Модуль числа — теория и решение задач
Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂
А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.
Ситуация первая
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ситуация вторая
Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.
И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?
Нет. Потому что «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.
Ситуация третья
В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.
Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…
Модуль числа
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
Оно равно a при а > 0 и −а, при а
Модуль комплексного числа
Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:
Свойства модуля комплексных чисел
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
Модуль вещественных чисел
Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел
Закрепим свойства модуля числа, которые мы рассмотрели выше:
Модуль
Модулем положительного числа называют само это число; модулем отрицательного числа называют число, ему противоположное; модуль нуля равен нулю.
Фактически модуль делает всё, что находится внутри него положительным. Поэтому чтобы правильно его раскрыть, необходимо сначала выяснить знак выражения внутри него:
— если подмодульное выражение положительно, модуль просто убирается. При этом само выражение не меняется.
— если же оно отрицательно, то при снятии модуля перед подмодульным выражением надо добавить знак «минус», чтобы сделать его положительным.
Решение: Под модулем отрицательное выражение (т.к. \(\sqrt 5 \approx 2,24\), то есть меньше \(3\)). Значит, раскрывать модуль надо добавляя минус перед выражением:
Решение: т.к. \(x^4+1\) больше нуля при всех значениях \(x\), то \(|x^4+1|=x^4+1\).
Пример. Вычислить значение выражения \(|7-x|-|x+3|\), при \(x>12\).
Решение: При любом \(x\) большем \(12\), первое подмодульное выражение будет отрицательно, а второе – положительно. Соответственно, первый модуль будет раскрываться с минусом, а второй – с плюсом (значит перед ним останется минус, который стоял перед ним до раскрытия):
Геометрическое определение модуля
Представим числовую ось и отметим на ней точки \(5\) и \(-5\). Какое будет расстояние от нуля до этих точек? Очевидно \(5\).
Так как модуль это расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом, то он всегда положителен.
Понимать легче второе определение, но практике удобнее использовать первое.
Решение простейших уравнений с модулем
Сначала об условии \(g≥0\). Откуда оно берется? Из определения модуля, ведь модуль всегда неотрицателен (то есть, положителен или равен нулю). Поэтому условие \(g≥0\) обязательно. Иначе уравнение не будет иметь решения.
Теперь о совокупности. Почему уравнение распадается на два? Давайте, к примеру, рассмотрим уравнение \(|x|=3\). Какое число под модулем будет равно \(3\)? Конечно \(3\) и \(-3\), потому что \(|3|=3\), \(|-3|=3\). Корни уравнения \(|x|=3\): \(3\) и \(-3\). Логично? Логично! В общем виде получается, что подмодульное выражение \(f\) должно быть равно \(g\) и \(-g\). Иначе равенство не получится.
Пример. Решить уравнение:
; модуль рационального числа 4,125 записывается как 
, а модуль иррационального числа 
имеет запись вида 
.
Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.
