = a
Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.
7√9 = √7 2 * 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.
Формула внесения множителя под знак корня:
Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.
Вынесение множителя из-под знака корня
С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.
Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.
Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.
Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.
В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:
Таким образом множитель выносится из-под знака корня.
Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.
Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.
Сравнение квадратных корней
Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.
Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.
Если:
Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.
Ответ: преобразовываем выражение 9√5.
9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405
Ответ: преобразовываем выражение 7√12.
7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588
Это значит, что 7√12 > √20.
Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.
Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.
Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.
Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.
Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.
Извлечение квадратного корня из большого числа
Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.
Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.
Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:
Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.
Извлечем корень из √2116.
Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.
Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.
Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.
Как пользоваться таблицей
4 2 = 16 ⇒ 6
5 2 = 25 ⇒ 5
6 2 = 36 ⇒ 6
7 2 = 49 ⇒ 9
8 2 = 64 ⇒ 4
9 2 = 81 ⇒ 1
Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.
Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.
Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.
Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.
Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.
Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.
Еще пример. Извлечем корень из числа √11664
Разложим число 11664 на множители:
Запишем выражение в следующем виде:
Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.
Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
109004, Москва, ул. Александра Солженицына, 23а, строение 1, подъезд 10
Деление корней: правила, методы, примеры
Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.
Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.
Метод 1. Деление подкоренных выражений
Записать дробь
Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.
Использовать один знак корня
В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.
Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.
Разделить подкоренные выражения
Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.
Упростить подкоренное выражение (если необходимо)
Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.
Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.
Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители
Записать дробь
Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.
Разложить на множители каждое из подкоренных выражений
Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Упростить числитель и знаменатель дроби
Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)
В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.
Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Упростить полученное выражение (если необходимо)
Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.
2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3
Метод 3. Деление квадратных корней с множителями
Упростить множители
Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!
Упростить квадратные корни
Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.
Умножить упрощенные множители на упрощенные корни
Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем
Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе
Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.
1 5 + 2 — в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.
Найти выражение, сопряженное биному
Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.
Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе
Советы:
